2021-2022學年河南省鄭州七中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）

第1頁（共1頁）2021-2022學年河南省鄭州七中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）一．選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a2+a6＝3，a3+a7＝7，則公差d＝（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知命題p：若直線l與拋物線C有且僅有一個公共點，則直線l與拋物線C相切，命題q：若m＞5，則方程表示橢圓．下列命題是真命題的是（）A．p∨（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）3．（5分）已知點P（﹣2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）的準線上，則該拋物線的焦點坐標是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）4．（5分）已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點，點G在線段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．5．（5分）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，則正數(shù)m的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．86．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A． B． C． D．7．（5分）已知關于x的不等式ax2﹣bx+c＜0的解集為，則不等式bx2+cx﹣a＞0的解集為（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞2或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2}8．（5分）如圖所示，已知F1、F2是橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，∠BAF2＝90°，且F1是BF2的中點，O為坐標原點，若點O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．9．（5分）在數(shù)列{an}中，已知，n∈N*，則“a1＜a2”是“{an}是單調遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（5分）已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（sinA+sinB﹣sinC）?（sinB﹣sinA﹣sinC）＝﹣sinBsinC，b＝4．若△ABC為直角三角形，則△ABC的面積為（）A． B． C．或 D．或11．（5分）已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和，且，則＝（）A． B． C． D．12．（5分）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C上．若△PF1F2為鈍角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是（）A．（9，+∞） B． C． D．二．填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最小值為．14．（5分）在等比數(shù)列{an}中，若a2，a6是方程2x2﹣7x+4＝0的兩根，則a4＝．15．（5分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝，且sin（A﹣C）＝sinB﹣，則sinB＝．16．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，且（O為坐標原點）．若|PF1|＝2|PF2|，則橢圓的離心率為．三．解答題（共6小題，17題10分，18題-22題，每題12分）17．（10分）設命題p：（m+3）（m﹣2）＜0，命題q：關于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0無實根．（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．18．（12分）經(jīng)觀測，某公路段在某時段內的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千/小時）之間有函數(shù)關系：．（1）在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？（精確到0.01千輛）；（2）為保證在該時段內車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？19．（12分）若等比數(shù)列{an}的各項為正，前n項和為Sn，且S2＝6，a3＝8．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若{anbn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．20．（12分）如圖，在四棱錐B﹣ACDE中，AB＝AC＝，AE∥CD，2AE＝CD＝BC＝2，AE⊥平面ABC，點F在線段BD上運動．（1）若EF∥平面ABC，請確定點F的位置并說明理由；（2）若點F滿足＝4，求平面ABC與平面AFC的夾角的余弦值．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若，c＝8，且c＞a，求a．22．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設A，B為橢圓C上任意兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB．求證：原點O到直線AB的距離為定值，并求出該定值．

2021-2022學年河南省鄭州七中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a2+a6＝3，a3+a7＝7，則公差d＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】結合已知及等差數(shù)列的通項公式即可求解．【解答】解：由題意可得，2d＝（a3+a7）﹣（a2+a6）＝7﹣3，故．故選：B．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的簡單應用，屬于基礎試題．2．（5分）已知命題p：若直線l與拋物線C有且僅有一個公共點，則直線l與拋物線C相切，命題q：若m＞5，則方程表示橢圓．下列命題是真命題的是（）A．p∨（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】由題意可得命題p是假命題，命題q是真命題，即可判斷出真假．【解答】解：由題意可得命題p是假命題，命題q是真命題，則（￢p）∧q是真命題．故選：B．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、橢圓與拋物線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．（5分）已知點P（﹣2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）的準線上，則該拋物線的焦點坐標是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）【分析】利用已知條件求出P，然后求解拋物線的焦點坐標．【解答】解：因為點P（﹣2，4）在拋物線y2＝2px的準線上，所以，所以p＝4，則該拋物線的焦點坐標是（2，0）．故選：C．