matlab教程參數估計及假設檢驗

概率論與數理統(tǒng)計實驗實驗3

參數估計假設檢驗目前一頁\總數五十七頁\編于十四點實驗目的實驗內容直觀了解統(tǒng)計描述的基本內容。2、假設檢驗1、參數估計3、實例4、作業(yè)目前二頁\總數五十七頁\編于十四點一、參數估計參數估計問題的一般提法設有一個統(tǒng)計總體，總體分布函數為F(x,),

其中是未知參數，現從該總體抽樣，得樣本目前三頁\總數五十七頁\編于十四點參數估計點估計區(qū)間估計點估計

——

估計未知參數的值。區(qū)間估計——

根據樣本構造出適當的區(qū)間，使它以一定的概率包含未知參數或未知參數的已知函數的真值。目前四頁\總數五十七頁\編于十四點（一）點估計的求法1、矩估計法

基本思想是用樣本矩估計總體矩

.設總體分布含有個k未知參數

1

，…，k計算總體的前k階矩l=1,...,k階矩目前五頁\總數五十七頁\編于十四點解此方程組得其根為

分別估計參數i，i=1,...,k，并稱其為i的矩估計。由于樣本的l階矩依概率收斂到總體的l階矩l。所以令目前六頁\總數五十七頁\編于十四點2、最大似然估計法設總體X有概率密度f(x;)（或分布律

p(x;)),=(1,...,k)。設X1,...,Xn是來自總體的簡單隨機樣本，x1,...,xn是樣本觀測值。最大似然估計的想法是選取參數i,i=1,...,k，使樣本X1,...,Xn在樣本值x1,...,xn附近取值的概率達到最大。即構造似然函數或目前七頁\總數五十七頁\編于十四點若有參數=(1,...,k)的取值，使得似然函數L(1,...,k)達到最大，則稱它為參數1,...,k的最大似然估計。目前八頁\總數五十七頁\編于十四點（二）區(qū)間估計目前九頁\總數五十七頁\編于十四點置信區(qū)間的意義樞軸量目前十頁\總數五十七頁\編于十四點1、數學期望的置信區(qū)間設樣本

來自正態(tài)母體X~N(,2)(1)方差

2已知,

的置信區(qū)間(2)方差2

未知

,

的置信區(qū)間

目前十一頁\總數五十七頁\編于十四點2、方差的區(qū)間估計

未知時,方差2

的置信區(qū)間為目前十二頁\總數五十七頁\編于十四點（三）參數估計的命令1、正態(tài)總體的參數估計

設總體服從正態(tài)分布，則其點估計和區(qū)間估計可同時由以下命令獲得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)此命令以alpha為顯著性水平，在數據X下，對參數進行估計。（alpha缺省時設定為0.05），返回值muhat是正態(tài)分布的均值的點估計值，sigmahat是標準差的點估計值,

muci是均值的區(qū)間估計,sigmaci是標準差的區(qū)間估計.X為矩陣（列為變量）時，輸出行變量。目前十三頁\總數五十七頁\編于十四點例1.給出容量為50的正態(tài)分布N(10,

