對(duì)稱性及守恒定律

第五章：對(duì)稱性及守恒定律[1]證明力學(xué)量A（不顯含t）的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為：d2n2 A=一[[A，H],H] （H是哈密頓量）dt2（解）根據(jù)力學(xué)量平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，若力學(xué)量A不顯含t，有dAdt1 ~dAdt1 ~K卞~=[A,H]in1)1將前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將等號(hào)右方看成為另一力學(xué)量一[A,H]的平均值，則有:inTOC\o"1-5"\h\zd2A1 1 1=[—[A,H],H]=—[[A,H],H] （2）dt2inin n2此式遍乘n2即得待證式。[2]證明，在不連續(xù)譜的能量本征態(tài)（束縛定態(tài)）下，不顯含t的物理量對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)的平均值等于零。（證明）設(shè)A是個(gè)不含t的物理量，屮是能量H的公立的本征態(tài)之一，求A在屮態(tài)中的平均值，有：A二山屮*AvdTT將此平均值求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可得以下式（推導(dǎo)見(jiàn)課本§5.1）TOC\o"1-5"\h\zdA1~KK— 1二[A,H]三出屮*（AH-HA）屮dT （1）dtniniT今屮代表H的本征態(tài)，故屮滿足本征方程式H屮二E屮 （E為本征值） （2）又因?yàn)镠是厄密算符，按定義有下式（屮需要是束縛態(tài)，這樣下述積公存在）JJJ屮*H（A屮）dT=Bl（H屮）*（A屮）dT （3）T（題中說(shuō)力學(xué)量導(dǎo)數(shù)的平均值，與平均值的導(dǎo)數(shù)指同一量）（2）（3）代入（1）得：

TOC\o"1-5"\h\zdA=丄呱*A(HH屮)必-丄JJJ(HH屮)*(A屮)didt r|i r|i=土JJJ屮*A屮di一E_JJJ屮*A屮dir|i r|i因E=E*，而莎=0八 p2［3］設(shè)粒子的哈密頓量為 H= +V(r)。2卩?d/①咬 . ①、…證明(r-p)=p2/卩一r?VV。dt證明：對(duì)于定態(tài) 2T=r?VV(證明)(i)r-p=xp+yp+zp，運(yùn)用力學(xué)量平均值導(dǎo)數(shù)公式，以及對(duì)易算符的公配xyz律：d/①毛1 ①①占、(r-p= ［r-p,H］dt 卯[r-p,H]=[xp+yp+zp,p2+V(x,y,z)]xyz2卩1=[xp+yp+zp, (p2+p2+p2)+V(x,y,z)]x y z2卩x y1=1=[xp+yp+zp,p2+p2+p2]——+yz2卩[xp+yp+zp,V(x,y,z)] (2)xyz耳d分動(dòng)量算符僅與一個(gè)座標(biāo)有關(guān)，而不同座標(biāo)的算符相對(duì)易，因此(2)式例如分動(dòng)量算符僅與一個(gè)座標(biāo)有關(guān)，而不同座標(biāo)的算符相對(duì)易，因此(2)式xidx可簡(jiǎn)化成：+[xp+yp+zp,V(x,y,z)]xyz111= [xp,p2]+ [yp,p2]+ [zp,p2]2卩xx2卩yy 2卩zz+[xp,v]+[yp,v]+[zp,v]x y z前式是輪換對(duì)稱式，其中對(duì)易算符可展開(kāi)如下：[xp,p2]二xp3-p2xpTOC\o"1-5"\h\z二Xp3-pXp2+pXp2-p2xpj-/\ /\ -w/\ /\ -w/\[X, p ]p 2+p [x, p ]p=r|ip2+r|ip2=2r|ip2 (4)[xp,V]=xpV-Vxp=xpV-xVp=x[p,V]x x xx x x..aV=T|ix (5)ax將(4)(5)代入(3),得：趨可后瑜 aV aV aV[r-p,H]= (p2+p2+p2)+rji{x +y+z}卩 xyz ax ay az代入（i）,證得題給公式:(6)（2）在定態(tài)屮之下求不顯含時(shí)間t的力學(xué)量A的平均值，按前述習(xí)題2的結(jié)論，其結(jié)果是零，令A(yù)=r-pT*(PpT*(Pp)屮dT=巴-F?VV=0(7)但動(dòng)能平均值由前式T三川屮*》Wt=但動(dòng)能平均值由前式2H 2HTT=1-君VV2[4]設(shè)粒子的勢(shì)場(chǎng)V（x，y,z）是x,y,z的n次齊次式證明維里定理（Virialtheorem）nV=2T式中V是勢(shì)能，T是動(dòng)能，并應(yīng)用于特例:

(3)V=Crn,nV-2T(解)先證明維里定理：假設(shè)粒子所在的勢(shì)場(chǎng)是直角坐標(biāo)(x,y,z)的n次齊次式，則不論n是正、負(fù)數(shù)，勢(shì)場(chǎng)用直角座標(biāo)表示的函數(shù)，可以表示為以下形式，式中V假定是有理函數(shù)(若是無(wú)理式，也可展開(kāi)成級(jí)數(shù))：V(x,y,z)=YCxtyjzkjk (1)ijk此處的i,j,k暫設(shè)是正或負(fù)的整數(shù)，它們滿足：i+j+k=n (定數(shù))C是展開(kāi)式系數(shù)，該求和式可設(shè)為有限項(xiàng)，即多項(xiàng)式。ijk根據(jù)前一題的結(jié)論：2T二r-VV (2)現(xiàn)在試行計(jì)算本題條件下r-VV的式子及其定態(tài)下平均值。F?vv=av F?vv=av avavx瓦+y鬲+z石aaa=(xax+yay+za比Cxiyjzkijk=x工iCxi-iyjzk+ijkxiyj-izk+z工kCxiyjzk-iijk=(i+j+k門Cxiyjzkijkijk=nV(x,y,z)這個(gè)關(guān)系在數(shù)學(xué)分析中稱Euler的齊次式定理。再利用(2)即得：2T=nV (3)本證明的條件只要r-VV不顯含時(shí)間(見(jiàn)前題證明)故是一個(gè)普遍的證明。現(xiàn)將其直接用于幾種特例，并另用(2)式加以驗(yàn)證。(1)諧振子：V=—(①x2+wy2+ez2)2123直接看出n=2，根據(jù)(3)式知道2T=2V，即T=V也可以根據(jù)前一題的結(jié)論，即(2)式直接來(lái)驗(yàn)證前一結(jié)論

” dV dV dVr-VV=x+y+z——dx dy dz=x-卩①x+y-卩①y+z-卩①z123=p(①x2+①y2+①z2)=2V123■^5r-W=2V，由(3)式可知T=V(2)庫(kù)侖場(chǎng)V=rx2+y2+z2直接看出V是x,y,z的n=-1次齊次式，按（3）式有:2T=—V但這個(gè)結(jié)論也能用（3）式驗(yàn)證，為此也利用前一題結(jié)論（2）有:F?VV=x空+y空+z空dx dy dz-x-y-x-y-z=x- +y- +z?-(x2+y2+z2)3/2 (x2+y2+z2)3/2 (x2+y2+z2)3/2=— =—VJ\.；x2+y2+z2代入（2）代入（2）式，亦得到2T=—V(3)場(chǎng)V(x,y,z)=Cr=C(x2+y2+z2)直接看出V是x,y,z的n次齊次式，故由(3)式得:2T=nV仍根據(jù)（2）式來(lái)驗(yàn)證:5-VV=x空+y空+z空dx dy dzn/ 、n—[s、n/ 、n—[s、=x-(x2+y2+z2)2-(2x)+y-(x2+y2+z2)2-(2y)22n/ 、工—1s、+z-(x2+y2+z2)2-(2z)n _=n(x2+y2+z2)2=nV由（2）得2T=nV，結(jié)果相同。本小題對(duì)于n為正、負(fù)都相適，但對(duì)庫(kù)侖場(chǎng)的奇點(diǎn)r二0除外。