有限元基礎(chǔ)五

第3章單元和插值函數(shù)的構(gòu)造3.1引言有限單元法是經(jīng)典里茲法或伽遼金法的一種特殊形式，其特點是以單元逼近求解域，以定義在單元上的插值函數(shù)分片逼近待求場函數(shù)。因此選擇適當(dāng)?shù)膯卧筒逯岛瘮?shù)是有限元分析的關(guān)鍵一步。前述建立廣義坐標有限元一般格式的基本過程既費事又無法保證會有結(jié)果。利用自然坐標可以方便的建立起單元的插值函數(shù)。求解域的幾何特點方程類型單元形狀結(jié)點類型期望精度結(jié)點數(shù)目單元插值函數(shù)3.2一維單元Lagrange單元Hermite單元3.2.1Lagrange單元對于具有n

個結(jié)點的一維單元，如果它的結(jié)點參數(shù)中僅含有場函數(shù)的結(jié)點值，則單元內(nèi)的場函數(shù)可插值表示為：(3.2.1)其中Ni稱為插值函數(shù)1234567x(x)x1x2x3x4x5x6x7插值函數(shù)性質(zhì)1：Ni(xj)＝ij即只有在自身結(jié)點插值函數(shù)才等于1，在其它結(jié)點插值函數(shù)恒為0這一性質(zhì)是由插值函數(shù)的任務(wù)所決定的，是一般插值函數(shù)所共有的，并非有限元法所獨有。當(dāng)把結(jié)點j的坐標代入插值函數(shù)式時，左端函數(shù)值就應(yīng)取結(jié)點j的函數(shù)值，即j＝Ni(xj)i，因此必然有Ni(xj)＝ij。插值函數(shù)性質(zhì)2：即在插值區(qū)間內(nèi)各結(jié)點插值函數(shù)之和恒為1當(dāng)被插值表示的函數(shù)是常數(shù)時，上式右端各結(jié)點函數(shù)值取相同的值i＝C，左端函數(shù)值應(yīng)等于常數(shù)C，即有C＝Ni(x)C＝CNi(x)，因此為了保證插值函數(shù)能夠正常描述常數(shù)函數(shù)，必然要求Ni(x)＝1。這也是一般插值函數(shù)所共有的一個性質(zhì)。Lagrange插值多項式對于n

個結(jié)點的一維單元，Ni(x)可直接采用n-1次Lagrange插值多項式li(n-1)(x)(3.2.3)其中l(wèi)i(n-1)(x)的上標(n-1)表示多項式的次數(shù)n＝2時的Lagrange插值表示其中：如令x1＝0，x2＝l，則l1(1)(x)＝1-x/l，l2(1)(x)＝x/l0l12如引入無量綱坐標(3.2.5)其中l(wèi)表示單元長度，則Lagrange插值多項式可表示為：(3.2.6)當(dāng)n＝2時，1＝0，2=1，則有0112當(dāng)n＝3，且x2＝(x1+x3)/2時，1＝0，2＝1/2，3＝1，則有如引進另一種無量綱坐標(3.2.9)其中xc＝(x1+xn)/2是單元中心坐標，則Lagrange插值多項式（3.2.3）同樣可表示為：(3.2.6)對于n＝2，1＝-1，2=10112-1對于n＝3，且2＝0Lagrange插值多項式(3.2.6)可改寫為(3.2.12)其中fj()＝-j表示任一點至點j

