桿系結(jié)構(gòu)單元

第五章桿系結(jié)構(gòu)單元5.1概述桿系結(jié)構(gòu)主要有：梁、拱、框架、桁架等，它們?？呻x散成桿元和梁元?！稹稹稹稹稹稹稹稹鹆汗翱蚣堋稹稹稹稹痂旒茏鴺?biāo)系有限元中的坐標(biāo)系有結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系和單元坐標(biāo)系。對于一個(gè)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系一般只有一個(gè)；而單元坐標(biāo)系有很多個(gè)，一個(gè)單元就有一個(gè)單元坐標(biāo)，并且對每一個(gè)單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元的單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?，給單元分析帶來方便。XY○○○○○Pxyxy

桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j。約定：單元坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)i；節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中x軸的正向。y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。對于梁單元，y軸和z軸分別為橫截面上的兩個(gè)慣性主軸。xyzij··5.2桿單元

下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長度為l，彈性模量為E，軸向分布載荷為px。單元有2個(gè)結(jié)點(diǎn)i，j，單元坐標(biāo)為一維坐標(biāo)軸x?！ぁjxlLINKpxujui1、一維桿單元單元結(jié)點(diǎn)力向量：（1）位移模式和形函數(shù)①位移模式單元結(jié)點(diǎn)位移向量因?yàn)橹挥?個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移只有1個(gè)自由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：（5-3）式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條件

x=xi時(shí)，u=ui

x=xj時(shí)，u=uj確定。再將由此確定的a1、a2其代入式（5-3），得（5-4）a1a2②形函數(shù)將式（5-4）改寫為下列形式（5-5）式中形函數(shù)[N]為（5-6）（2）應(yīng)變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應(yīng)變將式（5-5）、（5-6）代入上式，得上式也可寫為（5-7）式中[B]為應(yīng)變矩陣（5-8）由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（3）應(yīng)力矩陣將式（5-7）代入上式，得（5-9）式中[S]為應(yīng)力矩陣（5-10）(4)單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚾允剑?-33）推出（1-33）對于等截面鉸接桿單元（截面積為A），v=Adx，故有：(5-11)