證明，對(duì)于一維波包:-X2=丄（xp+亦）dt卩解）一維波包的態(tài)中，勢(shì)能不存在故自由波包）依據(jù)力學(xué)量平均值時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式:TOC\o"1-5"\h\zd—1 1p2diX2=喬[X2,日]=石[X2，不]1(2)二 [X2,p2](2)2卩邛 x八 八 八 八 八 八但 [x2,p2J=x2p2一p2x2x xx=(xxpp一xpxp)+(xpxp一xppx)+(xppx一pxpx)+(pxpx一ppxx)TOC\o"1-5"\h\z=x[x,pJp+xp[x,pJ+[x,pJpx+p[x,pJx (3)因 [x,pJ二r|i[x2,p2J=2r|i(xp+px) (4)代入(2)式，得到待證的一式。求海森伯表象中自由粒子的座標(biāo)的算符。（解）根據(jù)海森伯表象（繪景）的定義可導(dǎo)得海森伯運(yùn)動(dòng)方程式，即對(duì)于任何用海氏表象的力學(xué)算符A（t）應(yīng)滿足：dA1擊冷[A,HJP2可又對(duì)于自由粒子，有H= (P不隨時(shí)間t變化)2卩令A(yù)(t)二x(t)為海氏表象座標(biāo)算符；代入(i)但 [X(t),p2]二xp2-p2X=xpp一pxp+pxp一ppx/\-w/\ /\r-/\八-w ./\=[x,p]p+p[x,p]=2r|ip代入(2),代入(2),得:dx(t)

dt積分得 x(t)=pt+C將初始條件t=0時(shí)，x(t)=x(0)代入得C=x(0)，因而得到一維座標(biāo)的海氏表象是:x(t)=—t+x(0)［7］求海森伯表象中中諧振子的坐標(biāo)與動(dòng)量算符。(解)用薛氏表象時(shí)，一維諧振子的哈氏算符是:(1)人1 ⑷2x2(1)H=p2+2卩2解法同于前題，有關(guān)坐標(biāo)x(t)的運(yùn)動(dòng)方程式是：字=丄［x(t)，學(xué)+竺竺］dt邛 2卩將等式右方化簡(jiǎn)，用前一題的化簡(jiǎn)方法：丄［X,巴+ ］=丄［X,P2］+蹙［X,X2］二凹琢即2 2pr|i 2r|i 卩但這個(gè)結(jié)果卻不能直接積分(與前題不同，P與t有關(guān))，為此需另行建立動(dòng)量算符的運(yùn)動(dòng)方程式：dp(t)1 p2(t)卩①2X2(t礦二討p(tF+ ］…、 1r/、呻2X2(t)_,叫2「—入―化簡(jiǎn)右萬(wàn)-加，廠]=麗{PX2-X2P}r/\/\/\ 八/\/\ 八/\/\、2hi{pXX-XPX-XXp2hi={[P,X]X一X[p,X]}=一卩①2X2(t)2hidp(t)=一⑷2X(t)⑷dt將⑶對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，并與⑷式結(jié)合,得算符X(t)的微分方程式:TOC\o"1-5"\h\zdX⑴+w2X(t)=0 (5)dt2這就是熟知的諧振動(dòng)方程式，振動(dòng)角頻率3,它的解是：X(t)=Acoswt+Bsinwt ⑹A,B待定算符，將它求導(dǎo)，并利用⑶:p(t)=|Liw(Bcoswt一Asinwt) ⑺將t=0代入：x(0)=AP(0)=RwB,最后得解:廣X(t)=X(0)coswt+-^p(0)sinwtywp(t)=p(0)coswt一^wx(0)sinwt)在初時(shí)刻t=0,海森伯表象的算符與薛定諤表象中的算符的形式是相同的，因?yàn)榍笆街校簒(o)二xp(0)」?iexc.f.P.Roman.AdvancedQuantumTheory:§1.1.p.47-48Addison-Wesley多粒子系若不受外力，則其哈密頓算符可表成：H二V丄p2+VV[/F—F/]2mi iji i i,jj證明：總動(dòng)量p=Vp為守恒。ii[證明]:待證一試是矢量算符，可以證明其x分量的守恒關(guān)系，即為足夠按力學(xué)量守恒條件這要求： [p,HH]=0x[p，H]二憶叮工掃;+EV(/r-r/)]i i i i,j=[工p,工—p2]+[=[工p,工—p2]+[工p,工v(/r~r/)]2mix iji,j=[p+p…p1x 2x ix12)+...