平面向量經(jīng)典習(xí)題-提高篇37851

平面向量經(jīng)典習(xí)題-提高篇37851平面向量經(jīng)典習(xí)題-提高篇37851/NUM頁(yè)平面向量經(jīng)典習(xí)題-提高篇37851平面向量經(jīng)典習(xí)題-提高篇37851平面向量：已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b與向量c＝(1，－2)共線，則實(shí)數(shù)λ等于()A．－2 B．－eq\f(1,3)C．－1 D．－eq\f(2,3)[答案]C[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b與c共線，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.(文)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0,1)，c＝(k，eq\r(3))，若a＋2b與c垂直，則k＝()A．－1 B．－eq\r(3)C．－3 D．1[答案]C[解析]a＋2b＝(eq\r(3)，1)＋(0,2)＝(eq\r(3)，3)，∵a＋2b與c垂直，∴(a＋2b)·c＝eq\r(3)k＋3eq\r(3)＝0，∴k＝－3.(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b與a－λb互相垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－eq\f(6,11) B．－eq\f(11,6)C.eq\f(6,11) D.eq\f(11,6)[答案]C[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b與a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝eq\f(6,11).設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a、b間的夾角為()A．150° B．120°C．60° D．30°[答案]B[解析]如圖，在?ABCD中，∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD為正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故選B.(理)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝eq\f(\r(3),2)，a與b的夾角為60°，則|b|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)[答案]A[解析]∵|a－b|＝eq\f(\r(3),2)，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝eq\f(3,4)，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，設(shè)|b|＝x，則1＋x2－x＝eq\f(3,4)，∵x>0，∴x＝eq\f(1,2).若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝0，則△ABC必定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形[答案]B[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴AB⊥AC，∴△ABC為直角三角形．(文)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，則用a，b表示c為()A．－a＋3b B．a(chǎn)－3bC．3a－b D．－3a＋b[答案]B[解析]設(shè)c＝λa＋μb，則(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝－2,λ－μ＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1,μ＝－3))，∴c＝a－3b，故選B.(理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b[答案]B[解析]∵E為OD的中點(diǎn)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→))，∵DF∥AB，∴eq\f(|AB|,|DF|)＝eq\f(|EB|,|DE|)，∴|DF|＝eq\f(1,3)|AB|，∴|CF|＝eq\f(2,3)|AB|＝eq\f(2,3)|CD|，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(2,3)(eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為()A．19 B．14C．－18 D．－19[答案]D[解析]據(jù)已知得cosB＝eq\f(72＋52－62,2×7×5)＝eq\f(19,35)，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(BC,\s\up6(→))|×(－cosB)＝7×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,35)))＝－19.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，則9x＋3y的最小值為()A．12 B．2eq\r(3)C．3eq\r(2) D．6[答案]D[解析]a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝6，等號(hào)在x＝eq\f(1,2)，y＝1時(shí)成立．若A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，若O不在l上，存在實(shí)數(shù)x使得x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，實(shí)數(shù)x為()A．－1 B．0C.eq\f(－1＋\r(5),2) D.eq\f(1＋\r(5),2)[答案]A[解析]x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋(x－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，由向量共線的充要條件及A、B、C共線知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，與條件矛盾，∴x＝－1.(文)已知P是邊長(zhǎng)為2的正△ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))()A．最大值為8 B．最小值為2C．是定值6 D．與P的位置有關(guān)[答案]C[解析]以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立如圖坐標(biāo)系，則B(－1,0)，C(1,0)，A(0，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3))＋(1，－eq\r(3))＝(0，－2eq\r(3))，設(shè)P(x,0)，－1≤x≤1，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，－eq\r(3))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(x，－eq\r(3))·(0，－2eq\r(3))＝6，故選C.(理)在△ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，若∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)[答案]D[解析]∵∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos120°＝－1，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2≥2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－2)≥eq\f(1,4)(4－2)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(2),2).如圖所示，點(diǎn)P是函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的圖象的最高點(diǎn)，M，N是該圖象與x軸的交點(diǎn)，若eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，則ω的值為()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C．4 D．8[答案]B[解析]∵eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，∴PM⊥PN，又P為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，M、N是該圖象與x軸的交點(diǎn)，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝eq\f(2π,ω)＝8，∴ω＝eq\f(π,4).如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K，其中eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ的值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)[答案]A[解析]如圖，取CD的三等分點(diǎn)M、N，BC的中點(diǎn)Q，則EF∥DG∥BM∥NQ，易知eq\o(AK,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,5).已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b與a－2b共線，則m的值為()A.eq\f(1,2) B．2C．－2 D．－eq\f(1,2)[答案]C[解析]ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由條件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0，∴m＝－2，故選C.在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，點(diǎn)M滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．2 B．3C．4 D．6[答案]B[解析]eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos45°＝eq\f(1,3)×3eq\r(2)×3×eq\f(\r(2),2)＝3.在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB＝3，BD＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.[答案]eq\f(15,2)[解析]由條件知，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝60°，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝3×3×cos60°＋eq\f(2,3)×3×3×cos60°＝eq\f(15,2).已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，則a在b方向上的投影等于________．[答案]－eq\f(2\r(5),5)[解析]a在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5).已知向量a與b的夾角為eq\f(2π,3)，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，則實(shí)數(shù)λ＝________.[答案]1[解析]∵〈a，b〉＝eq\f(2π,3)，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×coseq\f(2π,3)＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.已知：|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R＋)，則eq\f(m,n)＝________.[答案]3[解析]設(shè)meq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，neq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))，∵∠AOC＝30°，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos30°＝|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝m|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝m，|eq\o(OC,\s\up6(→))|·sin30°＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝n|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)n，兩式相除得：eq\f(m,\r(3)n)＝eq\f(|\o(OC,\s\up6(→))|cos30°,|\o(OC,\s\up6(→))|sin30°)＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)，∴eq\f(m,n)＝3.(文)設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2i＋j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋3j，則△OAB的面積等于________．[答案]5[解析]由條件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－