(5)等效節(jié)點(diǎn)力單元上作用分布力px，則等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式仍為以下形式當(dāng)分布力集度px為常數(shù)時(shí)，有（5-13）（5-12）將式（5-8）代入上式，得例5-1一維拉桿圖示階梯形直桿，各段長度均為，橫截面積分別為3A，2A，A，材料重度為γ，彈性模量E。求結(jié)點(diǎn)位移和各段桿中內(nèi)力。離散化：將單元?jiǎng)澐譃?個(gè)單元，4個(gè)結(jié)點(diǎn)。單元?jiǎng)偠染仃嚕?22334等效結(jié)點(diǎn)荷載：按靜力等效原則，有:對號入座，組成總剛，形成整體結(jié)構(gòu)平衡方程:設(shè)結(jié)點(diǎn)1的約束反力為F1，則有:

整體結(jié)構(gòu)平衡方程劃去節(jié)點(diǎn)1所對應(yīng)的第1行、行1列。解得結(jié)點(diǎn)位移單元應(yīng)力單元應(yīng)變單元應(yīng)變：2、平面桁架桿單元（2DLINK1）1234ijxyl（1）單元坐標(biāo)單元位移向量1234ijxy看成局部坐標(biāo)下的拉壓桿（2）位移模式和形函數(shù)①位移模式由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（5-3）、（5-4）。（y方向位移不引起單元力）

②形函數(shù)（5-14）應(yīng)變矩陣[B]為（5-15）（4）應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣[S]為（5-16）（3）應(yīng)變矩陣（5-16）(6)局部坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噷τ诘冉孛驺q接桿單元，（5-17）(5)等效節(jié)點(diǎn)力靜力等效ijxylz3、陵空間臨桿單腹元（眼3D緩L繭IN材K8休）（1巧）單鐮元坐灘標(biāo)單階元位預(yù)移向匯量124536（5-18）（2挑）形鏈函數(shù)（5-19）（3華）應(yīng)晝變矩裕陣（5-20）（4搬）應(yīng)崗力矩哈陣（5-21）(5酬)普等剃價(jià)節(jié)物點(diǎn)力（5-22）(6管)告單濾元坐領(lǐng)標(biāo)單末元?jiǎng)偰X度矩挨陣對于勻等截隱面鉸膝接桿懇單元扮，（5-23）5.耍4贏梁鼻單元1、緞兩端毅承受處剪力靠、彎呢矩的宣平面宵梁單朋元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1澤）局腥部坐嗽標(biāo)下壤單元匹位移秘和單慘元力①胞單素元位牙移（5-24）其中勿，v—宜—y方向叢位移塔，即透撓度振?！汀菗湮灰普?。②筑單查元力（5-26）其中奸，Q—包—剪力M——爺彎矩（5-27）（2螺）位丑移函菌數(shù)和描形函旺數(shù)（5-28）①濁位街移模掉式設(shè)單撇元坐測標(biāo)位數(shù)移模捏式為②談形火函數(shù)由單取元兩蓄端點(diǎn)要的節(jié)鏟點(diǎn)位少移條縫件，工解出軌式（吧5-彎28富）中肆的a1、a2、a3、a4。再您代入蔬該式盜，可饑將位命移模片式寫澇為以循下形慢式：ijxy1234l梁單缺元內(nèi)聾一點(diǎn)丘有2真?zhèn)€位盈移：v、因?yàn)榕疲?攝dv/dx；僅一箭個(gè)位野移是請獨(dú)立腰的，盞取v。（5-29）式中（5-30）（5-31）（3粘）應(yīng)震變矩親陣①今單朵元彎筆曲應(yīng)裙變b與節(jié)菊點(diǎn)位竟移曠e的關(guān)卷系。梁單瞧元上氧任一裳點(diǎn)的訓(xùn)應(yīng)變頁和該則點(diǎn)撓能度之濤間關(guān)亂系為堅(jiān)：（5-32）11xyyρ將式伐（5踢-2星9）驕代入轟（5刮-3有2）恭，得雁單元印彎曲則應(yīng)變擇和單扛元位背移之捧間關(guān)稀系（5鼻-3洪4）（5-33）（4欄）應(yīng)歐力矩詳陣（5-35）[D][B](5右)盼等剝效節(jié)間點(diǎn)力對于肅梁上烤作用權(quán)的集不中力岔或集暫中力革矩，來在劃年分單綠元時(shí)播可將吧其作李用點(diǎn)藏取為茅結(jié)點(diǎn)碑，按疫結(jié)構(gòu)遵的節(jié)巴點(diǎn)載廚荷處刊理。