正弦定理第一課時(shí)(教學(xué)設(shè)計(jì))

《正弦定理》§2.1《正弦定理》——第一課時(shí)（授課方案）一、授課目的1、知識(shí)與技術(shù)：經(jīng)過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的研究，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同研究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特別到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；經(jīng)過(guò)例題與練習(xí)提升學(xué)生著手能力、解析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及其知識(shí)遷移能力。3、感情、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下辦理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理研究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，經(jīng)過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)表現(xiàn)事物之間的寬泛聯(lián)系與辯證一致。二、授課重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的研究和證明及其基本應(yīng)用難點(diǎn)：正弦定理的實(shí)質(zhì)應(yīng)用三、授課方法：?jiǎn)栴}牽引、啟示引導(dǎo)、合作研究四、授課手段：多媒體輔助授課五、授課過(guò)程本節(jié)的授課過(guò)程由以下幾個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：創(chuàng)立情境—感知定理定理推導(dǎo)觀察證明—形成定理（約需20分鐘）形式變形—深入定理解析例題—應(yīng)用公式公式在計(jì)算上的應(yīng)用建立模型—靈便運(yùn)用（約需15分鐘）總結(jié)方法—深入公式（約需3分鐘）總結(jié)反思—提升認(rèn)識(shí)（約需2分鐘）部署作業(yè)—自主研究六、授課方案1.正弦定理的建構(gòu)1）創(chuàng)立情境—感知定理①視頻情境播放今年第12號(hào)臺(tái)風(fēng)?？o我國(guó)吳山帶來(lái)的傷害，讓學(xué)生再一次感覺(jué)大自然力量的富強(qiáng)，引導(dǎo)學(xué)生如何利用科學(xué)知識(shí)預(yù)防自然災(zāi)禍，引出本節(jié)課的內(nèi)容——正弦定理。設(shè)計(jì)妄圖:由實(shí)質(zhì)生活下手，讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)本源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活。2）觀察證明—形成定理經(jīng)過(guò)特別三角形的研究，觀察它的角和邊之間的關(guān)系，猜想它們之間的聯(lián)系。在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就第一來(lái)商議直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如a圖1．1，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,依照銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有bsinC1,sinB，又cA則abccbcsinAsinBsinC從而在直角三角形ABC中，abcsinAsinBCaBsinC(圖1．1)思慮：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式可否依舊建立？（由學(xué)生談?wù)摗⒔馕觯┓椒ㄒ?、利用三角形的高證明正弦定理

c

sinA，Ⅰ、當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，依照銳角三角函數(shù)的定義，有CDasinB,CDbsinA。C由此，得ab同理可得cbbasinAsinBsinCsinB，，故有abcBsinAsinBsinC.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中建立.ADⅡ、當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，依照銳角三角函數(shù)的定義，有CDasinCBDasinABCbsinAab同理可得。由此，得，CDsinAsinABC，cbsinCsinABCCabc故有sinAsinABCsinC.baabc由Ⅰ、Ⅱ可知，在ABC中，sinAsinBsinC建立.ABD從而獲?。涸谌我馊切沃?，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即abcsinAsinBsinC.設(shè)計(jì)妄圖：從詳盡到抽象，引導(dǎo)學(xué)生完成抽象與詳盡之間的相互變換。②思慮：?jiǎn)栴}：您能用其他方法證明這一關(guān)系嗎？方法二、向量法證明正弦定理如圖，以A為原點(diǎn)，以射線AB的方向?yàn)閤軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，C點(diǎn)在y軸上的射影為c。因?yàn)橄蛄緼C與BC在y軸上的射影均為OC,即OCACcosA900bsinA,yOCBCsinBasinB,C所以asinBbsinA,即同理，所以

absinA.sinBac.sinAsinCabcsinAsinB.sinC

O(A)BX方法三、利用三角形面積證明正弦定理已知△ABC,設(shè)BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為則Rt△ADB中,sinBAD∴AABbC∴S△ABC=1aAD1acsinB22同理,可證S△ABC=∴S△ABC=∴

