2020-2021學年上海市浦東新區(qū)建平中學高一（下）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年上海市浦東新區(qū)建平中學高一（下）期末數(shù)學試卷一、填空題1．函數(shù)f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期為．2．若復數(shù)z滿足（1+i）z＝i（i為虛數(shù)單位），則Imz＝．3．設A（2，3），B（﹣1，5），且，則點D的坐標是．4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則該數(shù)列的通項公式an＝．5．已知，，則在向上的數(shù)量投影為．6．已知，則＝．7．關于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一個根是x＝1+ni（n＞0），則＝．8．i是虛數(shù)單位，則＝．9．如圖，在三角形ABC中，點D是邊BC的中點，O是AD的中點，若BO＝AD＝2，則＝．10．定義：復數(shù)b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的轉置復數(shù)，記為z'＝b+ai．若，則的最大值為．11．定義兩個平面向量的一種新運算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角．對于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列運算性質一定成立的是．①若，則與共線；②；③；④．12．△ABC中，三邊a，b，c滿足成等差數(shù)列，三角A，B，C滿足sinB＝cosA?sinC，且，若存在動點P滿足，且，則xy的最大值為．二、選擇題13．設a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復數(shù)a+為純虛數(shù)”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件14．已知向量，則下列能使成立的一組向量是（）A． B． C． D．15．設復數(shù)z滿足條件argz∈（π，π），則對應復平面上的點位于第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四16．如圖所示，半徑為1的圓O始終內切于直角梯形ABCD，則當AD的長度增加時，以下結論：①越來越??；②保持不變．它們成立的情況是（）A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確三、解答題17．設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝log2an（n≥1），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．18．已知向量，不共線，t為實數(shù)．（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），當t為何值時，A，B，C三點共線；（Ⅱ）若||＝||＝1，且與的夾角為120°，實數(shù)x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范圍．19．已知復數(shù)z1＝sin2x﹣ti，，i為虛數(shù)單位，t，a，x∈R，且z1＝z2．（1）若t＝0且，求x的值；（2）設t＝f（x），已知，求．20．已知x∈R，，．（1）記函數(shù)，求函數(shù)f（x）取最大值時x的取值范圍；（2）求證：與不平行；（3）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2＝ac，且邊b所對應的角為x，關于x的方程有且僅有一個實根，求實數(shù)t的范圍．21．對于一組復數(shù)z1，z2，z3，…，zn（n∈N，n≥3），令Sn＝z1+z2+z3+……+zn，如果存在zp（p∈{1，2，3，……，n}），使得|zp|≥|Sn﹣zp|，那么稱zp是該復數(shù)組的“M復數(shù)”．（1）設zn＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是復數(shù)組z1，z2，z3的“M復數(shù)”，求實數(shù)x的取值范圍；（2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在復數(shù)z3使得z1，z2，z3均是復數(shù)組z1，z2，z3的“M復數(shù)”？若存在，求出所有的z3，若不存在，說明理由；（3）若，復數(shù)組z1，z2，z3，…，zn是否存在“M復數(shù)”？給出你的結論并說明理由．

2020-2021學年上海市浦東新區(qū)建平中學高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題1．函數(shù)f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期為π．【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期為，的出結論．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期為＝＝π，故答案為：π．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，利用了y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期為，屬于基礎題．2．若復數(shù)z滿足（1+i）z＝i（i為虛數(shù)單位），則Imz＝．【分析】利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：∵（1+i）z＝i（i為虛數(shù)單位），∴（1﹣i）（1+i）z＝i（1﹣i），化為：2z＝1+i，即z＝+i，則Imz＝，故答案為：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．