這里冊僅考歇慮把吵單元捆上的鄉(xiāng)豐橫向量分布惹載荷撥轉(zhuǎn)化汽為等帖價(jià)節(jié)苦點(diǎn)力四問題恥。xyijlpy(x)（5-36）將形計(jì)函數(shù)刺矩陣庫[N育]代箱入上橋式，未積分度可得押分布騰荷載踩的等懷效結(jié)固點(diǎn)力減。表啞1給做出了脹幾種茫特殊趁情況嚇的等疑價(jià)節(jié)修點(diǎn)力域。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij幾種潤橫向惕分布丸荷載柳等價(jià)喜節(jié)點(diǎn)年力透表抗1(6沫)窄單徑元坐釘標(biāo)單竟元?jiǎng)傪埗染鼐G陣梁單杜元?jiǎng)側(cè)醵染刂陵嚬甘綖閷⑹奖恚?懼-3稍4）贏代入關(guān)上式巾進(jìn)行窩積分走，并康注意基到Iz——襪梁截君面對鍵Z軸腰（主池軸）甜的慣身性矩得單哪元坐溝標(biāo)單貨元?jiǎng)傕l(xiāng)豐度矩犯陣[溜k]e:（5-37）單元唉剛度鵝矩陣械式(全5-愿38頑)適樓合于連續(xù)際梁分析梯。（5-38）整體剃坐標(biāo)靜與局管部坐牢標(biāo)方突向一滑致。例5伴-4牙變霧截面幸梁有一證變截哈面梁障，一故端固聚定，佛另一介端鉸松支。勇梁長怪為2l，固倆支端互的截唇面盡前寸為免b×幅1.謊6h著，鉸輪支端堪的截猾面尺糟寸為尺b×萬h。疼梁上虹作用舒均布掉載荷遮p0。求婦梁端么的約肅束反蘿力。xy離散槽化將梁筑劃分勇成2霧個(gè)單助元，醫(yī)3個(gè)失結(jié)點(diǎn)甲。每油個(gè)單攔元窮長度五為,攀截面忍取平倉均截耕面。，單元粘剛度兇矩陣ij1夕22橋3對號浪入座嘴，組合整授體剛器度矩強(qiáng)陣1覆2葉3123荷載撕等效散結(jié)點(diǎn)力壯向量約束弟反力用向量1越2茂3總荷血載向拿量引入滋邊界蓄條件將整鑒體平眉衡方寇程中花對應(yīng)蹄的1杰、2肝、5醬行和竿總剛分中1毅、2疲、5禾列刪該去奏，得解方穩(wěn)程組假，得替結(jié)點(diǎn)礦位移篩值將結(jié)號點(diǎn)位賣移值銅代入侍整體禍平衡消方程無，可辭得約貌束反辨力2、迅兩端繞承受佳軸力醉、剪塊力、騾彎矩洋的平抄面梁虎單元（平司面剛抗架，賽BE誘AM借3)ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1踐）單差元坐程標(biāo)單挪元位來移和夜單元償力①于單取元位樓移（5-39）其中常，u—?！獂方向摧（軸程向）扛位移憑。v—紛—y方向猾位移鵝，即稻撓度儲?！h—角腰位移制。②龍單灑元力（5-40）其中部，N—粘—軸卻向力Q—莊—剪力M—放—彎番矩對于較小變秩形問位題，齒可以澆認(rèn)為逝軸向環(huán)變形維和彎壁曲變塊形互菊不影政響，稍因此段，位選移模理式和餓形函悅數(shù)可蹈以分嶄別按解5.受3節(jié)一維辯拉壓劉桿單仇元和彎剪霉平面幅梁單劣元的結(jié)顏果（轎式5去-3恩和式迎5-銜28股）簡漠單集莊合而鄙成。（2作）位屬移函猛數(shù)和盡形函地?cái)?shù)①哄位島移模屢式ijxy2356l14（5-41）②亭形商函數(shù)式中流形函邊數(shù)[伸N]愿為：（5-42）（5-43）其中切,（3琴）應(yīng)買變矩去陣①創(chuàng)單巖元彎抵曲應(yīng)東變與節(jié)帥點(diǎn)位刺移棍e的關(guān)顫系。軸剪園彎梁談單元上任粒一點(diǎn)鍛的應(yīng)駁變，魄應(yīng)為伸該點(diǎn)初撓度庭（v）引籃起的打應(yīng)變竹和軸送向位接移（u）引尋起的哨應(yīng)變牌之和衣。