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，基礎題．4．（5分）已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點，點G在線段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點O出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結論．【解答】解：∵＝＝＝＝∴故選：C．【點評】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復這個過程．5．（5分）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，則正數(shù)m的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】先結合基本不等式求出前半部分的最小值，再結合恒成立即可求解．【解答】解：因為x＞0，y＞0，正數(shù)m；∴＝，因為不等式恒成立，所以，即，解得，所以m≥4．故選：B．【點評】本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立問題，屬基礎題．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A． B． C． D．【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系式可得sinA，進而可得cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB），再利用正弦定理即可得出．【解答】解：∵cosA＝，A∈（0°，180°）．∴＝，cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝﹣＝．∴sinC＝＝．由正弦定理可得：，∴＝＝．故選：C．【點評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式、正弦定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7．（5分）已知關于x的不等式ax2﹣bx+c＜0的解集為，則不等式bx2+cx﹣a＞0的解集為（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞2或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2}【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a，b，c的關系，解不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：根據(jù)題意，因為不等式ax2﹣bx+c＜0的解集為{x|﹣＜x＜}，所以﹣和是方程ax2﹣bx+c＝0的兩根且a＞0，則有，分析可得：b＝，c＝﹣，不等式bx2+cx﹣a＞0即ax2﹣ax﹣6a＞0，（a＞0），∴x2﹣x﹣6＞0，∴（x﹣3）（x+2）＞0，解得：x＞3或x＜﹣2，故不等式的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，故選：A．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，關鍵是求出a、b，c的關系，屬于基礎題．8．（5分）如圖所示，已知F1、F2是橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，∠BAF2＝90°，且F1是BF2的中點，O為坐標原點，若點O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．【分析】由題意可得△AF1F2是等邊三角形，進而可得a＝2c，再由題意可得直線AB的方程，由O到直線AB的距離可得a，c，b之間的關系，再由橢圓中a，b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程．【解答】解：因為△ABF2是直角三角形，且|BF1|＝|F1F2|，所以可得△AF1F2是等邊三角形，設|F1F2|＝2c，則a＝2c①，由題意可得直線AB的方程為，即bx﹣3cy+3bc＝0，所以O到直線AB的距離＝3②，而a2＝b2+c2③，由①②③可得a＝4，b2＝12，所以橢圓的方程為：，故選：D．【點評】本題考查求橢圓的方程及點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．9．（5分）在數(shù)列{an}中，已知，n∈N*，則“a1＜a2”是“{an}是單調遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先求出每個命題對應的集合，再根據(jù)集合之間的關系判斷充分性．【解答】解：若在數(shù)列{an}中，已知，n∈N*，a1＜a2，則1+λ＜4+2λ，解之得λ＞﹣3．若在數(shù)列{an}中，已知，n∈N*，{an}是單調遞增數(shù)列，則對任意的n∈N*都滿足：an+1﹣an＝（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn＝1+2n+λ＞0，則λ＞﹣1﹣2n，則λ＞（﹣1﹣2n）max＝﹣3，故“a1＜a2”是“{an}是單調遞增數(shù)列”的充分必要條件，故選：C．【點評】本題考查簡易邏輯，以及單調遞增數(shù)列的性質，屬于中等題．10．（5分）已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（sinA+sinB﹣sinC）?（sinB﹣sinA﹣sinC）＝﹣sinBsinC，b＝4．若△ABC為直角三角形，則△ABC的面積為（）A． B． C．或 D．或【分析】根據(jù)已知條件，結合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．【解答】解：∵（sinA+sinB﹣sinC）?（sinB﹣sinA﹣sinC）＝﹣sinBsinC，∴由正弦定理可得，（a+b﹣c）（b﹣a﹣c）＝﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝，∵B∈（0，π），∴，又△ABC為直角三角形，若B＝，則C＝，c＝2，a＝，則S＝，若C＝，則B＝，c＝8，a＝，則S＝．故選：C．【點評】本題主要考查解三角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．11．（5分）已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和，且，則＝（）A． B． C． D．【分析】由等差數(shù)列的性質，知＝＝，由此能夠求出結果．【解答】解：∵Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，且，（n∈N+），∴＝＝＝＝，故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．12．（5分）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C上．若△PF1F2為鈍角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是（）A．（9，+∞） B． C． D．【分析】利用雙曲線的求出焦距，設出P的位置，求出PF2，結合勾股定理，轉化求解|PF1|+|PF2|的取值范圍．【解答】解：由題意可得．不妨設點P在雙曲線C的右支上，當PF2⊥x軸時，將x＝3代入，得，即，則，故|PF1|+|PF2|＝9；當PF1⊥PF2時，則，解得，，則，且|PF1|+|PF2|＞2c＝6．綜上，|PF1|+|PF2|的取值范圍是．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質以及雙曲線定義的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．二．填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最小值為0．