湖南省岳陽市高三下學期教學質(zhì)量監(jiān)測(三)數(shù)學試題（解析版）

第26頁/共26頁高三教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．作答選擇題時，選出答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案不能答在試卷上．3．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)的定義域，解不等式，借助數(shù)軸即可求出交集.【詳解】由解得，由解得，故.故選：B.2.設復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除法規(guī)則和復數(shù)的實部虛部定義求解.【詳解】因為復數(shù)滿足，即，所以，所以復數(shù)的虛部是；故選：D.3.已知平面向量的夾角為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，展開計算即可.【詳解】由已知.故選：D.4.《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設球半徑為，圓錐的底面半徑為，母線為，由直角圓錐的側(cè)面積為可求出，，再求出圓錐的高即可知，解得，即可求出球的體積.【詳解】設球半徑為，圓錐的底面半徑為，若一個直角圓錐的側(cè)面積為，設母線為，則，所以直角圓錐的側(cè)面積為：，可得：，，圓錐的高，由，解得：，所以球的體積等于，故選：B5.某公司為慶祝新中國成立73周年，計劃舉行慶祝活動，共有5個節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個且C、D節(jié)目相鄰，則節(jié)目安排的方法總數(shù)為（）A.18 B.24 C.36 D.60【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合特殊元素問題及相鄰問題，列式計算作答.【詳解】因為C、D節(jié)目相鄰，則視C、D節(jié)目為一個整體與其它3個節(jié)目排列，又A節(jié)目不排在第一個，則從后面三個位置中取一個排A，再排余下3個，有種，其中的每一種排法，C、D節(jié)目的排列有，所以節(jié)目安排的方法總數(shù)為（種）.故選：C6.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走到達B處，在B處測得山頂P的仰角為γ．想在山高的處的山腰建立一個亭子，則此山腰高為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在處測得山頂?shù)难鼋菫?，的傾斜角，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋谜叶ɡ砑纯伤愠錾窖叨?【詳解】由題意可知，，，分別在，中，，，所以，又在中，由正弦定理可得，，即，，在中，.所以山腰高為.故選：C.7.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)球心到三棱錐各頂點的距離相等，作出輔助線，找到球心，求出外接球半徑，結(jié)合二面角的平面角的定義，求出三棱錐的高、底面積，得到三棱錐的體積.【詳解】取的中點，連接，因為，所以到的距離相等，故即為球心．由球表面積等于，設外接球半徑為，故，解得，過作垂直于于點，因為，，所以，同理，過點作，且，則，是二面角的平面角，，過點作，垂足為點.因為，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．故選：B.8.已知函數(shù)，若有兩個極值點，記過點，的直線的斜率為，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當時，求導，根據(jù)有兩個極值點可得，由奇函數(shù)的定義可得為奇函數(shù)，不妨設，則有，所以，.由直線的斜率公式的表達式，可得，令，利用導數(shù)可得在上單調(diào)遞增，又由，根據(jù)單調(diào)性可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，函數(shù)的導數(shù)為，由函數(shù)由兩個極值點得.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.故當時，函數(shù)的極小值點為.當時，則，則，同理當時，也有，故為奇函數(shù).不妨設，則有，所以，可得，由直線的斜率公式可得，又，所以.設，得，所以在上單調(diào)遞增，又由，由，得，所以.故選:A.【點睛】對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．9.2022年11月28日，平江-益陽高速公路通車運營，湖南省交通運輸廳統(tǒng)計了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量（單位：萬車次），并與2022年12月22日至12月28日比較，得到同比增長率（）數(shù)據(jù)，繪制了如下統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量的極差為25B.2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量的中位數(shù)為18C.2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量比2022年12月22日至12月28日高速公路車流量大的有4天D.2022年12月25日的高速公路車流量小于20萬車次【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合統(tǒng)計圖，按照極差、中位數(shù)和同比增長率的定義判斷正誤即可.【詳解】根據(jù)標準數(shù)據(jù)，依次分析各選項即可得答案．對于A：由題圖知，2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量的極差為，故A錯誤；對于B：易知2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量的中位數(shù)為18，故B正確；對于C：2023年1月23日，1月26日，1月27日，1月28日這4天的同比增長率均大于0，所以2023年1月22日至1月28日的高速公路車流量比2022年12月22日至12月28日高速公路車流量大的有4天，故C正確；對于D：2023年1月25日的高速公路車流量為18萬車次，同比增長率為，設2022年12月25日的高速公路車流量為萬車次，則，解得，故D錯誤．故選：BC.10.在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱BC與的中點，則下列選項正確的有（）A.平面B.與所成的角為30°C.平面D.平面截正方體的截面面積為【答案】ABD【解析】【分析】設點M為棱的中點，得到四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定A正確；再得到四邊形為菱形，求得截面的面積，可判定D正確；設的中點為N，證得，得到為與所成的角，利用余弦定理求得，可判定B正確；假設平面正確，得到，結(jié)合，證得平面，得到，進而判定C錯誤．【詳解】如圖1所示，設點M為棱的中點，則平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，又，平面，平面，所以平面，故A正確；由上可知，四邊形為平面截正方體的截面，易得，故四邊形為菱形，又其對角線，，故其面積為，故D正確；設的中點為，連接，因為分別為與的中點，所以，故為與所成的角，又，，由余弦定理可得，所以與所成的角為，故B正確；如圖2所示，假設平面正確，則，又，，所以平面，得．在正方形中，，顯然不成立，所以假設錯誤，即平面錯誤，故C錯誤．故選：ABD．11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點（其中A在B的左側(cè)），記面積為S，則（）A. B.時，C.S的最大值為 D.當時，【答案】ABD【解析】【分析】由題知，，，設，則，進而結(jié)合向量運算，橢圓定義等討論各選項即可得答案.【詳解】由題知，，，設，則，對于A，根據(jù)橢圓的定義，，故A正確；對于B，，故，因為，即，所以，解得，故B正確；對于C，因為，當且僅當，即時等號成立，即所以，面積為，即的最大值為，故C錯誤；對于D，，所以，因為，所以，由點在橢圓C得，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以面積為，故D正確；故選：ABD.12.