設A（2，3），B（﹣1，5），且，則點D的坐標是（﹣7，9）．【分析】利用向量的運算法則即可得出．【解答】解：∵，∴＝（2，3）+3[（﹣1，5）﹣（2，3）]＝（﹣7，9）．故答案為（﹣7，9）．【點評】熟練掌握向量的運算法則是解題的關鍵．4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則該數(shù)列的通項公式an＝2n．【分析】由數(shù)列的前n項和求得首項，再由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得an，驗證首項后得答案．【解答】解：由Sn＝n2+n，得a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．當n＝1時上式成立，∴an＝2n．故答案為：2n．【點評】本題考查了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，是基礎題．5．已知，，則在向上的數(shù)量投影為4．【分析】根據(jù)，，求出，再求出投影即可．【解答】解：∵，，∴（）?＝2||2﹣＝8﹣＝0，∴＝8，∴向量在向量方向上的數(shù)量投影||cos＜，＞＝＝＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查向量投影的計算，根據(jù)向量投影的定義轉化為向量數(shù)量積是解決本題的關鍵，是基礎題．6．已知，則＝．【分析】由得3＝4﹣得3﹣3＝﹣，即3＝，結合＝﹣可解決此題．【解答】解：由得3＝4﹣得3﹣3＝﹣，即3＝，∴3（﹣）＝，得3＝4，∴＝．故答案為：．【點評】本題考查平面向量加減運算、數(shù)乘運算，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題．7．關于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一個根是x＝1+ni（n＞0），則＝﹣2．【分析】把x＝1+ni代入已知方程x2+mx+2＝0，結合n＞0，根據(jù)復數(shù)相等的條件可得關于m、n的方程，可求m、n，進而可求．【解答】解：∵x2+mx+2＝0（m∈R）的一個根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2＝0，整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni＝0，∵n＞0，根據(jù)復數(shù)相等的條件可得，m+2＝0，3+m﹣n2＝0，∴m＝﹣2，n＝1，則m+n＝﹣1，∴＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了復數(shù)相等條件的簡單應用及基本運算，屬于基礎題8．i是虛數(shù)單位，則＝﹣i．【分析】利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)的周期性、數(shù)列求和公式即可得出．【解答】解：∵＝＝＝﹣i，（﹣i）4＝1，（﹣i）2021＝[（﹣i）4]505×（﹣i）＝﹣i，∴＝＝＝﹣i，故答案為：﹣i．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)的周期性、數(shù)列求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9．如圖，在三角形ABC中，點D是邊BC的中點，O是AD的中點，若BO＝AD＝2，則＝﹣6．【分析】建立平面直角坐標系，設∠OBD＝θ，BD＝a，根據(jù)OD＝1得出a和θ的關系，再利用坐標運算計算．【解答】解：以D為原點，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，設BD＝a，∠OBD＝θ，則D（0，0），B（﹣a，0），O（﹣a+2cosθ，2sinθ），A（﹣2a+4cosθ，4sinθ），∴＝（a﹣4cosθ，﹣4sinθ），＝（2a，0），∵OD＝1，∴（﹣a+2cosθ）2+4sin2θ＝1，整理得：a2﹣4acosθ＝﹣3，∴＝2a2﹣8acosθ＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題考查了平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．10．定義：復數(shù)b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的轉置復數(shù)，記為z'＝b+ai．若，則的最大值為．【分析】設z＝a+bi（a，b∈R），則z'＝b+ai，求出（z′+z）、（），再由乘積的模等于模的乘積及基本不等式求解．【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R），則z'＝b+ai，z′+z＝（a+b）+（a+b）i，＝（a+b）+（a﹣b）i，∵，∴a2+b2＝2，∴|（z′+z）（）|＝|（z′+z）||（）|＝＝＝．當且僅當a＝b時等號成立．故答案為：．【點評】本題是新定義題，考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算及復數(shù)模的求法，訓練了基本不等式的應用，是中檔題．11．定義兩個平面向量的一種新運算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角．對于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列運算性質一定成立的是①④．①若，則與共線；②；③；④．【分析】由若得sin＜，＞＝0，得＜，＞＝0或π，可判斷①；舉例：＝﹣，與（或）不共線，可判斷②；分析λ符號可判斷③；對等式中左邊進行計算即可判斷④．【解答】解：由若得sin＜，＞＝0，得＜，＞＝0或π，∴與共線，∴①對；例如：＝﹣，與（或）不共線，+＝，∴②中等式左邊為0，右邊不為0，∴②錯；當λ＜0時，③中等式左邊為負，右邊為正，∴③錯；④中等式左邊＝||2||2sin2＜，＞+||2||2cos2＜，＞＝||2||2（sin2＜，＞+cos2＜，＞）＝||2||2＝右邊．∴④對．故答案選：①④．