22)的隨機數，并以此為樣本值，給出和

的點估計和區(qū)間估計;給出容量為100的正態(tài)分布N(10,

22)的隨機數，并以此為樣本值，給出

和

的點估計和區(qū)間估計;給出容量為1000的正態(tài)分布N(10,

22)的隨機數，并以此為樣本值，給出和

的點估計和區(qū)間估計.命令:X1=normrnd(10,2,50,1);[mu1,sigm1,muci1,sigmci1]=normfit(X1)X2=normrnd(10,2,100,1);[mu2,sigm2,muci2,sigmci2]=normfit(X2)X3=normrnd(10,2,1000,1);[mu3,sigm3,muci3,sigmci3]=normfit(X3)目前十四頁\總數五十七頁\編于十四點例2.中國改革開放30年來的經濟發(fā)展使人民的生活得到了很大的提高，不少家長都覺得這一代孩子的身高比上一代有了明顯變化。下面數據是近期在一個經濟比較發(fā)達的城市中學收集的17歲的男生身高（單位：cm），若數據來自正態(tài)分布，計算學生身高的均值和標準差的點估計和置信水平為0.95的區(qū)間估計。170.1,179,171.5,173.1,174.1,177.2,170.3,176.2,175.4,163.3,179.0,176.5,178.4,165.1,179.4,176.3,179.0,173.9,173.7173.2,172.3,169.3,172.8,176.4,163.7,177.0,165.9,166.6,167.4174.0,174.3,184.5,171.9,181.4,164.6,176.4,172.4,180.3,160.5166.2,173.5,171.7,167.9,168.7,175.6,179.6,171.6,168.1,172.2目前十五頁\總數五十七頁\編于十四點例3.產生正態(tài)分布隨機數作為樣本值，計算區(qū)間估計的覆蓋率。寫出fugailv.m文件。functionfugailv(mu,sigm,n,m,alpha)X=normrnd(mu,sigm,m,1);[Mu,Sigm,Muci,Sigmci]=normfit(X,alpha);muratio=0;sigmratio=0;fori=1:nX=normrnd(mu,sigm,m,1);[Mu(i),Sigm(i),muci,sigmci]=normfit(X,alpha);endforj=1:nif(Mu(j)>=Muci(1))&&(Mu(j)<=Muci(2))muratio=muratio+1;endif(Sigm(j)>=Sigmci(1))&&(Mu(j)<=Sigmci(2))sigmratio=sigmratio+1;endendmuratio=muratio/nsigmratio=sigmratio/n目前十六頁\總數五十七頁\編于十四點[muratio,sgmratio]=fugailv(0,1,1000,200,0.05)[muratio,sgmratio]=fugailv(10,2,2000,500,0.01)[muratio,sgmratio]=fugailv(4,6,5000,400,0.025)目前十七頁\總數五十七頁\編于十四點2、其它分布的參數估計(1).取容量充分大的樣本（n>50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布；(2).使用Matlab工具箱中具有特定分布總體的估計命令.10[muhat,muci]=expfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求指數分布的數據X的均值的點估計及其區(qū)間估計.20[lambdahat,lambdaci]=

poissfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數據X的參數的點估計及其區(qū)間估計.30[phat,pci]=weibfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數據X的參數的點估計及其區(qū)間估計.目前十八頁\總數五十七頁\編于十四點函數名參數估計對應的參數調用格式mle極大似然估計phat=mle(‘dist’,data)[phat,pci]=mle(‘dist’,data)[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha)[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,pl)normlike對數正態(tài)似然函數L=normlike(params,data)normfit正態(tài)分布

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)目前十九頁\總數五十七頁\編于十四點函數名參數估計對應的參數調用格式poissfit泊松分布lambdahat=poissfit(X)[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X)unifit均勻分布[ahat,bhat]=unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X,alpha)[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)目前二十頁\總數五十七頁\編于十四點函數名參數估計對應的參數調用格式weibfit威布爾分布weiblike威布爾對數似然函數logL=weiblike(params,data)[logL,info]=weiblike(params,data)phat=weibfit(X)[phat,pci]=weibfit(X)[phat,pci]=weibfit(X,alpha)目前二十一頁\總數五十七頁\編于十四點說明：命令mle的調用格式中：[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,p1)只用于二項分布，其中p1為試驗次數例4.rv=binornd(20,0.75,1,10)%產生10個二項分布隨機數參數為20和0.75[p,pci]=mle('binomial',rv,0.05,20)rv=12141813121416151816p=0.7400pci=[0.6734，0.7993]目前二十二頁\總數五十七頁\編于十四點例5.生成指數分布隨機數100個，假設均值參數真值為0.5,以此為樣本值，給出參數的點估計和區(qū)間估計命令:r=exprnd(0.5,100,1);[lamta,lamtaci]=expfit(r);[lamta,lamtaci]=expfit(r,0.01);結果:lamta=0.4579lamtaci=0.3799，0.5627lamta=0.4579lamtaci=0.3587，0.6015目前二十三頁\總數五十七頁\編于十四點3.不常用分布的參數估計（極大似然估計）此類問題一般歸結為無約束最優(yōu)化問題。無約束最優(yōu)化問題的一般形式：參數的極大似然估計就是取目標函數為的無約束最優(yōu)化問題。目前二十四頁\總數五十七頁\編于十四點方法：①最速下降法②Newton(牛頓）法及其修正的方法。③共軛方向法和共軛梯度法④變尺度法（擬牛頓法）等等詳見北京大學出版社高惠璇編著《統(tǒng)計計算》P359------P379目前二十五頁\總數五十七頁\編于十四點二、假設檢驗

對總體X的分布律或分布參數作某種假設，根據抽取的樣本觀察值，運用數理統(tǒng)計的分析方法，檢驗這種假設是否正確，從而決定接受假設或拒絕假設.統(tǒng)計推斷的另一類重要問題是假設檢驗問題。在總體的分布函數完全未知或只知其形式，但不知其參數的情況，為了推斷總體的某些未知特性，提出某些關于總體的假設。目前二十六頁\總數五十七頁\編于十四點1.參數檢驗：如果總體的分布函數類型已知，這時構造出的統(tǒng)計量依賴于總體的分布函數，這種檢驗稱為參數檢驗.參數檢驗的目的往往是對總體的參數及其有關性質出明確的判斷.2.非參數檢驗：如果所檢驗的假設并非是對某個分布的參數作出明確的判斷，檢驗統(tǒng)計量的分布函數不依賴于總體的分布類型，這種檢驗叫非參數檢驗.如判斷總體分布類型的檢驗就是非參數檢驗.目前二十七頁\總數五十七頁\編于十四點假設檢驗的一般步驟是：①根據實際問題提出原假設H0與備擇假設H1，即說明需要檢驗的假設的具體內容。②選擇適當的統(tǒng)計量，構造恰當的拒絕域.③根據樣本觀測值計算統(tǒng)計量的觀測值，看其是否落入拒絕域中，從而在檢驗水平條件下對拒絕或接受原假設H0作出判斷