單元鐮?wèi)?yīng)變攻矩陣淘為：（5-44）（5-45）(5男)器等野價(jià)節(jié)集點(diǎn)力xyijl圖4-9qy(x)（4且）應(yīng)布力矩嗎陣（5-46）qx將式企彎剪挨梁（趟5-舟36泛）、劑一維聾桿（印5-妥11盈）膨戚脹成刊6×剪1矩拐陣后惕相加源，并愧注意女到式支（5貓-4例3）猾，有（5-36）（5-11）一維捕桿彎剪赤梁最后京得等縮慧價(jià)節(jié)向點(diǎn)力乘矩陣（5-47）荷載分布NiQiMiNjQjMj表父2繁幾不種橫院向分效布荷苦載等乘價(jià)節(jié)引點(diǎn)力ijqyqxqyijqxqyijqx(6璃)蜘單殺元坐形標(biāo)單衣元?jiǎng)倳灦染亟o陣梁單胞元?jiǎng)傆染丶￡嚬跏綖椋?-48）5.訪5坐標(biāo)烈變換在5煙.3億、5惡.4單節(jié)中軋，單倚元位罷移和奇單元吉力都體是按煙單元躁坐標(biāo)怒系的軍坐標(biāo)屆軸分撕量定仔義的違，由悅此建臭立的臉單元控剛度戰(zhàn)矩陣姑屬于蘿單元貴坐標(biāo)巨單元級剛度達(dá)矩陣恨。進(jìn)行驅(qū)系統(tǒng)娃分析遲時(shí)，尋需要蓬把單拾元力究按統(tǒng)歉一的云結(jié)構(gòu)炭坐標(biāo)抗軸的擁分量世表示描出來凳，以章便建耽立結(jié)插點(diǎn)平撞衡方戴程。宗因此損，在殲進(jìn)行申系統(tǒng)衫分析壞之前惹，必嚴(yán)須把單末元坐趁標(biāo)系丈中的圍單元漠力以銷及單遭元?jiǎng)倸埗染仉u陣都豆轉(zhuǎn)換亮到結(jié)相構(gòu)坐竿標(biāo)系態(tài)中去昏。此外何，還急需要限把結(jié)礎(chǔ)構(gòu)坐豎標(biāo)系鴨中的亂節(jié)點(diǎn)瞎位移鈴轉(zhuǎn)換若到單胃元坐距標(biāo)系紙中去乞，以預(yù)計(jì)算婆結(jié)構(gòu)膠內(nèi)力槳。這踩一轉(zhuǎn)鐵換過務(wù)程稱趙為坐標(biāo)都變換浙。(一銹維桿閣和彎紹剪梁狂單元劈燕不需潤要坐鳥標(biāo)變教換，干因兩穿種坐跳標(biāo)系存統(tǒng)方錢向一皺致)結(jié)構(gòu)濁坐標(biāo)符號碎約定?。悍病稀Y(jié)繞構(gòu)坐果標(biāo)單瘋元位晃移F遙—呆—結(jié)丟構(gòu)坐粱標(biāo)單殼元力[k之]—哲—結(jié)歇構(gòu)坐皺標(biāo)單半元?jiǎng)偣穸染丶?xì)陣1、震坐標(biāo)飛變換衫矩陣牙定義把單完元位訪移從塌結(jié)構(gòu)巖坐標(biāo)脊系轉(zhuǎn)監(jiān)換到宇單元債坐標(biāo)河系的德變換局矩陣林定義簡為坐標(biāo)斧變換猴矩陣，用蘇符號怪[T杜]表沙示。賠有單元言坐標(biāo)擦中的赴符號輪約定途：通e——彼單元啊坐標(biāo)恨單元仇位移F凍e——衣單元猾坐標(biāo)派單元漂力[k枕]e——妖單元而坐標(biāo)壘單元巡壽剛度增矩陣式（嫁5-旦58濁）給躺出了登結(jié)構(gòu)禁坐標(biāo)撒單元處位移億轉(zhuǎn)換涼為單抗元坐尾標(biāo)單女元位棒移的費(fèi)轉(zhuǎn)換筑式，拴同時(shí)降是坐惕標(biāo)變紐奉換矩忠陣[猛T]聰?shù)亩ㄤP義式條。2、腥結(jié)構(gòu)屬坐標(biāo)版單元脹力單元?jiǎng)┝υ谇f單元慚位移猴上作蓬的功掃，不領(lǐng)因其任坐標(biāo)狼系的儲改變吹而變欠。則蟻有（5-58）將式怎（5斷-5報(bào)8）比代入假，對上機(jī)式兩病端進(jìn)察行轉(zhuǎn)搶置，料注意路到消去湯，邀得即得（5-59）式（鵝5-說59匹）表灘明：結(jié)構(gòu)農(nóng)坐標(biāo)水單元可力等未于單非元坐岡標(biāo)單營元力來前乘杏坐標(biāo)脊變換圍矩陣粘的轉(zhuǎn)嘴置。在單頓元坐撓標(biāo)系災(zāi)中，證有3、啊結(jié)構(gòu)南坐標(biāo)社單元博剛度濃矩陣上式隸兩端哥左乘帝[T道]T，注意塞到式技（5厭-5煩8）銀、（嗎5-適59格），封有（5-58）（5-59）[k貨]—示—結(jié)員構(gòu)坐蛋標(biāo)單呈元?jiǎng)偣S度矩烤陣。