第二章-統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述(統(tǒng)計(jì)學(xué))

1第二章---統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述(統(tǒng)計(jì)學(xué))22.1數(shù)據(jù)的計(jì)量尺度在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析和整理時(shí)，都需要了解統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的性質(zhì)。為此要對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，根據(jù)計(jì)量學(xué)一般分類方法，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按照從粗略到精確（從低級(jí)到高級(jí)）分類的計(jì)量尺度分別是列名尺度（定類尺度）、順序尺度（定序尺度）、間隔尺度（等距尺度）和比例尺度（等比尺度）。1、列名尺度（nominalscale)

列名尺度是最粗略的計(jì)量尺度，它只能對事物進(jìn)行平行的分類和分組，各類、組之間是平行的。例如將06營銷和06會(huì)計(jì)專業(yè)學(xué)生按生源地劃分，可以將學(xué)生分為云南籍學(xué)生、貴州籍學(xué)生、廣西籍學(xué)生…等等。在本例中生源地就是列名尺度。由列名尺度確定的數(shù)據(jù)是不能進(jìn)行加、減、乘和除法運(yùn)算的。有時(shí)，我們用“1”表示云南籍學(xué)生，“2”表示貴州籍學(xué)生，“3”表示廣西籍學(xué)生，…等等，這時(shí)，1，2，3等等僅是一個(gè)符號(hào)，不能進(jìn)行運(yùn)算。2、順序尺度（ordinalscale)3順序尺度比列名尺度要高一級(jí)，表現(xiàn)為各類或組之間有一定的順序，可以進(jìn)行優(yōu)劣等級(jí)的比較。例如把我們同學(xué)按照學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀、良好、及格和不及格四類，顯然這四類是有好壞或者說順序之分的，不是平行的。優(yōu)秀、良好、及格和不及格就是順序數(shù)據(jù)，學(xué)習(xí)成績就是順序尺度。顯然順序尺度一定是列名尺度，順序數(shù)據(jù)一定是列名數(shù)據(jù)。

3、間隔尺度（intervalscale）間隔尺度是一種對數(shù)據(jù)進(jìn)行精確計(jì)量的尺度，它不僅可以比較各事物的順序，而且還可以計(jì)算其大小和差值的大小，也就是數(shù)量的間隔。例如我們同學(xué)數(shù)學(xué)考試成績是69、80、70、90、76等等。間隔尺度度量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是可以進(jìn)行加法和減法運(yùn)算。顯然間隔尺度度量的數(shù)據(jù)一定是順序數(shù)據(jù)，也一定是列名數(shù)據(jù)。4、比例尺度（ratioscale）比例尺度，又稱為定比尺度，是一種比間隔尺度更高級(jí)的計(jì)量尺度，和間隔尺度主要區(qū)別是對“0”的理解上，在間隔尺度中，“0”4表示一個(gè)具體值，在比例尺度中“0”表示沒有。例如假設(shè)我數(shù)學(xué)考試成績是0分，表示我數(shù)學(xué)成績是0分，也是我的成績，并不是表示我沒有成績，也不表示我沒有一定數(shù)學(xué)知識(shí)，至少1+2=3是知道的。假設(shè)我身上是0元錢，表示我口袋了一分錢都沒有，也就是沒有錢?？梢钥闯霰硎境煽兊慕y(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是間隔數(shù)據(jù)，表示錢的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是比例數(shù)據(jù)。兩者之間的關(guān)系：間隔數(shù)據(jù)的差是比例數(shù)據(jù)。例如物理學(xué)中的電勢、電勢能、溫度、重力勢能都是間隔數(shù)據(jù)，但它們的差電勢差、電勢能差、溫度差和重力勢能查都是比例數(shù)據(jù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，絕大多數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都是比例數(shù)據(jù)。GDP、就業(yè)人數(shù)、企業(yè)總產(chǎn)值、企業(yè)主營業(yè)務(wù)收入等等都是比例數(shù)據(jù)。顯然比例數(shù)據(jù)一定是間隔數(shù)據(jù)。比例數(shù)據(jù)可以進(jìn)行加、減、乘和除法運(yùn)算。凡是適合低級(jí)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法，對高級(jí)數(shù)據(jù)都適合，反之，就不一定成立。52.2統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的來源統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的來源主要有直接來源和間接來源。間接來源是指利用現(xiàn)有的數(shù)據(jù)。例如從報(bào)紙、圖書、雜志、統(tǒng)計(jì)年鑒、網(wǎng)絡(luò)獲取的數(shù)據(jù)是間接數(shù)據(jù)，也包括才市場調(diào)查公司或數(shù)據(jù)庫購買的數(shù)據(jù)。直接來源主要包括試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)調(diào)查獲取的數(shù)據(jù)。物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)直接來源于試驗(yàn)設(shè)計(jì)，經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)直接來源于統(tǒng)計(jì)調(diào)查。統(tǒng)計(jì)調(diào)查的方法：普查和抽樣調(diào)查

