圓錐曲線定比弦的存在定理

圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理8/8PAGE8圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理摘要本文研究了圓錐曲線中過(guò)定點(diǎn)并以此點(diǎn)為定比分點(diǎn)的弦的存在問(wèn)題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關(guān)鍵詞圓錐曲線定點(diǎn)中點(diǎn)弦定比弦首先給出如下定義：定義設(shè)P點(diǎn)為定點(diǎn)，T為圓錐曲線，AB是它的弦，若AB所在直線過(guò)P點(diǎn)，且被P點(diǎn)所分成的有向線段代數(shù)長(zhǎng)之比（定值），則AB便叫做T的定比弦。當(dāng)時(shí)，定比弦即是中點(diǎn)弦。本文研究定比弦的存在定理，對(duì)此，我們有定理一橢圓存在以P（）（x02+y02≠0）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是：（1）當(dāng)＞0時(shí)，（）≤b2x02+a2y02＜a2b2；（2）當(dāng)=0時(shí)，b2x02+a2y02=a2b2（Ⅰ）（3）當(dāng)＜0時(shí)（≠-1），＜b2x02+a2y02≤（）證明：設(shè)A（x，y），則B（），則有b2x2+a2y2=a2b2b2[（1+）x0-x]2+a2[（1+）y0-y]2=a2b22（*）兩式相減，得b2（1+）2x02-2b2（1+）x0+a2（1+）2y02-2a2（1+）y0y-a2b2（2-1）=0（*）①當(dāng)y0≠0時(shí)，y=·代入,并化簡(jiǎn)得到：（）假設(shè)弦AB存在，則,所以上述方程有實(shí)根，從而△≥0，對(duì)其化簡(jiǎn)整理，得：≤0解此不等式，即得：（1）當(dāng)＞0時(shí)，（）≤b2x02+a2y02＜a2b2；（2）當(dāng)=0時(shí)，b2x02+a2y02=a2b2（3）當(dāng)＜0時(shí)（≠-1），＜b2x02+a2y02≤（）②當(dāng)=0時(shí)，這時(shí)P點(diǎn)為（x0，0）.由（**）得：x=又因，即≥即≥，由此得（1）當(dāng)＞0時(shí)，（）≤x02＜a2（2）當(dāng)=0時(shí)，x02=a2（3）當(dāng)＜0時(shí)，＜x02≤（）這個(gè)結(jié)論就是（Ⅰ）式中取的情形，故不管是否零，（Ⅰ）式總成立。（）反過(guò)來(lái)，若（Ⅰ）式成立，由于以上的推導(dǎo)過(guò)程可逆，因而以P（x0，y0）為分點(diǎn)，而以為定比的定比弦必存在。由于當(dāng)x0=0時(shí)，y0=0時(shí)P為橢圓的中心，此時(shí)相應(yīng)弦只能是中點(diǎn)弦，不能隨的改變而改變，且中點(diǎn)弦亦不唯一，故P點(diǎn)不能為橢圓的中心。綜上所述，可知定理一定成立。定理二拋物線y2=2px（p＞0）存在以（x0，y0）為分點(diǎn)，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）≠0（≠-1）時(shí)，（）＜0；（2）=0時(shí)，（Ⅱ）證明：設(shè)A（x，y），則B（），得（**）兩式相減得到：（**）①當(dāng)y0≠0時(shí)，y=代入y2=2px，得（）設(shè)弦AB存在，則xR，∴方程有實(shí)根，∴△≥0，對(duì)此化簡(jiǎn)即得：（1）≠0（≠-1），（y02-2px0）＜0；（2）=0時(shí)，y02=2px0.②當(dāng)y0=0時(shí)，這時(shí)P點(diǎn)為（x0，0）由（**）得x0=x，又因y2=2py，所以y2=2px0≥0，由此得，當(dāng)≠0時(shí)，x0＞0，當(dāng)=0時(shí)，x0=0.這個(gè)結(jié)論就是（Ⅱ）式中取y0=0時(shí)的情形，故不管y0是否為零，（Ⅱ）式總成立。反過(guò)來(lái)，若（Ⅱ）式成立，由于以上推導(dǎo)過(guò)程可逆，因而以P（x0，y0）為分點(diǎn)，則以為定比的定比弦必存在.定理三雙曲線存在以P（）（x02+y02≠0）為分點(diǎn)，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）當(dāng)＞0時(shí)，b2x02-a2y02≤（）或b2x02-a2y02＜a2b2（2）當(dāng)=0時(shí)，b2x02-a2y02=a2b2（Ⅲ）（3）當(dāng)＜0時(shí)，b2x02-a2y02≥（）或b2x02-a2y02＜a2b2.證明與前面類似.證明了定比弦的存在定理，中點(diǎn)弦的存在定理也就證明了，其相應(yīng)定理只需將上述定理中改為1即可，于是我們有下述推論：推論一橢圓b2x02+a2y02=a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：b2x02+a2y02＜a2b2.（Ⅳ）推論二拋物線y2=2px存在以P（x0，y0）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：y02＜2px0（Ⅴ）推論三雙曲線b2x2-a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是b2x02-a2y02＞a2b2，或b2x02-a2y02＜0（Ⅵ）推論四圓x2+y2=R2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：x02+y02＜R2（Ⅶ）下面舉例定比弦存在定更換一些應(yīng)用舉例：例1若橢圓4x2+9y2=36存在以P（x0，y0）為分點(diǎn)，以-2為定比的定比弦，求P點(diǎn)的存在范圍。解：由定理1知當(dāng)＜0（≠-1）時(shí)，橢圓b2x2+a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是＜b2x02+a2y02≤（），將a2=9，b2=4，=-2代入得36＜4x02+9y02≤324，故P點(diǎn)在存在范圍是由橢圓4x2+9y2=36與4x2+9y2=324所夾的區(qū)域（含4x2+9y2=324）.例2P（x0，y0）在何區(qū)域內(nèi)，雙曲線x2-4y2=4不存在以P（x0，y0）為分點(diǎn)，以-2為定比的定比弦？解：由定理三知，當(dāng)＜0（≠-1）時(shí)，雙曲線存在以P（）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是b2x02-a2y02≥（）或b2x02-a2y02＜a2b2，將a2=4,b2=1,=-2代入得x02-4y02≥36或x02-4y02＜4，從P點(diǎn)所在區(qū)域就是x02-4y02＜36且x02-4y02≥4，即雙曲線x2-4y2=36與x2-4y2=4，所夾的區(qū)域（含雙曲線x2-4y2=4）例3過(guò)點(diǎn)P（1，2）作橢圓x2+4y2=4的弦AB，若P點(diǎn)分AB所成的線段比為，求的最大、最小值。解：∵P（1，2）為橢圓x2+4y2=4外的一點(diǎn)，∴P為外分點(diǎn)，從而＜0，于是由定理一，知該橢圓存在以P（1，2）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是4（）2≥17，解此不等式，得：-≤＜-1，-1＜≤-∴的最大值為-，的最小值為-，例4過(guò)點(diǎn)A（1，1）的直線與雙曲線交于P1、P2兩點(diǎn)，求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則有，兩式相減，并化簡(jiǎn)得設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x，則上式化為2x-yk=0，∴k=，即為P