得（5-60）式（伐5-距60困）給拿出了敗把單孕元坐泊標(biāo)單晴元?jiǎng)偲露染匮囖D(zhuǎn)全換為罰結(jié)構(gòu)江坐標(biāo)菊單元比剛度肆矩陣崖的轉(zhuǎn)漠換式眠。引入5.祖6潤坐標(biāo)靈變換遵矩陣坐標(biāo)觸變換喊矩陣停因單熔元類援型不餐同而且異。1、鋪平面票鉸接惹桿單杠元（創(chuàng)桁架由元）設(shè)O標(biāo)XY壞為結(jié)泄構(gòu)坐盜標(biāo)，ox慕y(tǒng)為單攔元坐紐奉標(biāo)。為葛從單仰元i端出堅(jiān)發(fā)的跨任一彼矢量丘。它凡在結(jié)內(nèi)構(gòu)坐散標(biāo)系漂中的驢分量殊為X、Y；在讓單元愉坐標(biāo)緞系中漸的分逃量為袍x、y。結(jié)樣構(gòu)坐題標(biāo)系燈中的浸分量準(zhǔn)X、Y在單棟元坐腎標(biāo)x軸上計(jì)投影秘的代辭數(shù)和方給出膜x。同銹理，深X、Y在單轉(zhuǎn)元坐困標(biāo)y軸上潛投影歡的代窯數(shù)和嶺給出甜y。XYxyXYxy（5-61）寫成錄矩陣常形式速，iim+mnbamnab-am取——i節(jié)點(diǎn)在單元坐標(biāo)系中的位移向量——i節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的位移向量x對X翠、Y激的方販向余載弦y對X議、Y盒的方刑向余栽弦同理蚊可得晉單元j節(jié)點(diǎn)榨在單把元坐凳標(biāo)系暖和結(jié)疲構(gòu)坐荒標(biāo)系龜中的路位移渠向量師：有組合慰上述距結(jié)果超，得斜平面渡鉸接層桿單拿元的卸單元犯坐標(biāo)鬼單元亦位移碰和結(jié)貿(mào)構(gòu)坐錦標(biāo)單狀元位枕移之卸間關(guān)緞系：i、j兩節(jié)至點(diǎn)間蹈的位準(zhǔn)移變淡換關(guān)愛系互韻不耦濟(jì)合。上式培可寫浮成坐標(biāo)劃變換吧矩陣俗[T談]的脫計(jì)算方式：（5-62）（5蕉-6斥0）○○○○○XYij(e愁)x（5-62a）式中培，（協(xié)Xi，Yi）和結(jié)（Xj，Yj）分析別為燦節(jié)點(diǎn)i和節(jié)襯點(diǎn)j在結(jié)木構(gòu)坐次標(biāo)系泄中的悅坐標(biāo)咐值。例5惠-2申兩腹根桁賞架兩根首桿件剖的橫諸截面秘積為府A，息彈性怪模量農(nóng)為E專，垂激直桿節(jié)長為殼，兩市桿鉸吧接處代受到違水平籃方向倘的外淡力P百。求肺結(jié)點(diǎn)鎮(zhèn)位移畫和桿毒中的科內(nèi)力刷。XY（1里）單蝦元?jiǎng)澆环症賳卧茫篿=朵1，駛j=魄2，α=寇45缺°,單剛墊為：②單元家：i=碗2，鄭j=當(dāng)3，α=夠-9詠0°快,單剛盟為：2舅3(2辦)整腹體剛奮度矩育陣1嫩2該3123(3齡)乳等價(jià)高結(jié)點(diǎn)歪力：路僅結(jié)慌點(diǎn)2肆的結(jié)醋點(diǎn)力貧可以獵確定（4迎）結(jié)典構(gòu)整慮體平凍衡方箏程（5噸）引世入約跨束1、尼3結(jié)版點(diǎn)約灑束，臥劃去胞1、器2、荒5、坐6行板與列片，得（6秘）節(jié)遮點(diǎn)位備移（7柱）單贈元內(nèi)燃力整體節(jié)寫點(diǎn)位像移變案換到波單元束節(jié)點(diǎn)斃位移愉。單元傳應(yīng)變曠為單元驢應(yīng)力起為單元蒜力為（7核）單控元內(nèi)坊力對于①單旁元，i=恨1,才j=傅2,桿勾長對于②單他元，i=尊2,中j=肆3,桿儲長l（8慮）支徐反力根據(jù)伶單元株平衡芝求支凍反力任。F1xF1y（7為）結(jié)駛點(diǎn)力掛量笛（利紡用整氧體平前衡方妹程）將結(jié)呀點(diǎn)位糟移分靈量代診入整叮體平遇衡方絹程，笨得結(jié)既點(diǎn)力脖量（8法）單酸元內(nèi)疲力2、都彎剪思平面設(shè)梁