+ (p2+p2+p2)...]+2m 1x 1y1y 2m ixiyiyii…p…,v(/r-r/)+v(/r-r/)...v(/r-r/)+...]⑷ix[p+p■1x 2x ix 1 2最后一式的第一個(gè)對(duì)易式中，因?yàn)?3[p,p2]=0,ixjy[piz，pjy2]=0，[p,p]二0[VpV3P2]二0故整個(gè)TOC\o"1-5"\h\zixP2]二0故整個(gè)i ii至于第二個(gè)對(duì)易式中，申相互勢(shì)能之和有以下的形式VV[/P—P/]=VV(x—x,y—y,z—z)ij ijijiji,j i,j=；工{V(x—x,y—y,z—z)+V(x—x,y—y,z—z)}2 ijijij ijijiji,j又⑷式的第二對(duì)易式又能用分配律寫(xiě)成許多對(duì)易式之和，由于不同座標(biāo)的座標(biāo)算符和動(dòng)量算符永遠(yuǎn)能夠?qū)σ?，⑷式又能?jiǎn)化成：[p,H]二工[p,工譏x—x,y—y,z—z)]x ix ijijijijVV 入 1 ，=VV[p,{V(x—x,y—y,z—z)+V(x—x,y—y,z—z)}](6)ix2ijijij jijiji

再運(yùn)用對(duì)易式(第四章11題)［P,F(x)］=衛(wèi)［f,F(x)］=ixiICX iI CXii代入上式得：[P,方]二[P,方]二工工[Px ixij,[V(x—x,y—y,z—z)]+乙乙[p, [V(x—x,y—y,z—z)]]2ijijij ix2jijijiij=工工衛(wèi)空—工工衛(wèi)空二02iCx 2iCxij i i滿足⑶式，故⑵式得征。［9］多粒子系如所受外力矩為0,則總動(dòng)量L=丫i.為守恒。i［證明］與前題類似，對(duì)粒子系，外力產(chǎn)生外力勢(shì)能和外力矩，內(nèi)力則產(chǎn)生內(nèi)力勢(shì)能v(F-卩),ij但因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)產(chǎn)生，所以含內(nèi)力矩為0，因此若合外力矩為零，則總能量中只含內(nèi)勢(shì)能：H二丄p2+工v[卩―卩]2卩i iji i,j要考察合力矩是否守恒，可以計(jì)算［LL要考察合力矩是否守恒，可以計(jì)算［LL,H］的分量看其是否等于零。[L,H]=[工(yp—zp),工丄p2+》V[P—?]]x iiziiy 2卩i iji ii i,j22+p2)(yp—zp)]+

iy iz iiziiy—x,y—y,z—z)(yp

ji ji jiix—zipiy)]=工[(yp—zp)(p2+p2+p2)—(p2+p2H iiziiyix iy iz ix工為[(y.p—zp)V(x—x,y—y,z—z)—V(xiiz iiy i ji ji j i

—zpp2)+(p2zp—zp2)+(p2zpiy iiyix iziiyiiy iziiy(yp V-Vyp )+(V zp -zp V)]iix iix ziiiy iiy-Zi—zpp2)+(p2zp—zp2)+(p2zpiy iiyix iziiyiiy iziiy(yp V-Vyp )+(V zp -zp V)]iix iix ziiiy iiy-ZiPyPiz2)]+2h iizix ixiiz iiziy iyiiz iiz iziizii(p2zp工工[最后一式中，因?yàn)閇p2,最后一式中，因?yàn)閇p2,pixiy因而⑶可以化簡(jiǎn)：[L,H]=工丄{[0+[y,p2]p+0+0+0+[px 2h iiyix iz+H{[p,yV]+[zV,p]}izi iiyj]二[p2,p]二[p,p2]=[p2,p]二0