1、普查普查是為一特定的目的，專門組織的一次全面調(diào)查。例如我國每十年進(jìn)行一次的人口普查，農(nóng)業(yè)普查等等。普查的特點(diǎn)是數(shù)據(jù)全面，但成本高。

2、抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查是從總體中隨機(jī)抽出一部分樣本，通過樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量特征來分析研究總體數(shù)量特征的調(diào)查研究方法。例如市場調(diào)查、對傳染病的調(diào)查。62.3統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的質(zhì)量

1、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的誤差：非抽樣誤差和抽樣誤差非抽樣誤差：調(diào)查過程中由有關(guān)環(huán)節(jié)工作失誤造成的誤差。它包

括調(diào)查過程中的填報(bào)錯(cuò)誤、抄錄錯(cuò)誤、匯總錯(cuò)誤、不完整的抽樣框?qū)е碌恼`差、調(diào)查中不回答產(chǎn)生

的誤差和某些受訪者故意報(bào)虛假數(shù)據(jù)等等?？朔椒ǎ杭訌?qiáng)培訓(xùn)工作，認(rèn)真貫策《統(tǒng)計(jì)法》

抽樣誤差：利用樣本推斷總體時(shí)產(chǎn)生的誤差。改善方法：選擇好的統(tǒng)計(jì)方法

2、提高統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的質(zhì)量途徑克服非抽樣誤差，選擇好的統(tǒng)計(jì)方法減小抽樣誤差。72.4統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的整理一、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分組統(tǒng)計(jì)分組是統(tǒng)計(jì)整理的第一步，將數(shù)據(jù)列入不同的組內(nèi)的過程。其中列名尺度和順序尺度數(shù)據(jù)是按照事物的性質(zhì)和屬性劃分的，又稱為按品質(zhì)標(biāo)志分組。間隔尺度和比例尺度數(shù)據(jù)是按照事物數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)來劃分的，又稱為數(shù)量標(biāo)志分組。例題某班學(xué)生按性別分組按性別分組人數(shù)百分比%

男生3060

女生2040

合計(jì)50100

8二、次數(shù)分配（頻數(shù)分布）次數(shù)分配，也叫頻數(shù)分配，是將數(shù)據(jù)分組后，計(jì)算其次數(shù)分布的情況。例題某車間30名工人周加工零件數(shù)工人編號(hào)周加工零件數(shù)工人編號(hào)周加工零件數(shù)工人編號(hào)周加工零件數(shù)

110611992185284129422106311013119231014911488241055109151182596691169726105711117103271078107181062812891211995291111010520106301019解：對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分組第一步是確定組數(shù)，按下列公式來確定