的距離，也是j

點坐標=j

表示成方程形式

fj()＝-j＝0的左端項。顯然，fj(j)＝0。在li(n-1)()的分母中引入fj(i)因子可以保證Ni(i)＝1可以證明Lagrange插值函數(shù)滿足還可證明是的n-1次完全多項式3.2.2Hermite單元對于C1類單元，在單元間公共結(jié)點上，除了場函數(shù)保持連續(xù)外，還要求場函數(shù)的導(dǎo)數(shù)保持連續(xù)，那么在結(jié)點參數(shù)中還應(yīng)該包含場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)點值。這時可以采用Hermite多項式作為單元的插值函數(shù)。2結(jié)點Hermite插值多項式(3.2.13)其中Hermite多項式具有如下性質(zhì)：當(dāng)1＝0貫，2＝1市時，He諸rm竹it野e插值偶函數(shù)筑可表映示為闖以下柱形式潑的三貓次多見項式壟：其中N1＝H1(0板)()投＝邀1-32+跨23，Q1＝1N2＝H2(0塊)()檢＝光32-和23，Q2＝2N3＝H1(1寫)()蘆＝-鴨22+3N4＝H2(1含)()僑＝3-2二階He貢rm魔it紡e達多項踏式插之值表示其中3.向3恒二戀維單諷元3.貴3.拉1們?nèi)唤切未簡卧桥湫螁吾勗撬?yīng)用決比較村廣泛亦的一教種單叮元，智構(gòu)造臨其插瓦值函餃數(shù)可駕以用導(dǎo)直角摧坐標愿，也歡可以吊用無諷量綱夠的面斯積坐飽標。前已擔(dān)介紹防，對陽于殖3姥結(jié)點榨三角襪形單捕元，粘引入柔面積繪坐標煎：Li＝Ai／A垂(i=樂1,厘2慰,懂3白)慨(曲3.模3.隸1)則單狼元插怖值函暢數(shù)可濕以表仰示為Ni=Li(i=歪1,繼2辱,克3糖)束(3柳.3奸.2星)1.研二棉次單仗元312645(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(0.5,0.5,0)(0,0.5,0.5)(0.5,0,0.5)2.扮三次立單元為保沈證二伴維域由內(nèi)三傷次多裕項式耳的完耀備性（孟1,x,y,x2,xy,y2,x3,x2y,xy2,y3）三次捆單元跡應(yīng)有叛10孟個結(jié)謙點12345678910角結(jié)速點12345678910邊內(nèi)幅結(jié)點咸：12345678910邊內(nèi)濤結(jié)點斗：12345678910邊內(nèi)貝結(jié)點生：12345678910中心遠結(jié)點缺：12345678910構(gòu)造恰高次受三角起形單刪元的料步驟按室Pa機sc惠al項三賢角形漫確定津各次槽完全否多項建式要買求的雀結(jié)點掛數(shù)目謹和位過置1xyx2y2xyx3y3x2yxy2x4x3yx2y2xy3y41次2次3次4次按廣茅義永La財gr性an物ge插值恒公式萄構(gòu)造秋插值瀉函數(shù)其中p為插臘值函層數(shù)的些次數(shù)禮。顯抓然按想上式碼構(gòu)造棗的插鵝值函添數(shù)滿英足性狠質(zhì)：3.塊3.娘2略矩孕形單培元矩形謊單元寇插值顆函數(shù)愚同樣鵝可以笑用直見角坐墨標或脊自然推坐標盾兩種鳥方法殺構(gòu)造蜘。但巖在發(fā)脆明等設(shè)參元璃以后怎一般揪都采結(jié)用自啄然坐育標法焰。二維仙L但ag瞧ra盛ng弊e單元亡和鞭He老rm族it毒e閱單元寄均是徑采用撥將沿鄉(xiāng)豐兩個疤相互悠正交俯方向驅(qū)的一億維插勺值函逼數(shù)相唉乘而反得到1.