工程彈塑性力學(xué)教學(xué)課件第二章應(yīng)力狀態(tài)理論

第二章應(yīng)力狀態(tài)理論

2.1體力和面力

2.2應(yīng)力和一點的應(yīng)力狀態(tài)

2.3與坐標(biāo)傾斜的微分面上的應(yīng)力

2.4平衡微分方程應(yīng)力邊界條件

2.5轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量的變換

2.6主應(yīng)力應(yīng)力張量不變量＊2.7應(yīng)力二次曲面

2.8最大切應(yīng)力第二章應(yīng)力狀態(tài)理論彈性力學(xué)所研究的都是超靜定問題。要解決超靜定問題，必須考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面的條件，缺一不可。本章的任務(wù)是要從靜力學(xué)觀點出發(fā)，分析一點的應(yīng)力狀態(tài)，并建立連續(xù)介質(zhì)力學(xué)普遍適用的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。在本章的推導(dǎo)中，將忽略物體的變形，顯然這對小變形物體來說是不會引起明顯誤差的。2.1體力和面力

作用在物體上的外力有兩種類型，即體力和面力。

1、體力：分布在物體內(nèi)所有質(zhì)點上的力（重力、慣性力和電磁力等）

2、面力：作用在物體表面上的力（風(fēng)力、液體壓力、物體間接觸壓力等）體力分量投影于坐標(biāo)軸M體力和體力矢量投影于坐標(biāo)軸面力矢量面力和面力矢量面力分量內(nèi)力內(nèi)力和應(yīng)力2.2應(yīng)力和一點應(yīng)力狀態(tài)1、內(nèi)力：物體受外界作用，在物體內(nèi)部不同部分之間產(chǎn)生的相互作用力正應(yīng)力切應(yīng)力投影于法線和平面投影于坐標(biāo)軸內(nèi)力和應(yīng)力凡提到應(yīng)力，應(yīng)同時指明它是對物體內(nèi)哪一點并過該點的哪一個微分面來說的。因為，通過物體內(nèi)同一點可以作無數(shù)個方位不同的微分面。顯然，各微分面上的應(yīng)力一般說是不同的。物體內(nèi)同點各微分面上的應(yīng)力情況，稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。為了表示一點的應(yīng)力狀態(tài)，過物體內(nèi)某一點M分別作3個彼此垂直的微分面，使之與坐標(biāo)平面平行此3個微分面分別把物體在M點的微分鄰域分割成前后、左右以及上下兩部分（假定取x軸垂直紙面而指向讀者，z軸垂直向上）我們只保留其表面外法線方向和坐標(biāo)軸正方向一致的那一部分（下圖）三個特殊面上的應(yīng)力應(yīng)力張量

為了表示一點的應(yīng)力狀態(tài)，過該點M作三個與坐標(biāo)平面平行的三個特殊微分面。分別將物體分成前后、上下、左右兩個部分，保留外法線方向與坐標(biāo)軸正方向一致的部分，稱為M點的三個特殊微分面上的9個應(yīng)力分量，即應(yīng)力張量。正負(fù)號的規(guī)定：當(dāng)微分面外法線指向與坐標(biāo)軸正方向一致時，應(yīng)力分量沿正方向為正；當(dāng)微分外法線指向與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致，則應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正。正應(yīng)力的下標(biāo)表示作用面的方位和它的方向切應(yīng)力的下標(biāo)第一個表示作用面的方位，第二個下標(biāo)表示它的方向下標(biāo)的含義：物體的受力內(nèi)力外力集度應(yīng)力體力面力正應(yīng)力剪應(yīng)力集度體力矢量集度面力矢量2.3與坐標(biāo)傾斜的微分面上的應(yīng)力abcMxyz由平衡條件，得同理2.4平衡微分方程應(yīng)力邊界條件如果一物體在外力（包括體力和面力）作用下處于平衡狀態(tài)，則將其分割成若干個任意形狀的單元體以后，每一個單元體仍然是平衡的；反之，分割后每一個單元體的平衡，也保證了整個物體的平衡?；谶@樣的理由，假想穿過物體作三組分別與3個坐標(biāo)平面平行的截面，在物體內(nèi)部，它們把物體分割成無數(shù)個微分平行六面體；在靠近物體的表面處，只要這三組平面取得足夠密，則不失一般性地被切割成微分四面體（見下圖）。如果我們分別考慮物體內(nèi)部任意一個微分平行六面體和表面處任意一個微分四面體的平衡，可以導(dǎo)得平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。AABB物體三受外三力作三用處三于平三衡狀三態(tài)也三保證三了單三元體三的平三衡分別三在物三體內(nèi)三取任三意一三個平三行六三面體三和表三面處三一個三四面三體分三析其三平衡應(yīng)滿足平衡方程：考慮，有同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應(yīng)三力互三等定三理應(yīng)力三邊界三條件：表三示物三體在三邊界三上應(yīng)三力與三面力三之間的三平衡三關(guān)系三。2.三5轉(zhuǎn)軸三時應(yīng)三力分三量的三變換當(dāng)坐三標(biāo)系三改變?nèi)龝r,同一三點的三各應(yīng)三力分三量應(yīng)三作如三何改三變易證三明,如坐三標(biāo)系三作平三移變?nèi)龘Q,同一三點的三各應(yīng)三力分三量是三不會三改變?nèi)?因此三只考三慮轉(zhuǎn)三軸的三情形§2三-6主應(yīng)三力三應(yīng)三力張三量不三變量既然三物體三內(nèi)任三一確三定點三的9個應(yīng)三力分三量要三隨著三坐標(biāo)三系的三旋轉(zhuǎn)三而分三別改三變，三于是三就產(chǎn)三生了三一個三問題三：對三于這三任一三確定三的點三，能三否找三到這三樣一三個坐三標(biāo)系三，在三這個三坐標(biāo)三系下三，該三點只三有正三應(yīng)力三分量三，而三切應(yīng)三力分三量為三零；三也就三是說三，通三過該三點，三能否三找到三這樣3個互三相垂三直的三微分三面，三其上三只有三正應(yīng)三力而三無切三應(yīng)力三?；卮鹑强先ǖ娜?。我三們把三這樣三的微三分面三稱為三主平三面，三其法三線方三向稱三為應(yīng)三力主三方向三，而三其上三的應(yīng)三力稱三為主三應(yīng)力三。根據(jù)三主應(yīng)三力和三應(yīng)力三主方三向的三定義三去建三立它三們所三滿足三的方三程。設(shè)通三過M點（三設(shè)坐三標(biāo)原三點O與其三重合三）的三與坐三標(biāo)傾三斜的三微分三面ab三c為主三微分三平面其法三線方三向（三即主三方向三）v的三三個方三向余三弦為l，m，n，而三其上三的應(yīng)三力矢三量f-v（即三主應(yīng)三力）三的三三個分三量為fvx，fvy，fvz。2.三6主應(yīng)三力三應(yīng)三力張三量不三變量通過三一點M，可三以找三到3個互三相垂三直的三微分三面，三其上三只有三正應(yīng)三力而三無切三應(yīng)力三。這三樣的三微分三面稱三為主平三面，其三法線三方向三稱為應(yīng)力三主方三向，其三上應(yīng)三力稱三為主應(yīng)