其中k為組數(shù)，n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。在本例中，k=1+lg30/lg2，約等于5，故分為5組第二步確定組距（組的上限與下限之差值）在本例中，樣本數(shù)據(jù)中，最大值是128，最小值是84，故組距是（128-84）/5約等于8.1，再結(jié)合本例數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，取組距為10。得到頻數(shù)分布是如下圖所示10按周加工零件分組數(shù)次數(shù)（頻數(shù)）向下累計(jì)次數(shù)向上累計(jì)次數(shù)80~90333090~10071027100~110132320110~1205287120~1302302

合計(jì)30次數(shù)分布的顯示方法：直方圖和折線圖在直角坐標(biāo)系中，用小矩形顯示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分布特征的圖形就是直方圖。在本例中，其直方圖和折線圖如下：11思考題：向下累計(jì)頻數(shù)和隨機(jī)變量的分布函數(shù)之間的關(guān)系是什么？12四、洛倫茨曲線和基尼系數(shù)

1、洛倫茨曲線美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛倫次在上個(gè)世紀(jì)初，根據(jù)意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托提出的收入分配公式繪制成的描述收入和財(cái)富分配的曲線。收入分配百分比與人口百分比之間的函數(shù)關(guān)系的曲線。作法：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示累計(jì)人口的百分比，縱軸表示累計(jì)的收入或財(cái)富百分比。描點(diǎn)繪制出洛倫茨曲線。

13曲線1曲線2曲線3人口占總?cè)丝诘陌俜直蓉?cái)富占總財(cái)富的百分比100%100%AB14在上圖中，曲線1表示人口百分比與收入百分比完全相等，說明這個(gè)國家或地區(qū)的收入分配是完全按人口平均分配的。曲線2表示絕大多數(shù)人沒有收入或財(cái)富，只有極少數(shù)人占有全部財(cái)富，說明這個(gè)國家或地區(qū)人的收入和財(cái)富分配是絕對不平均的。世界上絕大多數(shù)國家或地區(qū)收入分配的洛倫次曲線在曲線1和曲線3之間，如曲線2所示。為了更準(zhǔn)確地反映收入分配的變化程度，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼提出基尼系數(shù)來刻畫收入分配平均程度基尼系數(shù)=A/(A+B)顯然，基尼系數(shù)在0和1之間，若基尼系數(shù)等于0，表明這個(gè)國家收入分配是絕對平均的，若基尼系數(shù)等于1，表明這個(gè)國家收入分配是財(cái)富集中在極少數(shù)人手上，絕大多數(shù)人沒有財(cái)富，分配是絕對不平均的。在通常情況下，一個(gè)國家的基尼系數(shù)在0.2~0.4之間，社會(huì)比較穩(wěn)定，當(dāng)基尼系數(shù)超過0.4時(shí)，表明這個(gè)國家收入分配出現(xiàn)不公了，需要政府采取措施，縮小差距，維護(hù)社會(huì)穩(wěn)定。15例2.2講解。下表是澳大利亞1973年至1974年可稅收入分布情況16可稅收入

/$納稅人數(shù)目/人可稅收入

/$在收入等級(jí)中的百分?jǐn)?shù)累計(jì)的百分?jǐn)?shù)%人數(shù)收入額人數(shù)收入額1200以下1200~15991600~19992000~23992400~27992800~31993200~35993600~39994000~47994800~55995600~63996400~71997200~79998000~87998800~999910000~1199912000~1599916000~1999920000~3999940000以上1193122822943012013517053522973800324165974446258378706656494662333047011955141257401151559854679826314773107945641307253955135439777730079164925578188029482659102.135.035.386.286.296.787.437.9314.9511.888.325.443.492.242.051.761.430.560.550.080.501.512.062.933.474.335.376.4113.9413.0710.567.825.613.994.084.064.132.113.041.012.137.1612.5418.8225.1131.8939.3247.2562.2074.0882.4087.8491.3393.5795.6297.3898.8199.3799.92100.00.502.014.077.0010.4714.8020.1726.5840.5253.5964.1571.9777.5881.5785.6589.7193.8495.9598.99100.0合計(jì)100.0100.017