11absinCbcsinA22111absinCbcsinAacsinB222

CBDa在等式兩端同除以ABC,可得sinCsinAsinB即cababcsinAsinB.sinC方法四、外接圓證明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則依照直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以獲取∠BAB′=90，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=sinCsinBc2Rc∴2RsinC同理,可得a2R,b2R∴abc2RsinAsinBsinAsinBsinC這就是說(shuō),對(duì)于任意的三角形,此等式均建立。設(shè)計(jì)妄圖：引導(dǎo)學(xué)生用特別到一般的思想來(lái)辦理問(wèn)題，經(jīng)過(guò)觀察思慮，實(shí)現(xiàn)一問(wèn)多解，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，同時(shí)提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)變的思想解決問(wèn)題。（3）形式變形—深入定理辨析1：你能用文字語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)關(guān)系嗎？三角形各邊與其所對(duì)角的正弦值的比值相等。設(shè)計(jì)妄圖：經(jīng)過(guò)問(wèn)題辨析，加深公式的理解。辨析2：小組談?wù)?，完成以下?wèn)題公式的變形：1、asinB=b____,bsinC=__sinB,asinC=csinA.2、a:b:c=___________.3、abca+b+c=2R.sinAsinBsinC__________設(shè)計(jì)妄圖：學(xué)生小組合作研究，讓學(xué)生積極參加其中，以便打破重難點(diǎn)。2.公式在計(jì)算上的應(yīng)用（1）解析實(shí)例—應(yīng)用公式例1、在ABC中，邊c=10,A=45o,C30o,求邊a,b的長(zhǎng)。解：a=c,sinAsinCcsinAoa=10sin4500(45030)0105.sinC=10B2,180sino30bc,sinBsiCnbcsinB10sin010505(62).sinCsin03020sin75試一試：變式：依照以下條件，解ABC:1已知0求、、b=4,c=8,B=30,CAa;2已知0，求、、;B=30b=c2,=2A,Ca3已知b6,c9B04求5C,、、。==,=aA解：1由正弦定理得sinC=csinB=1.b又因?yàn)?00<C<1500,所以C=900.所以A=1800(BC)600,ac2b243.2由正弦定理得siCncsinB2sin0302=b=2=.2因?yàn)?0所以00c>b,0或135.C<<180,C=C45當(dāng)0時(shí)，0當(dāng)00C45A，=時(shí)，，a=15=31.105a3+C1;=13A53sinCcsinB32所1,以此題無(wú)解.b4設(shè)計(jì)妄圖：借助學(xué)生對(duì)于剛學(xué)習(xí)的知識(shí)所擁有的研究心理，讓他們學(xué)會(huì)使用公式來(lái)求值。2）建立模型—靈便運(yùn)用例2、臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向300km處，正以40km/h的速度向西北方向搬動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心250km范圍內(nèi)將會(huì)受其影響。若是臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變，那么該市從何時(shí)起要受到臺(tái)風(fēng)影響？這種影響連續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)

0.1h)?B向西北方向沿射線

BD

搬動(dòng)，該市位于點(diǎn)

B正西方向

300km

處的點(diǎn)

A.假設(shè)經(jīng)過(guò)th,臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)C，則在ABC中，AB=300km，AC=250km，BC=40tkm,B450,由正弦定理ACABBC,sinBsinCsinA知sinCABsinB320.8485.AC5利用計(jì)算器算得角C有兩個(gè)解DC1121.950,C258.050.C2當(dāng)C1121.950時(shí)，EC1A1800(BC1)1800(450121.950)13.050,所以BC1AC1sinA79.83(km),ABsinBt1BC12.0(h)40同理，當(dāng)C258.050時(shí)，BC2344.4km,t28.6(h).t2t18.62.06.6(h).答約2h后將要受臺(tái)風(fēng)影響，連續(xù)6.6h.設(shè)計(jì)妄圖：聯(lián)系生活實(shí)質(zhì)，從客觀事實(shí)出發(fā)，解決實(shí)責(zé)問(wèn)題，從直觀認(rèn)識(shí)提升到理論的水平。合理建模，以便打破本節(jié)重點(diǎn)。3.總結(jié)反思—提升認(rèn)識(shí)提出問(wèn)題：1）經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了什么定理，你能用文字和符號(hào)語(yǔ)言描述它嗎？2）學(xué)會(huì)了運(yùn)用定理去辦理什么種類(lèi)的問(wèn)題？3）你能總結(jié)本節(jié)課所用的數(shù)學(xué)思想方法嗎？設(shè)計(jì)妄圖：經(jīng)過(guò)小結(jié)使本節(jié)課的知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中