設數(shù)列的前n項和為，且，若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞減C.當時，取得最小值 D.時，n的最小值為7【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件及累加法求數(shù)列的前n項和為，利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合已知條件逐項判斷即可求解．【詳解】由，得，，解得，當時，滿足上式，所以當時，所以，故A正確；當時，單調(diào)遞增，又所以數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，且，所以當時，取得最小值，故B錯誤，C正確；又故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的展開式中含項的系數(shù)為1024，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二項式定理求解的系數(shù)再求解即可.【詳解】因為的通項公式為，所以的展開式中含項為．，得.故答案為：214.寫出與圓和都相切的一條直線方程____________．【答案】或中任何一個答案均可【解析】【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，可知公切線斜率存在，方程可設為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）15.已知函數(shù)的部分圖象如圖，，則____________．【答案】##0.75【解析】【分析】由求出，由圖像得，結(jié)合求解，根據(jù)函數(shù)的對稱性得，再結(jié)合求得結(jié)果.【詳解】結(jié)合題意可知，，，∵，∴，又由圖像可知，，即，解得.又由，即，即，，從而，故，令，，則，從而的對稱軸為，，由圖像可知，與關(guān)于對稱，即，，因為，即，所以．故答案為：.16.若對任意，恒成立，則實數(shù)a的取值集合為____________．【答案】【解析】【分析】設函數(shù)，，則恒成立，由函數(shù)在處取得最大值，則，得出，再驗證當時，符合題意．【詳解】由題意設，，則恒成立，顯然，函數(shù)在處取得最大值，，而，，即．當時，，當時，，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，符合題意．故實數(shù)a的取值集合為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項公式即可；（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.【小問1詳解】因為是等比數(shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列通項公式為．【小問2詳解】由（1）得，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時；綜上所述：.18.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）設，當?shù)闹底畲髸r，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和和三角函數(shù)公式化簡等式，即可得出.（2）根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其最值，從而求出，即可求出△ABC的面積【小問1詳解】由題意在△ABC中，，，由正弦定理得，∴，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故，故，而，故即.【小問2詳解】由題意及（1）得在△ABC中，，，故外接圓直徑，故，，其中，且，因為，故，而，故的最大值為1，此時，故，，故，且故，此時.19.如圖，在三棱柱中，D為AC的中點，AB=BC=2，.（1）證明：；（2）若，且滿足：三棱柱的體積為，二面角的大小為60°，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；（2）由三棱柱的體積為可求出，建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】在三棱柱中，由題意可得，，，∴，又∵AD=DC，∴，同時在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，∴，∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴【小問2詳解】∵且，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，又∵，∴為二面角的平面角，即，，取BC的中點O，則，∴，又∵三棱柱的體積為，∴如圖所示，建立空間直角坐標系，設平面的一個法向量為，且，，則，令，則，，故，設平面的一個法向量為，且，，則，令，則b=0，，故，，故二面角的正弦值為.20.某大型商場為了回饋廣大顧客，設計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放8個大小相同的小球，其中4個為紅色，4個為黑色．抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球．如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎．（1）若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望．（2）若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望．（3）如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）分布列見解析；期望為（3）答案見解析【解析】【分析】（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，則中獎次數(shù)服從二項分布；（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，則中獎次數(shù)的分布列可由相互獨立事件的概率公式求出；（3）第（1）（2）兩問的數(shù)學期望相等，根據(jù)宣傳需要合理選用方案.【小問1詳解】若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)服從二項分布，即，所以的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學期望．【小問2詳解】若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學期望為.【小問3詳解】因為（1）（2）兩問的數(shù)學期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的小，即，第（1）問中不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應，則選擇按第（2）問方式進行抽；回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進行抽獎．21.已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．（1）求直線的斜率；（2）若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．【答案】（1）6（2）4【解析】【分析】（1）由雙曲線漸近線斜率公式以及點在雙曲線上，列方程求出雙曲線方程，設直線AB的方程與雙曲線聯(lián)立，利用韋達定理求解點坐標，直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù)，同理得出點坐標，求出直線的斜率.（2）設M點坐標為，求解，結(jié)合面積公式求得結(jié)果.【小問1詳解】如圖，雙曲線的漸近線方程為，代入點的，又點在雙曲線上，即，聯(lián)立解得，故雙曲線的方程為．設點，，已知直線AB、AC的斜率一定存在，所以設直線AB的方程為，即，代入雙曲線的方程得，所以，則，所以由直線AB與AC斜率之和為0，可設AC的方程為：同理可得所以，所以直線l的斜率為6．【小問2詳解】設M點坐標為，過M作漸近線的平行線分別為，由（1）