彈性力學(xué)課件二四

第八章空間問題的解答8—1按位移求解空間問題8—2半空間體受重力和均布?jí)毫?—3半空間體在邊界上受法向集中力8—4按應(yīng)力求解空間問題8—5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)8—6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬8—7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)8—8矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)8—5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)例：圖示為等截面直桿（不計(jì)體力），兩端平面內(nèi)受方向相反的兩個(gè)力偶作用，取如圖所示的坐標(biāo)系，求應(yīng)力分量。xyzMMo如何計(jì)算？用半逆解法由材料力學(xué)可知，桿件橫截面上有剪應(yīng)力zx、zy，其他應(yīng)力分量為零，即x=y=z=xy=0，體力X=Y=Z=0將上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程：（1）（2）（3）由（1）、（2）可知，zx、zy是x、y的函數(shù)由（3）得：或?qū)懗桑河晌⒎掷碚摽芍欢ù嬖谝粋€(gè)函數(shù)（x，y）使得：將上述表達(dá)式代入相容方程：邊界條件1、桿件側(cè)面：2、桿件端面（上端）：歸納：

等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題最終歸結(jié)為求應(yīng)力函數(shù)（x，y），使它滿足且s=0，然后由下列公式求應(yīng)力分量：求位移分量：（將應(yīng)力分量代入物理方程）u0,v0,x,y,z是積分常數(shù)，代表剛體位移，k也是積分常數(shù)，若不計(jì)積分常數(shù)，則如果用柱坐標(biāo)表示，則由此可得結(jié)論，每個(gè)橫截面在xy面上的投影不改變形狀，只是轉(zhuǎn)過一個(gè)角度=kz，且單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角：8—6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬薄膜在均勻壓力下的撓度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的，用薄膜來(lái)比擬扭桿，有助于尋求扭轉(zhuǎn)問題的解答設(shè)有均勻薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)水平邊界上，邊界的形狀與某扭桿橫截面的邊界形狀相同，薄膜受均布荷載作用xxzoy薄膜在均布荷載作用下，只產(chǎn)生均勻拉力（張力T），其他內(nèi)力為零從薄膜中取微小單元abcd，它在xy平面上的投影是一個(gè)矩形，矩形的邊長(zhǎng)分別為dx、dyxyoab邊的拉力：TdyxxyoTabcdTTTz其在z軸上的投影：cd邊的拉力：Tdy其在z軸上的投影：xxyoTabcdTTTzad邊的拉力：Tdx其在z軸上的投影：bc邊的拉力：Tdx其在z軸上的投影：?jiǎn)卧猘bcd所受的壓力：q·dxdy建立單元的平衡方程：在邊界上，薄膜的垂度zs=0將與比較（1）形式相同（2）邊界條件相同所以，當(dāng)薄膜的q/T=扭桿的2Gk時(shí)，薄膜的垂度z就相當(dāng)于扭桿的應(yīng)力函數(shù)這說明，當(dāng)薄膜的垂度z與扭桿的應(yīng)力函數(shù)時(shí)相當(dāng)，薄膜與邊界平面之間體積的兩倍就等于扭矩在扭桿的橫截面上，沿x方向的剪應(yīng)力：薄膜沿y方向的斜率：如何求扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力？扭桿橫截面上沿x方向的剪應(yīng)力相當(dāng)于薄膜沿y方向的斜率，由于x和y軸可以取在任意兩個(gè)互相垂直的方向，所以扭桿橫截面上某一點(diǎn)，沿任意方向的應(yīng)力，等于薄膜在對(duì)于點(diǎn)，沿垂直方向的的斜率只須求出對(duì)應(yīng)薄膜的最大斜率，但要注意，最大剪應(yīng)力與最大斜率所在的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，方向相互垂直8—7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)xyabBAo如圖所示，橫截面為橢圓邊界的等截面柱，橢圓的半軸為a，b因?yàn)闄E圓的方程為：而應(yīng)力函數(shù)在邊界上的值為零，所以，可設(shè)：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足三個(gè)條件：將應(yīng)力函數(shù)代入當(dāng)m等于此式時(shí)，應(yīng)力函數(shù)滿足基本方程將的表達(dá)式代入其中最后求得：應(yīng)力轎函數(shù)雹：此時(shí)嫩，應(yīng)刻力函坑數(shù)滿病足所豎有條舟件應(yīng)力分量如下：全應(yīng)力：用薄攻膜比夢(mèng)擬的喜方法桶計(jì)算貼最大腥應(yīng)力假想一愁張薄膜總張?jiān)趫D絞示橢圓板上，并恒受氣體伸壓力作撒用，由福于薄膜盲的最大氏斜率發(fā)河生在A、B點(diǎn)，且滲方向垂揚(yáng)直與邊蜂界，所休以可知獄，扭桿懼橫截面蓮上的最種大剪應(yīng)江力也發(fā)妹生在A、推B點(diǎn)，蠟但方迷向與屆邊界讀平行段，將A、B點(diǎn)的坐梢標(biāo)（0失，b）或（0撕，-b）代入剪湊應(yīng)力表酒達(dá)式：xyabBAo當(dāng)a=b時(shí)，奔應(yīng)力宋解答如與材下料力靜學(xué)中舉完全蹄相同如何靠求變納形和當(dāng)位移逝？單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：位移分量：求w：積分后袍得：0為z方向的姑剛體位壘移，若評(píng)不計(jì)剛就體位移矛，則此式蘆表明堆，扭濫轉(zhuǎn)時(shí)飄，桿戴件的超橫截胃面并萌不保胡持為蠢平面摘，只毀有當(dāng)a=b時(shí)，才雨有w=愈0，橫截元面才技保持綿為平尿面8—8捉矩形斤截面桿蹲的扭轉(zhuǎn)xyoa/2a/2b/2b/2如圖所示，矩形截面桿，邊長(zhǎng)a，b討論狹長(zhǎng)矩形

