橢圓定義與性質(zhì)全

關(guān)于橢圓定義與性質(zhì)全第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月——仙女座星系星系中的橢圓第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月——“傳說中的”飛碟第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月思考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(1)取一條細(xì)繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(3)用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形1.在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月請你歸納出橢圓的定義,它應(yīng)該包含幾個(gè)要素?F2F1M(1)由于繩長固定，所以點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是個(gè)定值（2）點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和要大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（2a）（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（2C）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：(2a>2c)MF2F1第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：橢圓的定義需要注意以下幾點(diǎn)1.平面上----這是大前提2.動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和是常數(shù)2a3.常數(shù)2a要大于焦距2C思考：1.當(dāng)2a>2c時(shí),軌跡是（）橢圓2.當(dāng)2a=2c時(shí),軌跡是一條線段,是以F1、F2為端點(diǎn)的線段．3.當(dāng)2a<2c時(shí),無軌跡,圖形不存在.4.當(dāng)c=0時(shí),軌跡為圓．第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月yxOr設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x，y)以圓心O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系兩邊平方，得?回憶在必修2中是如何求圓的方程的？第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

求曲線方程的方法步驟是什么？建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；設(shè)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn)；由限制條件，列出幾何等式，寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)}用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化簡方程f(x,y)=0.第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：對稱、“簡潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解：取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標(biāo)2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊除以得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項(xiàng)，再平方第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月總體印象：對稱、簡潔，“像”直線方程的截距式焦點(diǎn)在y軸：焦點(diǎn)在x軸：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx2FM12yoFFMx第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表注:共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓項(xiàng)分母較大.

焦點(diǎn)在y軸的橢圓項(xiàng)分母較大.第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

練習(xí)1：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，并指明a2、b2，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在X軸（-3，0）和（3，0）答：在y軸（0，-5）和（0，5）答：在y軸。（0，-1）和（0，1）判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月1.口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?練習(xí)：第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月0<b<9練習(xí)：a>3第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：1.方程4x2+ky2=1的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的范圍是

.2.橢圓mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦點(diǎn)是

.

(0,4)第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月3.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸

上的橢圓，則m的取值范圍是

.變式：已知方程

表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范

圍是

.(0,4)

(1,2)第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2、已知橢圓的方程為：，請?zhí)羁眨?1)a=__，b=__，c=__，焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________，焦距等于__.(2)若C為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，并且CF1=2,則CF2=___.

變題：

若橢圓的方程為,試口答完成（1）.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求k的取值范圍;探究:若方程表示橢圓呢?5436(-3,0)、(3,0)8第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例1、填空：(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則?F2CD的周長為________例題543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：

焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。|CF1|+|CF2|=2a第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)1橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A.5B.6C.4D.10A2.已知橢圓的方程為，焦點(diǎn)在X軸上，則其焦距為（）A2B2C2D2A第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程12小結(jié):先定位(焦點(diǎn))再定量(a,b,c)橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種情形,必須分類求出第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩個(gè)定點(diǎn)距離之和是10的點(diǎn)的軌跡方程。解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示，取過點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系?！?a=102c=8∴a=5c=4b2=a2c2=9,b=3因此這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：yoBCAx定義法求軌跡方程。第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月變題1:已知△ABC的一邊BC固定，長為8，周長為18，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。.解：以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)橢圓的定義知所求軌跡方程是橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：yoBCAx∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

注意：求出曲線的方程后，要注意檢查一下

方程的曲線上的點(diǎn)是否都是符合題意。第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4，b=1，焦點(diǎn)在x

軸上；

(2)a=4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；

(3)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2）和（0，2），并且經(jīng)過點(diǎn)P（

-1.5，2.5）.解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為∵c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)∴……②聯(lián)立①②可求得：∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(法一)xyF1F2P或第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(法二)

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)焦點(diǎn)為F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦點(diǎn)在x軸上;(3)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點(diǎn)；

(4)經(jīng)過點(diǎn)P(－2,0)和Q(0,－3).小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②定量：求a,b的值.第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為

3m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：以兩焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為

y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為根據(jù)題意有即因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xyOF1F23.例題第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月回顧小結(jié)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：二類方程:第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例1：將圓x2+y2=4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所的曲線的方程，并說明它是什么曲線？yxo設(shè)所的曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）,圓＝４上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x’，y’），由題意可得：因?yàn)椋剑此约?）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓。2）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。解

(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2)。第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月1、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP’，延長P’P至M,使P’M=2P’P，求點(diǎn)M的軌跡。2、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP’。求線段PP’上使PM=2MP’的點(diǎn)M的軌跡。3、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP’。求PP’上PP’=-3P’M的點(diǎn)M的軌跡。練習(xí)第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于