izizizix iziy2,z]p}iiyi用對(duì)易關(guān)系：[L,H]=工丄{2耳ipp—2叩pp}+工工{衛(wèi)亠[yV]—衛(wèi)亠[zV]}x2hiiiyiz iziy iQz i iQy ii j i iTOC\o"1-5"\h\zqv d二一乙｛y—z｝ ⑷i iQz iQyi,j i inQf最后一式第一求和式用了[p,p2]=2nip等，第二求和式用了：[p,f(x)]=iyiy y x iQx見(jiàn)課本上冊(cè)Pill,最后的結(jié)果可用勢(shì)能梯度[內(nèi)力]表示，因內(nèi)力合矩為零，故有iiii,j=0[L,H]iiii,j=0x i ii,j同理可證[L,H]=0 [L,H]=0yz因此L是個(gè)守恒量。證明：對(duì)經(jīng)典力學(xué)體系，若A,B為守恒量，則｛A,B｝即泊松括號(hào)也為守恒量，但不一定是新的守恒量，對(duì)于量子體系若A，b是守恒量，貝y｛A,b｝也是守恒量，但不一定是新的守恒量。[證明]先證第一總分，設(shè)qi為廣義坐標(biāo)，Pi為廣義動(dòng)量，A｛qi，pi｝和B｛qi，pi｝是任意力學(xué)量,i=1,2,3,-e為坐標(biāo)或動(dòng)量編號(hào)，s自由度，則經(jīng)典Poisson括號(hào)是：(前半題證明c.f.Goldstein：ClessicalMechanlcs){A,B}三yQ{A,B}三yQqQp QpQq在經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)量a隨時(shí)間守恒的條件是 A{p,q}=0dtiidAddAdAv或?qū)懽鳎憾?二〒+丫dt dt\o"CurrentDocument"dAdq dAdp 門匚一 J=0dqdt dpdtdq dH將哈密頓正則方程式組：一廣二dt dpdpdtdH代入前一式得dA dA VdA dH ddq dH將哈密頓正則方程式組：一廣二dt dpdpdtdH代入前一式得dA dA VdA dH dA dH dA .二+V 一 二 +{A,H}二0dt dt dq dp dp dq dtiiiii因此，若力學(xué)量A，B不顯示含時(shí)間t,則這兩涵數(shù)隨時(shí)間守恒的條件是：{A,H}=0⑵{B,H}=0 ⑶假定以上兩條件都適合，我們來(lái)考察{A,B}是否也是守恒的？為此只需要考察下式能否成立:{{A,H},H}=0 ⑷為了考察前一式，可令：1三{A，{B,H}-B,{A，H}}將此式用泊松括號(hào)的定義展開(kāi)得：dAd-dAd}工{dBdH dBdHdpdq dqdpiikKK三工{dqdpiiidpdqKKd dBd}工{dAdqdp dpdq dqdpdpdqKKKKiiiii仔細(xì)地展開(kāi)前一式的各項(xiàng)，將發(fā)現(xiàn)全部有關(guān)H的二階導(dǎo)數(shù)都抵消，只留下H的一階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),化簡(jiǎn)形式如下：-工{dBdHdAdH-}I二工{F(A,B)羋+G(A,B)甞}dp dq式中F，G都含A和B的導(dǎo)數(shù)，為了確定這兩個(gè)待定系數(shù)，可令H等于特殊函數(shù)p（這不失i普遍性，F(xiàn)與H無(wú)關(guān))，代入⑸式后有I={A,{B,p}}-{B,{A,p}}ii={A,dB}-{B,ddA}=dL{A,B}dq dq dqiii前式中{B,p}的值可在⑴中，作替代A—>B，B—>p得到，{A,p}求法類似。再在⑹式中,令H=p，得：I=F（A，B）因而得:dF(A,B)二{A,B}dqa同理令H=q?得:G（A,B）二- {A,B}i api將所得的F和G代入⑹，并將這結(jié)果再和⑸等同起來(lái)，得到：{A，{B，H}}—{B，{A，H}}{aL{a,B}學(xué){A,B}學(xué)}二{{A,B},H}aq apap aqiiiii這個(gè)式子說(shuō)明：如果（2），（3）滿足，（4）式就成立即{A,B}守恒。