【分析】作出可行域，變形目標函數(shù)并平移直線y＝2x可得．【解答】解：作出x，y滿足約束條件所對應的可行域（如圖陰影部分），變形目標函數(shù)可得y＝2x﹣z，平移直線y＝2x可知，當直線經(jīng)過點O（0，0）時，截距﹣z取最大值，目標函數(shù)z取最小值2×0﹣0＝0，故答案為：0．【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題．14．（5分）在等比數(shù)列{an}中，若a2，a6是方程2x2﹣7x+4＝0的兩根，則a4＝．【分析】由韋達定理得a2a6＝2，，由此能求出結果．【解答】解：由題意可得a2a6＝2，，則a2＞0，，又＝2，故．故答案為：．【點評】本題考查等比數(shù)列的第4項的求法，考查等比數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15．（5分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝，且sin（A﹣C）＝sinB﹣，則sinB＝．【分析】由sin（A﹣C）＝sinB﹣，結合三角形的內角和定理及和差角的正弦公式化簡可求sinCcosA的值，然后結合正弦定理對＝進行化簡，進而可求．【解答】解：因為，所以，所以，因為，所以2sinAcosC＝sin2B，則，整理得，解得．故答案為：【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理，和差角公式，正弦定理在求解三角形中的應用．16．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，且（O為坐標原點）．若|PF1|＝2|PF2|，則橢圓的離心率為．【分析】如圖，取PF1的中點A，連接OA，根據(jù)向量的加減的幾何意義和三角形的中位線的性質以及（O為坐標原點），可得⊥，再根據(jù)橢圓的幾何性質和勾股定理可得4c2＝5×，根據(jù)離心率公式計算即可．【解答】解：如圖，取PF1的中點A，連接OA，∴2＝+，＝，∴+＝，∵，∴?＝0，∴⊥，∵|PF1|＝2|PF2|，不妨設|PF2|＝m，則|PF1|＝2m，∵|PF2|+|PF1|＝2a＝m+2m，∴m＝a，∵|F1F2|＝2c，∴4c2＝m2+4m2＝5m2＝5×，∴＝，∴e＝，橢圓的離心率為．故答案為：．【點評】本題考查了借助向量的加減的幾何意義和向量的垂直，考查了橢圓的簡單性質，屬于中檔題．三．解答題（共6小題，17題10分，18題-22題，每題12分）17．（10分）設命題p：（m+3）（m﹣2）＜0，命題q：關于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0無實根．（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由已知得等價不等式，解之即可；（2）由已知得p、q兩命題一真一假，得等價不等式組，解之即可．【解答】解：（1）當p為真命題時，﹣3＜m＜2；所以實數(shù)m的取值范圍為：（﹣3，2）．（2）當q為真命題時，由Δ＝16（m﹣2）2﹣16＜0，可得：1＜m＜3，∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，∴p，q兩命題一真一假，所以或，解得2≤m＜3或﹣3＜m≤1，∴m的取值范圍是（﹣3，1]∪[2，3）．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．18．（12分）經(jīng)觀測，某公路段在某時段內的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千/小時）之間有函數(shù)關系：．（1）在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？（精確到0.01千輛）；（2）為保證在該時段內車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？【分析】（1）將已知函數(shù)化簡，從而看利用基本不等式求車流量y最大值；（2）要使該時段內車流量至少為10千輛/小時，即使，解之即可得汽車的平均速度的控制范圍【解答】解：（1）函數(shù)可化為當且僅當v＝40時，取“＝”，即千輛，等式成立；（2）要使該時段內車流量至少為10千輛/小時，即使，即v2﹣89v+1600≤0?v∈[25，64]【點評】本題以已知函數(shù)關系式為載體，考查基本不等式的使用，考查解不等式，屬于基礎題．19．（12分）若等比數(shù)列{an}的各項為正，前n項和為Sn，且S2＝6，a3＝8．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若{anbn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，求出公比q和首項a1，即可得解；（2）設cn＝anbn，結合等差數(shù)列的通項公式可得數(shù)列{bn}的通項公式，再利用錯位相減法，得解．【解答】解：（1）由題意知，公比q≠1，由S2＝6，a3＝8，得＝6，a1q2＝8，解得q＝﹣或2，因為等比數(shù)列{an}的各項為正，所以q＞0，所以q＝2，a1＝2，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn﹣1＝2n．（2）設cn＝anbn，則{cn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以cn＝1+（n﹣1）?1＝n，所以bn＝＝，所以Tn＝+++…++①，Tn＝+++…++②，①﹣②得，Tn＝+++…+﹣＝﹣＝1﹣﹣，所以Tn＝2×[1﹣﹣]＝2﹣．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及錯位相減法是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．20．（12分）如圖，在四棱錐B﹣ACDE中，AB＝AC＝，AE∥CD，2AE＝CD＝BC＝2，AE⊥平面ABC，點F在線段BD上運動．（1）若EF∥平面ABC，請確定點F的位置并說明理由；（2）若點F滿足＝4，求平面ABC與平面AFC的夾角的余弦值．【分析】（1）只要證明MF∥CD且MF＝CD即可；（2）用向量數(shù)量積計算二面角的余弦值．【解答】解：（1）F為BD中點，理由如下：設平面AEF交BC于M，連接AM、FM，因為EF∥平面ABC，所以EF∥AM，因為AE∥CD，所以CD∥平面AEFM，所以CD∥MF，又因為AE∥CD，所以AE∥MF，所以四邊形AEFM是平行四邊形，所以MF＝AE＝，所以F是BD中點．（2）因為AE∥CD，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，建系如圖，設∠ACB＝α，則cosα＝＝，sinα＝，所以B點坐標為（2cosα，2sinα，0）＝（，，0）＝（，，0），A（，0，0），D（0，0，2），設F（x，y，z），因為＝4，所以（，，﹣2）＝4（x，y，z﹣2），所以F（，，），＝（，，），＝（，0，0），令＝（0，﹣3，2），因為，所以是平面AFC的法向量，＝（0，0，1）是平面ABC的法向量，設平面ABC與平面AFC的夾角為θ，θ∈（0，]，cosθ＝＝＝．【點評】本題考查了直線與平面的位置關系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若，c＝8，且c＞a，求a．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosB的值，結合范圍B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）利用大邊對大角可求A為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosA的值，利用三角形內角和定理，兩角和的正弦公式可求sinC的值，進而根據(jù)正弦定理即可求解a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，且，∴，∴a2+c2﹣b2＝ac，∴，∵B∈（0，