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積性質及運算，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題．12．△ABC中，三邊a，b，c滿足成等差數(shù)列，三角A，B，C滿足sinB＝cosA?sinC，且，若存在動點P滿足，且，則xy的最大值為．【分析】由△ABC中，三邊a，b，c滿足成等差數(shù)列得2b＝a+c，由正弦定理得2sinB＝sinA+sinC，由sinB＝cosA?sinC得sin（A+C）＝cosAsinC得C＝，結合前面條件可得sinA＝，cosA＝，由，得bccosA＝16，得bc＝20，可令a＝3，b＝4，c＝5，以A為原點、CA、CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設P（s，t），根據(jù)與得到x與y的等量關系，可求得xy的最大值為．【解答】解：由△ABC中，三邊a，b，c滿足成等差數(shù)列得2b＝a+c，由正弦定理得2sinB＝sinA+sinC，由sinB＝cosA?sinC得sin（A+C）＝cosAsinC得C＝，由2sinB＝sinA+sinC得2cosA＝sinA+1，代入sin2A+cos2A＝1可得sinA＝，cosA＝，由，得bccosA＝16，得bc＝20，可令a＝3，b＝4，c＝5，以A為原點、CA、CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖：則A（4，0），B（0，3），C（0，0），設P（s，t），根據(jù)得（s﹣4，t）＝λ（﹣s，3﹣t）∴3s+4t＝12，由得（s，t）＝（2x，0）+（0，3y），∴，∴12＝6x+4y≥2，得xy≤，∴xy的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積性質及運算、基本不等式應用，考查數(shù)學運算能力，屬于難題．二、選擇題13．設a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復數(shù)a+為純虛數(shù)”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)復數(shù)的概念求出a，b滿足的條件，然后利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：∵復數(shù)a+＝a﹣bi為純虛數(shù)，∴a＝0且﹣b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“復數(shù)a+為純虛數(shù)”必要不充分條件．故選：C．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用復數(shù)的有關概念是解決本題的關鍵．比較基礎．14．已知向量，則下列能使成立的一組向量是（）A． B． C． D．【分析】作為基底不共線即可，判斷四組向量是否共線．【解答】解：作為基底不共線即可，共線，共線，不共線，共線，故選：C．【點評】本題考查了平面向量基本定理的應用，屬于基礎題．15．設復數(shù)z滿足條件argz∈（π，π），則對應復平面上的點位于第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【分析】設出復數(shù)的三角形式，利用復數(shù)的運算法則化簡求解，判斷對應點所在象限即可．【解答】解：復數(shù)z滿足條件argz∈（π，π），設z＝r（cosθ+isinθ），則＝（cos（﹣2θ）+isin2θ）＝（cos2θ+isin2θ），argz∈（π，π），即θ∈（π，π），可得2θ∈（，2π）．則對應復平面上的點位于第四象限．故選：D．【點評】本題考查復數(shù)的三角形式的運算，復數(shù)的幾何意義，是中檔題．16．如圖所示，半徑為1的圓O始終內切于直角梯形ABCD，則當AD的長度增加時，以下結論：①越來越?。虎诒３植蛔儯鼈兂闪⒌那闆r是（）A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確【分析】以B為坐標原點，分別以BC、BA所在直線為x、y軸建立平面直角坐標系，求出B、A、O的坐標，設出C與D的坐標，得到CD所在直線方程，由O到CD的距離為1可得m與n的關系，然后分析兩個命題得結論．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標系，則B（0，0），A（0，2），O（1，1），設C（m，0），D（n，2），（m＞1，n＞1），則CD所在直線方程為，即2x+（m﹣n）y﹣2m＝0，由題意，，整理得m+n﹣mn＝0（m，n＞1），，，，，∴＝2﹣n，當AD的長度增加時，n增大，則越來越小，故①正確；＝（m+n﹣4，0），＝＝|mn﹣4|，當AD的長度增加時，n增大，|mn﹣4|是變化的，故②錯誤．故選：C．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題17．設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝log2an（n≥1），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【分析】（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞1），根據(jù)S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數(shù)列即可求出a1和q，從而根據(jù)等比數(shù)列通項公式寫出an即可．（2）分析可知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和即可寫出Tn．【解答】解；（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞1），由a1+3，3a2，a3+4構成等差數(shù)列，得6a2＝a1+3+a3+4，即a1+a3＝6a2﹣7，又S3＝7，得a1+a2+a3＝7，所以6a2﹣7+a2＝7，解得a2＝2．