絮L答ag稱ra蝦ng誰e磁矩形幼單元考察扇圖示波單元(r,0)(0,0)(0,p)(r,p)(I,J)沿摩方向讓插值罰：它在賤第J列諸拴結(jié)點產(chǎn)上等株于憤1，攀而在屬其它犁列結(jié)辰點上典等于劇0午。(r,0)(0,0)(0,p)(r,p)(I,J)沿葛歐方向把插值割：它在亂第I行諸型結(jié)點道上等訴于降1，忍而在體其它馳行結(jié)面點上翻等于品0峰。(r,0)(0,0)(0,p)(r,p)(I,J)則二埋維插卸值函飛數(shù)可觀定義單為：顯然買，Ni(i,i)在結(jié)檔點i上等防于園1，些而在齒其它云所有襪結(jié)點扮上均輔為騙0。絲式還可遍證明堤Ni=模1。竹此外容在單土元邊控界上付，函喉數(shù)的舍變化奇是連慰續(xù)的竿。(r,0)(0,0)(0,p)(r,p)(I,J)La曉gr季an牽ge趕矩形且單元二維片L罵ag均ra惹ng凱e條單元奪的缺眾點：狗隨著鑒階次根的升報高，魯大量墊出現(xiàn)別內(nèi)部新結(jié)點122332232233332.聚He背rm止it紐奉e針矩形綠單元采用脹與構(gòu)懼造博La落gr然an中g(shù)e核矩廣形單蝕元類純似的專方法惹，利繁用兩炎個坐夕標方鏟向的網(wǎng)一維畫H爽er減mi筋te膝插振值多餃項式江相乘嶼即可頃得到譯H很er爹mi沾te歡矩臂形單晃元的炸插值笛函數(shù)身。例濁如對妹于雙獵1益階僵單元阿，有共固16柄項房誠，每蒸個結(jié)淹點有戶4鄙項會，它禿們是起函數(shù)避值，豪分別杜對兩卸個坐陷標方隆向的依1勁階崗偏導(dǎo)雅數(shù)值采和混憲合導(dǎo)木數(shù)值蒸。插棗值函集數(shù)的委具體武形式塔見教嬸材。3.況3.饒3織S蘭er躺en葛di呆pi丹ty奶單街元變結(jié)棚點數(shù)著單元鵲用于鴉單元合類型擴過渡對于念4妖結(jié)結(jié)點雙什線性編矩形紋單元舒，其川插值舒函數(shù)帖可由招兩個須坐標為方向幸的一電維鼓La獲gr島an裂ge函數(shù)鳴構(gòu)造緣瑞，即截：1234增加諷邊內(nèi)野結(jié)點諸5感，其飽插值屆函數(shù)與由摘方向產(chǎn)的二瘦次，駛消方向阿的一請次汁La朋gr聰an詠ge田多血項式炎乘積插構(gòu)成對于統(tǒng)結(jié)點脫1～拐5，N5滿足N5j＝5j要求151234但原糟有結(jié)散點猶1濁和涂2館的插啦值函太數(shù)在有結(jié)點決5卻拾不為象零為此怖修正N1和N21234510.5再增滔加結(jié)誘點晉6，苦其插僅值函暴數(shù)同雁樣由方向帆的二外次和拼兩方向管的一砌次金La掙gr騾an斑ge含多例項式見的乘搞積構(gòu)博成對于稈結(jié)點蹦1～碧6，N6滿足N6j＝6j要求1234516但此虛時結(jié)禮點胳2辣和捧3撐的插通值函館數(shù)在尼結(jié)點吳6卻狠不為果零為此疤修正N2和N312345610.5類似哀可以鹽增加役結(jié)點需7蛙和戚結(jié)點連8丙，最瘋后得榆到博4～民8樸結(jié)點漲可變晚結(jié)點繭單元罪。其屋插值勤函數(shù)定為：可以捧證明艇這樣矩構(gòu)造拒的插籮值函膠數(shù)滿徐足Nij＝ij和疏Ni=1覺的孕要求采用淚同樣起的方臨法可基以構(gòu)沿造更未高階靜的箱Se磁re西nd加ip框it竭y單元性，例此如圖邀示過距渡單肅元其中156234分析即構(gòu)造市S奧er次en蛾di走pi爽ty擋單蹤蝶元的尋方法緣瑞，可觸以看秘到，派單元占插值梯函數(shù)哄所包購含的柱項次掌位于諸圖示乎P婆as東ca線l允三角腿形的政兩邊境帶中趙。223322322332233314444224

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