在量子力學(xué)體系情形，A,B守恒的條件是[A,H]二0 [B,H]二0再考察I二[[A,B]H]二[AB-BA,H]二[AB,H]-[BA,H]將此式加減ABH+BHA后得到：[[A,B]H]二A[B,H]+[A,H]B+B[H,A]+[H,B]A若A，B是守恒量，前一式等號(hào)右方[A,H]=o，[B,H]=o，左方[[A,B]H]=o所以[A,B]也是守恒量，所以量子體系的情形也有類似的結(jié)論。在量子體系情形，若A,B是守恒量，則A,B,H有共同本征態(tài)，在此態(tài)中測(cè)得A,B的值為確定值a0和b（初始時(shí)刻的值）,[A,B]的值為0。粒子系處在下列外場(chǎng)中，指出哪些力學(xué)量（動(dòng)量，能量，角動(dòng)量，宇稱， 是守恒量。⑴自由粒子⑵無(wú)限的均勻柱對(duì)稱場(chǎng)⑶無(wú)限均勻平面場(chǎng)⑷中心力場(chǎng)⑸均勻交變場(chǎng)⑹橢球場(chǎng)[解]要判斷哪些力學(xué)量守恒，需要將力學(xué)量P,i,H,p[宇稱量]等表示成適宜的形式，再考察[A,H]等是否是零，但A是該力學(xué)量，若該交換式是零就說(shuō)明A是個(gè)守恒量，下面各種場(chǎng)的分析中，P,F的分量或其平方，H,P等逐個(gè)立式考慮，pi2⑴[自由粒子]V=0H二一2卩[a][p,H]=[p, (p2+p2+p2)]=0x X2卩x y z同理[p,H]=0 [p,H]二0[b][l[b][l,H]=[衛(wèi)(ypxix-zp), (p2+p2+p2)]=y2卩xyz同理［/,H］二o ［l,H］=oyz［c］設(shè)P為宇稱，對(duì)任意波涵數(shù)屮(P,t)P皿P{-卻曇+音+!>(卩,t))V(-p,t)n2 )V(-p,t)耳(0(-x)2+0(-y)2+0(-z)2=H屮(-p,t)=HP屮(p,t)PH=PH=HP[P,H]=0此外H不顯含時(shí)間，故總的說(shuō)p,l,H,P守恒。⑵［無(wú)限均勻柱對(duì)稱場(chǎng)］柱對(duì)稱場(chǎng)若用柱面座標(biāo)(R,9,z)表示勢(shì)能時(shí),形式為V(R)，是對(duì)稱的哈氏算符，凡以z軸為對(duì)稱軸的柱面上各點(diǎn)，勢(shì)能V(R)相同。TOC\o"1-5"\h\zml 0 0 1 02 02H=-丄{—［一(R——)］+ ——+—}+V(R)2卩 R 0R 0R R2 092 0(z)2一」 入葉/ 0 sin90、［a］動(dòng)量算符 p=(cos9 - )，xi 0RR09=-(sin9?+

i 0Rcos9=-(sin9?+

i 0Rcos9009)'pz直截代入相應(yīng)的對(duì)易式［p,H］豐0X_耳0i0z得：,H]豐0[p,H]=0z［b］角動(dòng)量分量門 0I=-{-zsin9—xi-三cos9仝+Rcos9-}0RR 09 0zJ{Zcos申2-三sin Rcos}dR R如 dz直截代入相應(yīng)的交換式，得：［/,H］豐0 ［/,H］豐0 ［/,H］二0x y z[c]PH況t)二噲P2+V('川況t)二吐P2+V(-'川(一只t)柱面對(duì)稱性的表示式V(P)=V(-P)故前式成為PH屮(p,t)二HP屮(p,t) [P,H]二o故前式成為此外H也不顯含時(shí)間t,總的說(shuō)來(lái)p,i,H,P四力學(xué)量守恒。z是柱面對(duì)稱軸方向的座標(biāo)。zz⑶［無(wú)限均勻的平面場(chǎng)］均勻平面場(chǎng)在一平面內(nèi)勢(shì)能不為零，并且處處相等,而與該點(diǎn)的座標(biāo)無(wú)關(guān)，記作V0.1H1H=耳p2+V0(p2+p2)+Vxy0[a][[a][p,H]=[pxx(p2+p2)+V]xy01=[p, (p2+p2)+(p,V)]=00同理［p,H］同理［p,H］=0yP［b］角動(dòng)量l系沿著z二xp—ypy[i,H]=0x