所以a1+a3＝5，則+2q＝5，即2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或q＝（舍去），所以a1＝＝＝1，因此an＝1×2n﹣1＝2n﹣1．（2）由（1）可知an＝2n﹣1，所以bn＝log2an＝n﹣1，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝0+1+2+…+n﹣1＝．【點評】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查推理運算求解能力，涉及邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，屬于基礎圖．18．已知向量，不共線，t為實數(shù)．（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），當t為何值時，A，B，C三點共線；（Ⅱ）若||＝||＝1，且與的夾角為120°，實數(shù)x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范圍．【分析】（Ⅰ）因為A，B，C三點共線，則存在實數(shù)λ，使得，由此得到關于λ，t的方程解之；（Ⅱ）求出與的數(shù)量積，然后將所求平方，轉化為與的模和數(shù)量積的運算，集合二次函數(shù)求最值．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三點共線，則存在實數(shù)λ，使得，即，則…（4分）（Ⅱ）由，則，因為，當時，的最小值為…（5分）當時，的最大值為…（6分）所以的取值范圍是…（8分）【點評】本題考查了平面向量共線以及數(shù)量積公式的運用．19．已知復數(shù)z1＝sin2x﹣ti，，i為虛數(shù)單位，t，a，x∈R，且z1＝z2．（1）若t＝0且，求x的值；（2）設t＝f（x），已知，求．【分析】（1）t＝0，z1＝z2．sin2x＝a+（a﹣cos2x）i，利用復數(shù)相等可得sin2x＝a，a﹣cos2x＝0，進而得出x．（2）z1＝z2．sin2x﹣ti＝a+（a﹣cos2x）i，利用復數(shù)相等可得sin2x＝a，t＝﹣a+cos2x，t＝﹣sin2x+cos2x＝f（x），根據(jù)f（α）＝，結合誘導公式、倍角公式即可得出．【解答】解：（1）t＝0，z1＝z2．∴sin2x＝a+（a﹣cos2x）i，∴sin2x＝a，a﹣cos2x＝0，∴sin2x﹣cos2x＝0，∴tan2x＝，∵，∴0＜2x＜，∴2x＝，或2x＝，解得x＝，或x＝．（2）z1＝z2．∴sin2x﹣ti＝a+（a﹣cos2x）i，∴sin2x＝a，t＝cos2x﹣a，∴t＝﹣sin2x+cos2x＝f（x），∴f（α）＝﹣sin2α+cos2α＝，∴sin2α﹣cos2α＝﹣，∴sin（2α﹣）＝﹣，∴＝sin[2（2α﹣）+]＝﹣cos[2（2α﹣）]＝﹣[1﹣2]＝2×﹣1＝﹣．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等、三角函數(shù)求值、誘導公式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20．已知x∈R，，．（1）記函數(shù)，求函數(shù)f（x）取最大值時x的取值范圍；（2）求證：與不平行；（3）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2＝ac，且邊b所對應的角為x，關于x的方程有且僅有一個實根，求實數(shù)t的范圍．【分析】（1）把向量、的坐標代入進行化簡，結合正弦函數(shù)圖象性質可解決此問題；（2）通過2cosx?2（sinx﹣cosx）﹣2sinx（sinx+cosx）＝0無解可證明此題；（3）b2＝ac結合余弦定理b2＝a2+c2﹣accosB，再結合基本不等式可求得B＝x的取值范圍，令g（x）＝+求其值域可解決此題．【解答】（1）解：＝2sinxcosx+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．當sin（2x﹣）＝1時f（x）取得最大值，此時2x﹣＝2kπ+得x＝kπ+，∴函數(shù)f（x）取最大值時x的取值范圍是{x|x＝kπ+，k∈Z}．（2）證明：2＝（2sinx，2（sinx﹣cosx）），假設∥2，則2cosx?2（sinx﹣cosx）﹣2sinx（sinx+cosx）＝0，得2sinxcosx﹣2cos2x﹣sin2x﹣sinxcosx＝0，sin2x﹣sin2x﹣cos2x﹣1﹣+cos2x＝0，（1﹣）（sin2x﹣cos2x）＝1+，得sin（2x﹣）＝7+4，顯然無解．∴與不平行；（3）解：∵△ABC的三邊a、b、c滿足b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴ac＝a2+c2﹣accosB≥2ac﹣2accosB，∴cosB≥，∴B∈（0，]，∴x∈（0，]．令g（x）＝+，則g（x）＝+＝2sin（2x﹣）+．由x∈（0，]得2x﹣∈（﹣，]，令2x﹣＝m∈（﹣，]，函數(shù)g（x）即為h（m）＝2sinm+，m∈（﹣，]，若關于x的方程有且僅有一個實根，則函數(shù)h（m）＝2sinm+，m∈（﹣，]與y＝t有且僅有一個交點，∵函數(shù)h（m）＝2sinm+，在（﹣，]上單調遞增，值域為（﹣，]，∴實數(shù)t的范圍是（﹣，]．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積性質及運算、函數(shù)與方程，考查數(shù)學運算能力及抽象能力，屬于難題．21．對于一組復數(shù)z1，z2，z3，…，zn（n∈N，n≥3），令Sn＝z1+z2+z3+……+zn，如果存在zp（p∈{1，2，3，……，n}），使得|zp|≥|Sn﹣zp|，那么稱zp是該復數(shù)組的“M復數(shù)”．（1）設zn＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是復數(shù)組z1，z2，z3的“M復數(shù)”，求實數(shù)x的取值范圍；（2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在復數(shù)z3使得z1，z2，z3均是復數(shù)組z1，z2，