表中第一列可稅收入是分組的變量（比例尺度數(shù)據(jù)變量）；第二列納稅人數(shù)是收入分組的次數(shù)分配（在可稅收入范圍內(nèi)的納稅人數(shù)）；第三列可稅收入是指各組納稅人可稅收入的總額；第四列和第五列分別是分別是第二列和第三列的百分比分布；第六和第七列分別是第四和第五列向下累積的數(shù)值。下面用MATLAB6.5軟件繪制出洛倫茨曲線，有關(guān)程序是X；Y；PLOT（X，Y）;Z=1:2:100;Z1=zPlot(z,z1,x,y,’r’)圖中，藍(lán)線表示的是完全按人口平均分配收入的洛倫茨曲線，紅線表示本例中的洛倫茨曲線，也就是1973~1974年澳大利亞收入分配的洛倫茨曲線。

18192.5分布的集中趨勢的測度數(shù)據(jù)的集中趨勢是指能夠代表數(shù)據(jù)總體變化趨勢的量，集中趨勢的值愈大，表明從總體上看，數(shù)據(jù)值大，反之，集中趨勢值愈小，表明從總體上看，數(shù)據(jù)值愈小。因此，集中趨勢是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的一個(gè)重要指標(biāo)。不同數(shù)據(jù)類型度量它的集中趨勢指標(biāo)值是不同的，下面分別介紹。一、名列尺度數(shù)據(jù)：眾數(shù)對于名列尺度數(shù)據(jù)，度量它集中趨勢的指標(biāo)是眾數(shù)。眾數(shù)：在一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是眾數(shù)。例如某市場調(diào)查公司調(diào)查市場上飲料銷售情況，如下表所示飲料品牌頻數(shù)百分比可口可樂1836%

旭日升冰茶918%

百事可樂1326%

匯源果汁1020%

合計(jì)50100%20由眾數(shù)的定義知，上述數(shù)據(jù)中，眾數(shù)是可口可樂，因?yàn)樗霈F(xiàn)的次數(shù)最多的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。因?yàn)榉彩沁m合低級(jí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法，對高級(jí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也適合，因此順序數(shù)據(jù)、間隔數(shù)據(jù)和比例數(shù)據(jù)都可以用眾數(shù)來描述它們的集中趨勢。順序數(shù)據(jù)、未分組的間隔數(shù)據(jù)和比例數(shù)據(jù)的眾數(shù)計(jì)算方法和列名數(shù)據(jù)計(jì)算方法相同。對于分組的間隔數(shù)據(jù)和比例數(shù)據(jù)，其眾數(shù)計(jì)算方法如下：

表示眾數(shù)，L表示眾數(shù)所在的組下限，表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差。表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差。i表示眾數(shù)組的組距21例題計(jì)算例2.2中的眾數(shù)解：1）找到眾數(shù)所在的組，也就是頻數(shù)最多的組。在本例中，眾數(shù)所在的組是4000~47992）按上述公式計(jì)算如下

22注：不是在任何情況下，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都有眾數(shù)，有時(shí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。雖然眾數(shù)可以用來度量順序數(shù)據(jù)和數(shù)量數(shù)據(jù)（間隔數(shù)據(jù)和比例數(shù)據(jù)）但是順序數(shù)據(jù)和數(shù)量數(shù)據(jù)不常用眾數(shù)來度量它們的集中趨勢，下面先介紹順序數(shù)據(jù)集中趨勢度量方法二、順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)中位數(shù)是數(shù)據(jù)排序后，位置在最中間的數(shù)值。例如我們有5個(gè)數(shù)，2，4，3，8，9，將它們排序后是2，3，4，8，9，處于中間位置的是4。因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4若是偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則取中間兩位數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。例如有數(shù)據(jù)3，5，2，4，8，6，9，7排序后是2，3，4，5，6，7，8，9中間兩位是5和6，中位數(shù)是（5+6）/2=5.5對于分組數(shù)據(jù)，可按下列公式來計(jì)算23其中N為樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)（樣本容量），L表示眾位數(shù)所在組的下限表示眾位數(shù)所在組的以下各組的累計(jì)次數(shù)；表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；i表示中位數(shù)所在組的組距。下面我們計(jì)算例2.2中的中位數(shù)解：1)找到中位數(shù)所在的組看N/2次落在哪組，不難看出，N/2次落在4000~4799這一組因此中位數(shù)一定落在這組，所以，L=4000，