軸，故ix[i,H]二0yxy2)+V0][i,H]=[xp—yp,—(pxy2)+V0](nipp—nipp)=02卩 yxxy[匸H]=0z[c][c]PH屮=P{門2 02 02豈(0X2+麗)+少(x，y，t)耳2 02{_ (―2卩0(-X)2喬帀)+少(一x,-y,t)=HP屮［P,H］二0八 c 八 八H不顯含t,總起來(lái)說(shuō)p,l,H,P守恒.z本題和三維自由場(chǎng)類似,差別在于均勻二維勢(shì)場(chǎng),但它不影響力學(xué)量的守恒.⑷［中心力場(chǎng)］這種場(chǎng)的勢(shì)能V(r),哈氏算符門2 10 0 l2H=-^-{—-(r2 )-—}+V(r)⑴2卩r20r 0r 耳2r2動(dòng)量算符如下:葉0葉 0 cos0cos甲0sin甲0= =—{sin0cos甲 +i0x i 0r-}r 00 rsin00申葉0葉 0 cos0sin00cos甲0= =-{sin0sin0 +i0y i 0rr 00 rsin00申} ⑵葉0 葉 0 sin0 0、= =二{cos0 - }i0z i 0rr 000由于〒等不能與H中所含V(r)對(duì)易，因而各分量p等都不和H對(duì)易，即［p,H］豐0等式成0x立，p2二-甲{丄0(r20)- 1 [(sin0r20r 0r r2sin000r2sin200p2二-耳2({ +二+j)和V(r)對(duì)易，也不與H對(duì)易。即［p2,H］豐00x20y20z2［b］角動(dòng)量算符是:00lx=ni{Sin旨Ctg0C0S申亦}〈 [=-ni{cos000-ctg0sin000}pl及其分量?jī)H與角度（°,P）有關(guān)，與r無(wú)關(guān)，因而l等和l2和勢(shì)能V（r）對(duì)易直接看出：（見(jiàn)x課本113頁(yè))[l,12]二0z直接代入能證：［l,I2］=0aa1(r2—)一——l2}}=0

r q2r2同理關(guān)于lx門2iaai[l2,H]={/2,一丄{ —(r2—)一 l[l2,H]={/2,一2pr2ar arq2r2［c］中心力場(chǎng)是球?qū)ΨQ勢(shì)場(chǎng)，即在同一球面上勢(shì)能相等（等勢(shì)面球形）V（-P）=V（P）對(duì)任意波函數(shù)屮（卩,t），有PH(p)v(p,t)=P匸+v(p)}屮(p,t)2p=炸+V(-臥(-t)=吩+V(臥(-t)=訕況t兒［P,H］=0p中心力場(chǎng)的守恒量是l,l2,H,P。⑸［均勻交變場(chǎng)］這種勢(shì)場(chǎng)可以是三維的，但既是均勻的，則勢(shì)能不應(yīng)依賴于座標(biāo)，而只依賴于時(shí)間，例如寫(xiě)成標(biāo)量場(chǎng)形式=Vcoswt0這樣，在每一個(gè)指定時(shí)間t就是一個(gè)空間中的均勻場(chǎng)，其性質(zhì)就和三維自由粒子場(chǎng)相仿。ppk,l,H,P守恒量。但若這種場(chǎng)是矢量場(chǎng)，例如一個(gè)電場(chǎng)沿z軸，隨時(shí)間作交變，這樣對(duì)稱性要減低。=V0coswt?k（k沿z軸單位矢）則守恒量是p,p,l,H,Pxyx⑹［橢球場(chǎng)］這種勢(shì)場(chǎng)的對(duì)稱性,在于場(chǎng)的等勢(shì)面是一群橢球面,因而勢(shì)場(chǎng)寫(xiě)作:V（卩）=（-）2+G）2+（-）2abc這可以用直角坐標(biāo)形式的算符來(lái)討論:H一尖(穽+二+穽)+心2+G)2+(三)2}2卩ox2 (3y2 dz2a bc動(dòng)量算付疋：p-耳o入 耳o，p=入 耳o，p=xioxyidyzioz另兩個(gè)輪換對(duì)稱。由于直角坐標(biāo)與其共軛動(dòng)量不對(duì)易，即［p,X］=】等x i[P，H]二[衛(wèi)f，-2^(字+^~+^~)+{(-)2+(b)2+(Z)2}]x iox 2卩ox2 dy2 dz2 abc一式中［p,X2］豐0，所以動(dòng)量不守恒，同理［/,H］=［衛(wèi)（y?