ab

由薄膜比擬，可知可以則推斷挎，應(yīng)科力函截?cái)?shù)低在絕賄大部撥分橫居截面囑上幾問乎與x無(wú)關(guān)買，因創(chuàng)為對(duì)何應(yīng)的扇薄膜談幾乎尖不受辣短邊尊的約沈束，采近似兔于柱棒面即

邊界條件：將的表達(dá)式代入位移分陽(yáng)量如下私：求最座大剪豆應(yīng)力由薄午膜比掩擬可睬以推許斷出串，最壩大剪飾應(yīng)力尾發(fā)生矛在矩蔽形截訊面的下長(zhǎng)邊酷上（y=-報(bào)b/2發(fā)；y=為b/2什），其大小遷：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角：對(duì)任宴意矩協(xié)形桿震（橫引截面莫的邊表長(zhǎng)比遍值a/度b為任遷意值情），顏通過笑分析滾，可絞以將繳上述饑公式激進(jìn)行蓄修正蓋：其中踐，紗和1只與比搜值a/宇b有關(guān)偵，其慶數(shù)值脫看P19財(cái)8表對(duì)狹長(zhǎng)腰矩形截五面桿，隸和1取1單/3很多泳薄璧烤桿的猴橫截驅(qū)面，渴是由腫若干陪等寬無(wú)的狹愧長(zhǎng)矩境形組男成的褲，有駛直的灑，有感彎的愿，如扇圖所掙示：由薄膜后比擬可穩(wěn)知，如附果一個(gè)辛直的狹貞長(zhǎng)矩形穩(wěn)和彎的侄狹長(zhǎng)矩盤形具有軟相同的身長(zhǎng)度a和寬拍度，當(dāng)則當(dāng)示這兩蜜個(gè)狹矮長(zhǎng)矩律形上辟的薄送膜具鵝有相烘同的獎(jiǎng)張T并受相荷同的壓弟力q時(shí)，兩懸個(gè)薄膜蹲的體積V和斜率i將沒有始多大的悶區(qū)別，巖因此一芒個(gè)彎的陡狹矩形屋截面可碧以用同拜寬，同保長(zhǎng)的直斥的狹矩伶形截面脾來(lái)代替肉，而不膚致引起順多大的幼誤差如何攏求薄評(píng)璧桿請(qǐng)的應(yīng)爭(zhēng)力？用ai和bi代表稱扭桿斯中第i個(gè)狹長(zhǎng)皇矩形的宮長(zhǎng)和寬坡，Mi代表秧該矩連形上桂承受玩的扭草矩（港整個(gè)溜橫截鎖面上疊扭矩矮的一怕部分矩），攝i代表秋矩形播長(zhǎng)邊技中點(diǎn)弄附近提的剪淋應(yīng)力拳，k代表藏扭桿患的扭蚊角這些談公式牢是近鋼似的步，因北為沒欲有考賤慮到晌兩個(gè)耍矩形閑的過雷渡和起連接勝的影勵(lì)響本章卻小結(jié)本章對(duì)存空間問甲題基本職方程的扁求解方斯法作了友歸納，鎮(zhèn)對(duì)一些澡典型的拜彈性力惠學(xué)空間偵問題進(jìn)沸行了求雙解分析鹿，學(xué)習(xí)被這部分熄，要求耽掌握一雄些幾點(diǎn)共：（1既）受班荷載虛作用恩的彈擠性體逢中，充其應(yīng)貸力、顛應(yīng)變賓和位五移均燙是坐啊標(biāo)的羽連續(xù)勒函數(shù)妹，若塔能求攪出物文體內(nèi)親的應(yīng)姐力函趣數(shù)和梨位移漠函數(shù)宴，就叨能得仔到物勻體中閣任一飲點(diǎn)的收應(yīng)力描、應(yīng)較變和笨位移（2）守求物體脂內(nèi)的6瘡個(gè)應(yīng)力紹分量、挨6個(gè)應(yīng)辛變分量糕和3個(gè)浪位移分愚量，有輝15個(gè)孕基本方穴程：平胞