北京首都師大附中2017屆九年級(jí)10月月考數(shù)學(xué)試題(含答案)

首都師大附中2017-2018學(xué)年第一學(xué)期十月月考初三數(shù)學(xué)第I卷（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與自身能重合的圖形是中心對(duì)稱圖形．2．將拋物線先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達(dá)式是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】平移：左右——（用于），上下——（用于）．3．如圖，點(diǎn)，，在⊙上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，，∴，∴，∴．4．代數(shù)式的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】．5．已知圓錐的母線長(zhǎng)是，底面半徑是，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)母線為，底面半徑為，圓錐側(cè)面展開圖圓心角為，則，所以，．6．如圖，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，以為旋轉(zhuǎn)中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所成的圖形是（）．A． B． 【解析】∵，，∴，．16．閱讀下面材料：在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：尺規(guī)作圖：過圓外一點(diǎn)作圓的切線．已知：為⊙外一點(diǎn)．求作：經(jīng)過點(diǎn)的⊙的切線．小敏的作法如下：如圖，（）連接，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（）以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙于，兩點(diǎn)．（）作直線，．老師認(rèn)為小敏的作法正確．請(qǐng)回答：連接，后，可證，其依據(jù)是____________________；由此可證明直線，都是⊙的切線，其依據(jù)是________________________________________．【答案】見解析．【解析】①直徑所對(duì)的圓周角是直角．②經(jīng)過半徑的外端并用垂直于半徑的直線是圓的切線．10．【答案】D【解析】∵，∴對(duì)稱軸，將關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得，則此時(shí)圖象位于軸上方，∵時(shí)圖象位于軸下方，∴可知，圖象過，∴．二、填空題11．【答案】【解析】時(shí)，，時(shí)，，∴．12．【答案】且【解析】∵圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴且，∵，∴，∴，∴且．13．【答案】【解析】如圖：，，∴中，，．14．【答案】 【解析】∵，可化為，即方程的解為函數(shù)，，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又∵交點(diǎn)為，，∴為，．15．【答案】 【解析】如圖：，，由垂徑定理可知：，設(shè)半徑為，在中，，∴．三、解答題（本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，第28分7分，第9題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．解一元二次方程：【答案】，．【解析】，，．18．已知，求的值．【答案】．【解析】原式，當(dāng)，即時(shí)，原式．19．如圖，內(nèi)接于⊙，，，為⊙的直徑，，求弦的長(zhǎng)．【答案】．【解析】∵⊙中是直徑，∴，∵中，，，∴，∴，在中，，，，∴，∴．20．如圖，在中，，在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，求的度數(shù)．【答案】．【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，．21．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．以為旋轉(zhuǎn)中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．（）畫出．（）點(diǎn)的坐標(biāo)為______________________________．（）求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路線長(zhǎng)．【答案】（）見解析；（）；（）．【解析】（）如圖，走過的路線為弧，∵，∴，∵，∴．22．已知：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（）求的取值范圍．（）若，是此方程的兩個(gè)根，且滿足，求的值．【答案】（）；（）．【解析】（）∵有實(shí)根，∴，∵，∴，∴．（），，∵、為方程的兩根，∴，，∴，，∴，（舍），∴．23．已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：（）可求得的值為__________．（）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．（）當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為______________________________．【答案】（）；（）；（）．【解析】（）由表可知，，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴．（）設(shè)頂點(diǎn)式，∵過，∴，∴．（）∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸，∴時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值，時(shí)，有最小值，∴．24．某商店從廠家以每件元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商店可自行定價(jià)，但物價(jià)部門限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)貨價(jià)的．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商品的售價(jià)與銷售量的關(guān)系是：若每件售價(jià)元，則可賣出件．如果商店計(jì)劃要獲利元，則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？需要賣出這種商品多少件？【答案】 【解析】設(shè)每件商品的售價(jià)定為元，，，，，∵，∴，（件），答：售價(jià)定為時(shí)，賣出件．25．已知：如圖，內(nèi)接于⊙，于，，過點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．（）求證：是⊙的切線．（）若為⊙上一動(dòng)點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)，使得的值最小，若存在求的最小值，若不存在，說明理由．【答案】（）見解析；（）見解析．【解析】（）連結(jié)，∵，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，又∵為半徑，∴為⊙切線．（）將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱到點(diǎn)，由垂徑定理可知在⊙上，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵中，，，∴，∴，在中，，∴在中，，∴，∴，∴最小值為．26．有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小慧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小慧的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：（）函數(shù)的自變量的取值范圍是__________．（）列出與的幾組對(duì)應(yīng)值．請(qǐng)直接寫出的值，__________．（）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象．（）結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．①__________________________________________________．②__________________________________________________．【答案】（）；（）；（）圖象不過第三象限，與直線沒有交點(diǎn)；（）見解析．【解析】（）分母不為，則，．（）令，則，∴．（）從交點(diǎn)個(gè)數(shù)，增減性，過象限等角度來寫．27．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（）求的值．（）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（）將拋物線在，兩點(diǎn)之間的部分（包括，兩點(diǎn)），先向下平移個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位，平移后的圖象記為圖象，若圖象與直線無交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（）；（）；（）見解析．【解析】（）∵圖象過，∴．（），頂點(diǎn)，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴．（）令，則，，，，∴，，將圖象向下平移個(gè)單位后，，，∵，，∴直線解析為，令，則，∴，由圖可知，，∴時(shí)，圖象與直線無交點(diǎn)．28．（）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與邊交于點(diǎn)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，求，，的數(shù)量關(guān)系．（）如圖，在菱形中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋，與邊交于點(diǎn)，連結(jié)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形并畫出輔助線，直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系是__________．（）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，點(diǎn)，分別在，上，若的周長(zhǎng)為，則的面積最小值為____________________．解：（）____________________．（）____________________．（）____________________．【答案】（）；（）；（）．【解析】（）連延長(zhǎng)線上截取，連結(jié)，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，∴，∴，∴，連結(jié)，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．（）證明同（）．（）延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，∵，，∴≌（），∴，∵，，∴，又∵，∴，∴≌（），設(shè)，，，則，∵，∴，∴，整理得：，∴，即，又∵，∵，∴最小值29．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，以為圓心，為半徑的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．給出如下定義：若線段，⊙和直線上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，使得四邊形是矩形（點(diǎn)，，，順時(shí)針排列），則稱矩形為直線的“理想矩形”．例如，下圖中的矩形為直線的“理想矩形”．（）若點(diǎn)，四邊形為直線的“理想矩形”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________________．（）若點(diǎn)，求直線的“理想矩形”的面積．（）若點(diǎn)，直線的“理想矩形”面積的最大值為__________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________________________________________．解：（）____________________．（）____________________．（）______________________________，______________________________．【答案】（）；（）；（） ．【解析】（）四邊形中，，，，是順時(shí)針排列，且分別落在線段，⊙和直線上，∴．（）連結(jié)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵在上，∴直線，設(shè)與軸交于點(diǎn)，∵，∴，在軸上截取，連