—呂），-尹（字+字+字）+｛（X）2+（y）2+（三）2｝］x i oz oy 2卩ox2oy2Oz2 abc此式之中i與T，V兩部分都不能夠?qū)σ祝蚨莿?dòng)量也不守恒。x橢球形勢(shì)場(chǎng)中粒子的守恒只會(huì)有H和P兩種。c.f.D.特哈爾：量子力學(xué)習(xí)題集：§3。31題pl54—p。160。［12］對(duì)于平面轉(zhuǎn)子（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I），設(shè)：屮?,0）二Asin29（1）試求屮（申,t）兀［解］平面轉(zhuǎn)子的定位坐標(biāo)是轉(zhuǎn)角9，這種坐標(biāo)相當(dāng)于球面極坐標(biāo)中r=常數(shù)，°=—，9=自首先推出哈氏算符，在經(jīng)典力學(xué)中，若剛體對(duì)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I,角動(dòng)量（相當(dāng)于f）/xx\o"CurrentDocument"1 nd和動(dòng)量T的關(guān)系是T=l2，轉(zhuǎn)子的勢(shì)能是零，又在球面極座標(biāo)中導(dǎo)得l= ，故轉(zhuǎn)子21x zi創(chuàng)n2d2哈氏算符：H二— ⑴21珈2根據(jù)本章§5.1的⑵狀態(tài)的波函數(shù)采用海森伯表象時(shí)記作申（卩,0），采用薛定諤表象時(shí)是屮（卩,0）,則二者有函數(shù)變換關(guān)系是：P（卩,t）=e-iHt/叩（卩,0） ⑵本題是該公式的典型用法的示例，本題情形，所用變換算符不顯含時(shí)間，根據(jù)（1）式有：iqt/qB2e-iHt/n二e2i卻2 ⑶將⑶式運(yùn)算于題給的海森伯表象波函數(shù)川 1—cos2q、屮(r,t)=P(P,t)=e21B申2( - )厶申1nit B2 1—cos2p=乙()n( )n( )n!2i BP2 2n=0B注意至U： cos2申=2cos(2申+兀)=-2sin2申B申cos2p=—22cos2pBp2cos2p二22ncos(2p+n兀)二(一4)ncos2pBP2nf1-2nir.1—cos2p、1V1-2nircos2p屮(P,t)二乙一( )n( )=_-乙一( )?-n!I 2 2 n! I 2n=0 n=01—2qit—{乙(—n!Icos2Pn=01 —2qit=^{1-eicos2p}(4)⑷還是非歸一化的波函，要將屮（卩,t）歸一化，應(yīng)乘常數(shù)［13］證明在伽利略變換下薛定諤方程具有不變性，即設(shè)慣系K'以速度v相對(duì)于慣性系K(沿x軸正方向)運(yùn)動(dòng)時(shí)，空間任何一點(diǎn)，兩座標(biāo)系中的坐標(biāo)滿足：{x=x‘+vt‘ y=y‘z=Ztz=t ⑴勢(shì)能在KzK兩坐標(biāo)系中的表示式有下列關(guān)系V＇(x＇,t＇)=V＇(x-vt,t)=V(x,t) ⑵證明若在K'中薛定諤方程式是。屮 耳2Q2則在K'中:+則在K'中:+V)屮dt 2pdx2其中：屮(x,t)二ei(nx_2/W(x—vt,t) ⑶［證明］從伽利略變換定義可知，在⑴式中當(dāng)t=0時(shí)，x=xz,t=t‘，因此在時(shí)刻t=0一點(diǎn)的波函數(shù)屮(x,t)與屮'(x‘,t')相重合，這個(gè)關(guān)系和§5.1⑵的海森伯，薛定諤表象變換：e—e—Ht/n屮(卩,0)為普遍起見(jiàn)，我們假設(shè)K,K‘間的變換用一未知的么正算符U?(x,t)表示。關(guān)于這一點(diǎn)也可以用變換前后的幾率相等來(lái)解釋(x,t)|2="(x；t')|2。屮'(x',t')=U(x,t)V(x,t) ⑷逆變換 屮(x,t)