高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程與性質(zhì)知識點總結(jié)

圓錐曲線方程與性質(zhì)1．圓（1橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、F的距離的和等于常數(shù)2（于FF22

）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫圓的焦距。若

M

為橢圓上任意一點，則有

|1

。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：在y軸

y（a點在軸）或aa2a2b

點注：①以上方程中的小a，中b

2

；②在

2和a2ab

兩個方程中都有

a

的條件，要分清焦點的位置，只要看x和

2

的分母的大小例如橢圓

，

n0

，

當(dāng)

m

時表示焦點在

軸上的橢圓；當(dāng)時示焦點在y軸的橢圓。（2橢圓的性質(zhì)①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程

a2

知

|x

，

|y

，說明橢圓位于直線

，

所圍成的矩形里；②對稱性：在曲線方程里，若以

代替

方程不變，所以若點

(x,)

在曲線上時，點

(x,)

也在曲線上所曲線關(guān)于

軸對稱同理以

代替

方程不變則線關(guān)于

軸對稱若同時以

代替

，

代替

方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸軸原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與

軸、

軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x，y，則B(0,，B)2

是橢圓與軸兩個交點。同理令y得x

，即(

，

(,0)

是橢圓與

軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。

同時，線段

、12

分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2和2b，別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為

；在

Rt2

中，

||

，

|OF

，|2

，且

|OFOB|2

，即

22

；c④離心率：橢圓的焦距與長軸的e叫橢圓的離心率。∵a

∴0，越接近，

就越接近

a

，從而

就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之

越接近于

，

就越接近于

，從而

越接近于a

，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)

時，

c

，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為

x2y22

。2．曲（1雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（|||PF

注意：①式中是差的絕對值，在

0aF|2

條件下；

|PFPF|

時為雙曲線的一支；|PF|PFa1

時為雙曲線的另一支（含

1

的一支當(dāng)

2|2

時，

|||PF

表示兩條射線③當(dāng)

2|2

時||PF||

不表示任何圖形兩定點

,F2

叫做雙曲線的焦點，|F|2

叫做焦距。（2雙曲線的性質(zhì)①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程

2a2

，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線

的外側(cè)。即x22，即雙曲線在兩條直線

的外側(cè)。②對稱性雙線

2a2

關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的這時坐軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線

22a2

的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點線對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點曲

2a2

的方程里軸

軸，所以令y0得

，因此雙曲線和軸兩個交點

A(,0)Aa,0)

，他們是雙曲線

2a2

的

頂點。令

x

，沒有實根，因此雙曲線和y軸有交點。）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點線的點分別是實軸的兩個端點。實軸線

12

叫做雙曲線的實軸它長等于

2a

叫做雙曲線的實半軸長虛軸段

12

叫做雙曲線的虛軸，它的長等于

b,b

叫做雙曲線的虛半軸長。④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸線。從圖上看，雙曲線⑤等軸雙曲線：

22a2

的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。）定義實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線定義式：

a

；）等軸雙曲線的性質(zhì)漸近線方程為：

y

）近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙線，同時其他幾個亦成立。）意到等軸雙曲線的特征，軸雙曲線可以設(shè)為：0點在x軸當(dāng)時焦點在軸上。

x

2

y

2

，當(dāng)0時⑥注意

2與16916

的區(qū)別：三個量

,b

中

,b

不同（互換）

相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。3．物（1拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和條定直線l的離相等的點的軌跡叫做拋物線定點不定直線l上定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。方程

y

叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸正半軸上焦點坐標(biāo)是F（

p2

p,0的準(zhǔn)線方程是x；2（）物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)方程

還有其他幾種形式：

ypx

，

x2py

，

x2

這四種拋物線的圖形、標(biāo)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程

ypx(p0)l

y2px(p

xpy(p0)

x2(0)圖形

o

F

F

l

l

Fo焦點坐標(biāo)

p(,0)2

p(,0)2

p)2

p(0,)2準(zhǔn)線方程

x

p2

x

p2

y

p2

y

p2范圍

x0

x0

y

y對稱性

軸

軸

軸

軸頂點離心率

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(0,0)說明）通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線注強調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。4.考學(xué)錐線分識梳一方的線C()f(xy)=0(1)(2)Cfx,)=0P(xy)fx,y,y00f,y)0Cf(x,y)=0,f(y)=0,P(xy)C110

f(x,y)0f(x,y)0

nn

二圓、定：為、方：，的0時

(

D,22D4FDE22

DE22

D-43,yr

在C

在內(nèi)