.目前二十八頁\總數五十七頁\編于十四點（一）參數檢驗1、單個正態(tài)總體X~N(,2)均值檢驗--------方差

2已知時采用

z檢驗------方差

2未知，采用t

檢驗目前二十九頁\總數五十七頁\編于十四點目前三十頁\總數五十七頁\編于十四點2、單個正態(tài)總體方差檢驗------2目前三十一頁\總數五十七頁\編于十四點3、兩個正態(tài)總體N(1,12)和N(2,22)均值檢驗（1）已知選取統(tǒng)計量（2）方差未知，檢驗選取統(tǒng)計量目前三十二頁\總數五十七頁\編于十四點（2）方差未知，檢驗選取統(tǒng)計量當|t|>t

1/2(n1+n2-2)時拒絕原假設，否則接受原假設。-----t

1/2

(n1+n2-2)為t分布t

(n1+n2-2)的下測1/2分位數，n1為來自總體N(1,12)

的樣本的容量，n2是來自總體N(2,22)的樣本的容量。目前三十三頁\總數五十七頁\編于十四點4、兩個正態(tài)總體方差檢驗目前三十四頁\總數五十七頁\編于十四點5、參數檢驗的計算機命令10z檢驗（1）

命令ztest函數（2）功能：給定方差條件下進行正態(tài)總體均值得檢驗（3）語法：h=ztest(x,m,sigm);h=ztest(x,m,sigm,alpha);[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigm,alpha,tail);h=1,則拒絕原假設，h=0,則接收原假設（4）描述：ztest(x,m,sigm)在0.05水平下進行Z檢驗，以確定服從正態(tài)分布的樣本均值是否為m，sigm為給定的標準差h=ztest(x,m,sigm,alpha)給出顯著水平控制參數alpha，[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigm,alpha,tail)允許指定是進行單側檢驗還是雙側檢驗。目前三十五頁\總數五十七頁\編于十四點tail參數可以有下面幾個取值：?tail=0（為默認設置）指定備擇假設?tail=1指定備擇假設?tail=-1指定備擇假設sig為與Z統(tǒng)計量相關的p值。ci為均值真值的1-alpha置信區(qū)間。（5）應用實例目前三十六頁\總數五十七頁\編于十四點例6、生成100個標準正態(tài)分布的隨機數，假設均值和標準差的觀測值與真值之間沒有差異，進行檢驗。過程如下：x=normrnd(0,1,1,100);[h,sig,ci]=ztest(x,0,1)結果：h=0sig=0.6317ci=[-0.14810.2439]目前三十七頁\總數五十七頁\編于十四點例7、某批礦砂的5個樣品中的鎳含量，經測定為（%）

3.253.273.243.263.24設測定值總體服從正態(tài)分布，標準差為0.04，問在0.01水平上能否接受假設：這批鎳含量的均值為3.25。過程如下：x=[3.253.273.243.263.24];[h,sig,ci]=ztest(x,3.25,0.04,0.01)結果：h=0sig=0.9110ci=[3.20593.298]目前三十八頁\總數五十七頁\編于十四點例8、下面列出的是某工廠隨機選取的20只部件的裝配時間

9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7設總體服從正態(tài)分布，標準差為0.4，問在0.05水平上能否認為裝配時間的均值顯著的大于10。

需檢驗H0:

10,H1:>10過程如下：x=[9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7]；[h,sig,ci]=ztest(x,10,0.4,0.05,1)結果：h=1sig=0.0127ci=[10.0529inf]拒絕原假設目前三十九頁\總數五十七頁\編于十四點20單個樣本的t檢驗（1）

命令ttest函數（2）功能：未知方差條件下進行正態(tài)總體均值得檢驗（3）語法：h=ttest(x,m);h=ttest(x,m,alpha);[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail);h=1,則拒絕原假設，h=0,則接收原假設（4）格式的使用和參數的取值含義與ztest大致相同（5）應用實例目前四十頁\總數五十七頁\編于十四點例9、測得一批剛件20個樣品的屈服點（單位：T/mm2）為：

4.985.115.205.115.005.614.885.275.385.205.465.275.234.965.355.155.354.775.335.54設屈服點服從正態(tài)分布，在0.05水平上，檢驗該樣本的均值是否為5.20，的假設檢驗。