,i=799所求的中位數(shù)是4146.97

24分位數(shù)的概念分位數(shù)是將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等分成幾個(gè)部分的數(shù)據(jù)。若等分成四個(gè)部分，稱為四分位數(shù)，若等分成10個(gè)部分，稱為十分位數(shù)，若等分成兩個(gè)部分，稱為中位數(shù)。下面以四分位數(shù)為例說明分位數(shù)的計(jì)算方法所謂四分位數(shù)是指把一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等分成四個(gè)部分的三個(gè)數(shù)據(jù)，由于中間的那個(gè)分位數(shù)是中位數(shù)，已經(jīng)講過，著重講解上下兩個(gè)四分位數(shù)。例題設(shè)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)2，4，3，5，7，6，10，3，5，9，11，21，20，19，16，17，15解：首先將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按升序排列為：2，3，3，4，5，5，6，7，9，10，11，15，16，17，19，20，21第一個(gè)四分位數(shù)（下四分位數(shù)）在N/4=17/4=4.25的位置，而4的25位置是4，5的位置是5，故4.25的位置是4.25，即下四分位數(shù)是4.25，即。上四分位數(shù)是在3/4的位置，即12.75的位置12的位置是15，13的位置是16，所以12.75的位置的數(shù)是15.75，故上四分位數(shù)。對于分組數(shù)據(jù)，上、下四分位數(shù)的計(jì)算公式分別是

26下面講解例2.2中上、下四分位數(shù)的計(jì)算解：以頻率為標(biāo)準(zhǔn)來算

N=100，N/4=25，3N/4=75，所以，下四分位數(shù)在2400~2799組內(nèi)，上四分位數(shù)在5600~6399組內(nèi)。

27注：中位數(shù)和分位數(shù)主要是用來描述順序數(shù)據(jù)的集中趨勢，也可以用來描述數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢。但不能用來描述列名數(shù)據(jù)的集中趨勢。對于數(shù)值型數(shù)據(jù)主要用均值來描述其集中趨勢。數(shù)值型數(shù)據(jù)（間隔數(shù)據(jù)和比例數(shù)據(jù)）：均值均值（mean)就是算術(shù)平均數(shù)，主要度量間隔數(shù)據(jù)和比例數(shù)據(jù)的集中趨勢。對于未分組的數(shù)據(jù)，其均值是

對于分組數(shù)據(jù)，用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)來表示集中趨勢

28其中為第i組的次數(shù)，為第i組的組中值。例如在數(shù)2，4，9，3，4，2，中，其均值是（2+4+9+3+4+2）/6=4在例2.2中，其是分組數(shù)據(jù)，它的均值是五、幾何平均數(shù)(Geometricmean)

幾何平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形，即將幾何平均值作對數(shù)變換，得到的結(jié)果是算術(shù)平均數(shù)。反之，將算術(shù)平均數(shù)作指數(shù)變換，得到幾何平均數(shù)。幾何平均值只適合比例尺度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其他數(shù)據(jù)都不適合。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，幾何平均數(shù)主要用來計(jì)算社會(huì)經(jīng)濟(jì)問題的平均發(fā)展速度、平均增長率和平均收益率等方面。計(jì)算方法如下

29設(shè)是比例尺度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則它們的幾何平均數(shù)是

例題講解1998——2002年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值如下表所示

年份19981999200020012002國內(nèi)生產(chǎn)總值78345.282067.589468.197314.8104790.6各年發(fā)展速度計(jì)算公式是30