(x-2(y-b)0

4

BbA2

三圓曲的一義P(x,)F(le(ele0ee1四橢、曲、物：

F122a>|FF|)12e.({M1MF=2F2a}.2

F12aa<|F|)122.e>1{MMF-MF1=±2a,FFa}.22

.{MF=Ml}

2xyy2xyy22222

xy22b2

(

a

xy222

y2px

acossin數(shù)

asectan(參

2pt2pt

(t)

a0(,0),(─a,0),(0,b(0,─b)x22b

xO(,0),(─,0)x;a2b.

x(0,0)x

Fc,0),(,0)(c,0),(,0)11aa2xx=±.

F(px=-2

=e

a

a2(0

=ea

a2(e

【注】曲線x

2..

ab

22

22

0)

22

22

x

y

0).【注】物線

211211y((21121

px=-=-2px(2ppp-=xpy((0,)y=-22

x

2

p=-2p0,=222y(M(,y)F0

MFx0

p2

y=-pxp>0)xyF0

MF

p2

03

y

(

pp22.4

y

=2px(p>0)ABA(x,y),B(xyAB=1

2

+p

AB

2sin2

(AB

y12

2

pxAF(AF).2五坐的換1.23

xOyxyy

(,y')

Ok

x'y'

xy

4h

(x)2(2+a22

ch

x

a

xyk(x)2(+b2a

2

=1

ck

y

a

k

xyk

(x)2()-a22

2

=1

ch

x

a

k

22222222(y)2()-ab2

2

1

ch

y

a2

k

xyk()px)

p2

k

x

p2

yk(-k)(x)

p2

k

x

p2

h

yk(-hp(yk

p2

k

y

p2

k

x(h(yk)

p2

k

y

p2

k

x六橢的用論平處P點PQ為

,)0

x22

0

xy002b2

,)0

x22

xyy0a2

x2b2

，

1

S

2

x2b2

|a1

|MF2

(1

(c,)20

作為AP和分為P交

交MF

x22

(xy)00

的

kOMAB

22

AB

2

,)0

x22

Po

xyy2002b22

【論

()00

x222

x22xy22a2b2

x2b2x2b

(1

(,0)2

x22

(,y)00

有

k

BC

x0

x2222

a,

F1

F21

atana

x2b2

Feq\o\ac(△,)

12

F12

F12

sin

c

x22

，ePFd與PF的P為

x2222

為aAFaAF21

A,,P2

OPQ0OPQ0

()2(y)002

2

By

A

2

2

2

2

AxBy)0

2

x2b2

為

POQ

2OQ|2b

a22222a

x2222

的

PFeMN

x2b2

的x軸(x0

222x

P

x22

為

1

PF1

2cos

S

F

2tan

x2222

0是

PAB

PBA

|PA

22a

tan

tan

2

ab2

x2b2

l

E

F

兩Cl經(jīng)的

e.七雙線常結(jié)：、處PT平eq\o\ac(△,)在處內(nèi)角平eq\o\ac(△,)在PT點為相交為切在在()00

x222

P0

x002b2

()00

x222

，PoP的

xy00a2

x222

F為

PF1

S

2

cot

2

x222

((c,0)M(xy)10

|,|x,)100

|MF||1

PA和分F兩的P和Q交AP是

x222

(x,)0

OM

AB

AB

2xy

,)0

x2b

xyy22002bb

,)0

x2b

x22xy0222【論

x222

(1

(a,0)2

時與交

x2b2

x2b

(,)00

有

k

BC

020

P為

x,22

F12

F21

ctantan

x222

F中

PFPFFP112

a

x2b

F，

2

P到與P為

x22

a為為|AFPA|PF21

A,F,PPA,F2

x22

By

2a

x222

b為

POQ

1b21OP|222b

OPQ

222

))

x2b

的

PFeMN

x22

AB

(,0),0

2

2

x0

2

2

x為22

1

(

PF1

2cos

S

F

cot

x2b

PAB

PBA

|PA

2ab2||

tan

tan

2

22

x2b

a

l

E

F

AlBC經(jīng):八拋線常結(jié)：2x

(

ac2

yyy2p0)yy

Ppyp0)P

2x

2py

2ptpty2yypx

x2x2▲▲

x

F(

p2

,0)

(

p2

,0)

F

p2

)

F

p2

)

p2

x

p2