需檢驗H0:

=5.20,H1:5.20過程如下：x=[4.985.115.205.115.005.614.885.275.385.205.465.275.234.965.355.155.354.775.335.54]；m=mean(x)[h,sig,ci]=ttest(x,5.20,0.05)結果：m=5.2075h=0sig=0.8796ci=[5.10525.3098]目前四十一頁\總數五十七頁\編于十四點30兩個樣本的t檢驗（1）

命令ttest2函數（2）功能：兩個樣本均值差異的t檢驗（3）語法：[h,significance,ci]=ttest2(x,y);[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha);[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail);h=1,則拒絕原假設，h=0,則接收原假設（4）格式的使用和參數的取值含義與ttest大致相同（5）應用實例目前四十二頁\總數五十七頁\編于十四點例10、對兩種不同的水稻品種A,B分別統(tǒng)計了8個地區(qū)的單位面積產量（單位：kg）品種A：8687569384937579

品種B:8079589177827666要求檢驗兩個水稻品種的單位面積產量之間是否有顯著差異？過程如下：x=[8687569384937579];y=[8079589177827666];[h,significance,ci]=ttest2(x,y)結果：h=0significance=0.3393ci=-6.423617.4236目前四十三頁\總數五十七頁\編于十四點（二）非參數檢驗1.Jarque-Bera檢驗（1）

數學原理：

Jarque-Bera檢驗是評價X服從正態(tài)分布的假設是否成立。該檢驗基于樣本偏度和峰度，樣本偏度接近于0，樣本峰度接近于3?；诖藰嬙煲粋€包含2

統(tǒng)計量：

JB=n(g1^2+(g2-3)^2/4)/6（n為樣本容量）

Jarque和Bera證明了在正態(tài)性假定下，JB漸進的服從自由度為2的2分布，若JB超過了12(2),即2(2)的下測1分位數,則拒絕正態(tài)分布零假設,反之,接受零假設。目前四十四頁\總數五十七頁\編于十四點（2）函數名稱：jbtest（3）語法：H=jbtest(x);H=jbtest(x,alpha);[H,p,jbstat,cv]=jbtest(x,alpha);H=1,則拒絕服從正態(tài)，H=0,則接收服從正態(tài)（4）alpha為顯著水平，p為p值，jbstat為檢驗統(tǒng)計量的值，cv為確定是否拒絕原假設的的臨界值。目前四十五頁\總數五十七頁\編于十四點（5）應用實例例11、對下列數據確定其是否服從正態(tài)分布。459362624542509584433748815505

612452434982640742565706593680

9266531644877346084281153593844

527552513781474388824538862659

77585975549697515628954771609

402960885610292837473677358638

699634555570844166061062484120

447654564339280246687539790581

621724531512577496468499544645

764558378765666763217715310851目前四十六頁\總數五十七頁\編于十四點2.總體分布的χ2檢驗法總體X的樣本觀測值為x1,x2,…,xn,考慮如下檢驗問題：H0:X的分布函數為F(x),這里F(x)為已知的分布函數在實數軸上取k個分點t1,t2,…,tk,得到互不相交的區(qū)間設樣本觀測值為x1,x2,…,xn落入第i個區(qū)間的個數為vi,其頻率為vi/n.目前四十七頁\總數五十七頁\編于十四點如果H0成立，由給定的分布函數F(x),可以計算X落在每個小區(qū)間的概率為：其中考慮統(tǒng)計量目前四十八頁\總數五十七頁\編于十四點Pearson在1900年證明了如下定理：設F(x)是隨機變量X的分布函數，當H0成立時，上述給出的χ2的極限分布為χ2(k)，k為分點個數,其中F(x)中不含有未知參數,vi稱為實際頻數，npi為理論頻數。由此定理可得：給定顯著性水平α，查χ2分布表可得臨界值χ2α(k),當χ2>χ2α(k)時，則拒絕H0，認為總體X的分布函數與F(x)有顯著差異。若χ2≤χ2α(k)，不能拒絕H0。目前四十九頁\總數五十七頁\編于十四點當總體F(x)中含有未知參數θ1,θ2,…,θr時,則需要先利用數據對未知參數進行估計（通常采用極大似然估計），此時有如下定理：設F(x)是隨機變量X的分布函數，且F(x)中含有r個未知參數當H0成立時，上述給出的χ2的極限分布為χ2(k-r),r為參數個數.此方法對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量均適用。由此定理可得：給定顯著性水平α，查χ2分布表可得臨界值χ2α(k-r),當χ2>χ2α(k-r)時，則拒絕H0，認為總體X的分布函數與F(x)有顯著差異。若χ2≤χ2α(k-r)不能拒絕H0。目前五十頁\總數五十七頁\編于十四點例12：盧瑟福在2608個等時間間隔