平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算平面向量坐標(biāo)運(yùn)算/NUMPAGES10平面向量坐標(biāo)運(yùn)算平面向量坐標(biāo)運(yùn)算平面向量坐標(biāo)運(yùn)算【教材分析】：本課是在平面向量坐標(biāo)運(yùn)算、內(nèi)積定義基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，主要知識是平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是后面學(xué)習(xí)曲線方程的重要公式和推導(dǎo)依據(jù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.掌握平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)表示，會應(yīng)用平面向量內(nèi)積的知識解決平面內(nèi)有關(guān)長度、兩向量的夾角和垂直的問題．2.能夠根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷兩向量是否垂直，求兩向量的夾角等。3.通過學(xué)習(xí)平面向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)知識的相同性，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力．提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)公式式，平面向量垂直的充要條件，平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．【教學(xué)難點(diǎn)】：平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用?！窘虒W(xué)方法】本節(jié)課采用問題啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法．【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的平面直角坐標(biāo)及其運(yùn)算下面一起來回憶下這些知識：1.在平面直角坐標(biāo)系中，是基向量，他們的坐標(biāo)如何表示？任意向量的坐標(biāo)如何表示？的坐標(biāo)如何表示？2.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量的內(nèi)積，是怎么定義的呢？·==3．有哪些重要性質(zhì)？·==；||=∣·∣≤4.滿足哪些運(yùn)算律(1)交換律：·=·(2)結(jié)合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；(3)分配律：(＋)·＝·＋·5.那么如何用坐標(biāo)來表示·呢？教師提出問題．學(xué)生回憶解答．師生共同回憶舊知識．師：對平面向量的內(nèi)積的研究不能僅僅停留在幾何角度，還要尋求其坐標(biāo)表示．引出探究問題．為知識遷移做準(zhǔn)備．新課知識講解例題講解練習(xí)鞏固例題講解練習(xí)鞏固新課已知，是直角坐標(biāo)平面上的基向量，如果＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，你能推導(dǎo)出·的坐標(biāo)公式嗎？探究過程·＝(a1＋a2)·(b1＋b2)＝a1b1·＋a1b2·＋a2b1·＋a2b2·，又因?yàn)椤ぃ?，·＝1，·＝0，所以·＝a1b1＋a2b2．定理在直角坐標(biāo)平面xoy中，如果＝(a1，a2)，＝(b1，b2)則·＝a1b1＋a2b2．即：兩個向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．因此可以推出兩向量垂直的充要條件為⊥a1b1＋a2b2＝0；問題：(1)若已知=(a1，a2)，你能用上面的定理求出||嗎？解因?yàn)閨|2=·=(a1，a2)·(a1，a2)＝a12＋a22，所以||=eq\r(a12＋a22)．這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的計(jì)算公式．因此可推出兩非零向量夾角余弦值公式為cos?，?＝eq\f(a1b1＋a2b2,eq\r(a12＋a22)eq\r(b12＋b22))．例1設(shè)＝(3，－1)，＝(1，－2)，求：(1)·；(2)||；(3)||；(4)?，?．解(1)·＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；(2)||＝eq\r(32＋(－1)2)＝eq\r(10)；(3)||＝eq\r(12＋(—2)2)＝eq\r(5)；(4)因?yàn)閏os?，?＝＝eq\f(5,eq\r(10)×eq\r(5))＝eq\f(eq\r(2),2)，因?yàn)?≤?，?≤所以?，?＝eq\f(π,4)．配套學(xué)生練習(xí)：已知＝(0，2)，＝(-2，2)，求：(1)·；(2)||；(3)||；(4)?，?．問題(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求|eq\o(→,AB)|？解因?yàn)锳(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq\o(→,AB)＝(x2－x1，y2－y1)．所以|eq\o(→,AB)|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1))2，這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式．例2已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|eq\o(→,AB)|．解因?yàn)锳(2，－4)，B(－2，3)，所以eq\o(→,AB)＝(－2，3)－(2，－4)＝(－4，7)，所以|eq\o(→,AB)|＝eq\r(72＋(－4)2)＝eq\r(65)．學(xué)生練習(xí)：已知A(2，1)，B(6，3)，C(5，0)，求：△ABC三邊的長，并判別△ABC是否為等腰三角形．例3已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求證：eq\o(→,AB)eq\o(→,AC)．證明因?yàn)閑q\o(→,AB)＝(2－1，3－2)＝(1，1)，eq\o(→,AC)＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，可得eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝(1，1)·(－3，3)＝0．所以eq\o(→,AB)eq\o(→,AC)．練習(xí)快速判別上面的練習(xí)中的△ABC是否為等腰直角三角形？學(xué)生討論并回答，教師再提出的下列問題：（1）(a1＋a2)·(b1＋b2))是怎樣進(jìn)行運(yùn)算的？（2）·，·，·的內(nèi)積是怎樣計(jì)算的？教師給出向量內(nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式．并引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹觯诮處煹囊龑?dǎo)下學(xué)生討論得出．教師提出問題，稍加點(diǎn)撥．學(xué)生討論解答．教師總結(jié)得出這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的計(jì)算公式．教師例題分析講解學(xué)生邊學(xué)邊用學(xué)生練習(xí)鞏固所學(xué)知識教師提出問題．學(xué)生討論解答．教師總結(jié)得出這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式．學(xué)生嘗試解答．教師針對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評．學(xué)生練習(xí)，鞏固所學(xué)知識教師點(diǎn)撥，學(xué)生解答．教師針對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評．問題為復(fù)習(xí)向量的線性運(yùn)算和向量的內(nèi)積而設(shè)計(jì)．通過學(xué)生的探究給出結(jié)論，比直接給出更符合學(xué)生的特點(diǎn)，容易被學(xué)生接受．通過結(jié)論的探究，讓學(xué)生初步感受到無論是向量的線性運(yùn)算還是向量的內(nèi)積運(yùn)算，最終都?xì)w結(jié)為直角坐標(biāo)運(yùn)算．從而歸納總結(jié)出公式及數(shù)學(xué)規(guī)律通過例1可讓學(xué)生加深對向量內(nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式及向量的長度公式的理解和記憶．使剛剛學(xué)過的知識及時得到應(yīng)用．讓學(xué)生在邊學(xué)邊用中鞏固知識，形成技能．采用問題誘導(dǎo)式讓學(xué)生更易理解和接受通過例2可讓學(xué)生加深對平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的理解和記憶．學(xué)習(xí)新知后緊跟練習(xí)，有利于幫助學(xué)生更好的梳理和總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容．有利于教師檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況．小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式，常見的題型主要有：(1)直接用兩向量的坐標(biāo)計(jì)算平面向量的內(nèi)積；(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)求該向量的模（長度）；(3)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求這兩點(diǎn)間的距離；(4)運(yùn)用平面向量的性質(zhì)判定平面內(nèi)兩向量是否垂直？學(xué)生閱讀課本,暢談本節(jié)課的收獲，老師引導(dǎo)梳理，總結(jié)本節(jié)課主要的知識點(diǎn)．梳理總結(jié)也可針對學(xué)生薄弱或易錯處進(jìn)行強(qiáng)調(diào)和總結(jié)．作業(yè)教材P5