小波變換的降噪原理及性能仿真

基于MATLAB的小波變換的降噪原理及性能仿真按小波變換的發(fā)展過程劃分，大致可以劃分三個階段：第一階段：孤立應用時間。主要特征是一些特殊構造的小波在某些科學研究領域的特定問題上的應用。這個時代最典型的代表工作是法國地球物理學家J.Morlet和A.Grossmann第一個把“小波"用于分析處理地質數(shù)據(jù)，引進了以他們的名字命名的時間一尺度小波，即Grossmann-Morlet小波。這個時期的另一個代表性工作是1981年J.Stromberg對A.Haar在1910年所給出的Haar（哈爾）系標準正交小波基的改進。同時，著名的計算機視覺專家D.Marr在他的“零交叉"理論中使用的可按“尺寸大小”變化的濾波算子，現(xiàn)在稱為“墨西哥帽”的小波也是這個時期有名的工作之一，這部分工作和后來成為S.Mallat的正交小波構造理論支柱之“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切聯(lián)系。這個時期一個有趣的現(xiàn)象是各個領域的專家、學者和工程師所從事的領域廣泛分布于科學和技術研究的許多方面。因此，這個現(xiàn)象從另一個側面預示了小波分析理論研究和應用熱潮的到來，說明了小波理論產生的歷史必然性。第二階段：國家性研究熱潮和統(tǒng)一構造時期。真正的小波熱潮開始與1986年，當時法國數(shù)學家Y.Meyer成功地構造出具有一定衰減性質的光滑函數(shù)，這個函數(shù)（算子）的二進尺度伸縮和二進整倍數(shù)平移產生的函數(shù)系構成著名的2-范數(shù)函數(shù)空間的標準正交基。這項成果標志“小波分析”新時代的到來。第三階段：全面應用時期。從1992年開始，小波分析方法進入全面應用階段。在前一階段研究工作基礎上，特別是數(shù)字信號和數(shù)字圖像的Mallat分解和重構算法的確定，使小波分析的應用迅速波及科學研究和工程技術應用研究的幾乎所有的領域。編輯部是在美國的TexasA&M大學的國際雜志《AppliedandComputationHarmonicAnalysis》從1993年創(chuàng)刊之日起就把小波分析的理論和應用研究作為其主要內容，編輯部的三位主編C.K.Chi、R.Coifman與I.Daubechies都在小波分析的研究和應用中有獨到的貢獻。時至今日，小波分析的應用范圍還在不斷擴大，許多科技期刊都刊載與小波分析有關的論文，各個學科領域的地區(qū)性和國際性學術會議都有設計小波分析的各種類型的論文、報告。同時，在國際互聯(lián)網(wǎng)和其他有較大影響的網(wǎng)絡上，與小波有關的書籍、論文、報告、軟件、隨時隨地有可以找到并可以免費下載，甚至頗有國際影響的軟件公司MathWorks在它的“科學研究和工程應用”軟件MATLAB中，特意把小波分析作為其“ToolBox”的單獨一個工具箱。由此可以大致了解小波分析廣泛應用狀況。從小波變換的思想來源劃分按小波變換的思想來源劃分，大致可以分為兩個階段：第一階段：小波變換的思想來源于伸縮與平移方法。小波分析方法的提出，最早應屬1910年Haar提出的規(guī)范正交基，但當時并沒有出現(xiàn)“小波”這個詞。1936年Littlewood和Paley對傅立葉級數(shù)建立了二進制頻率分量分組理論，對頻率按二進制進行劃分，其傅立葉變換的相位變化并不影響函數(shù)的大小，這是多尺度分析思想的最早來源。1946年Gabor提出的加窗傅立葉變換（或稱短時傅立葉變換）對彌補傅立葉變換的不足起到了一定的作用。后來，Galderon、Zygmund、Stem等將L—P理論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論；1965年Galderon發(fā)現(xiàn)了再生核公式，它的離散形式已接近小波展開，只是還無法得到一個正交系的結論。1981年，Sterm對Haar系數(shù)進行了改進，證明了小波函數(shù)的存在性。1982年Battle在構造量子場論中采用了caldem再生核公式的展開形式。第二階段：1984年，法國地球物理學家J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)時提出將地震波按一個確定函數(shù)的伸縮、平移系展開，他與A.Grossman共同研究，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系。1985年，法國的大數(shù)學家Meyer首先提出了光滑小波的正交基，1986年，Meyer及其學生Memaarie提出了多尺度分析的思想。1987年Mallat將計算機視覺領域內的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，統(tǒng)一了在此之前的所有正交小波基的構造，并提出了相應的分解與重構快速算法。1988年，年輕的女數(shù)學家Dallbechies提出了具有緊支集的光滑正交小波基Daubechies基，為小波的應用研究增添了催化劑。同年，Daubechies在美國主辦的小波專題討論會上進行了10次演講，引起了廣大數(shù)學家、物理學家甚至某些企業(yè)家的重視，由此將小波的理論和實際應用推向了一個高潮。小波變換的應用領域事實上小波分析的應用領域十分廣泛，它包括：數(shù)學領域的許多學科；信號分析［1~4］、圖象處理［5,6］；量子力學、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別［7~10］，音樂與語言的人工合成；醫(yī)學成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理［11］；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學方面，它已用于數(shù)值分析、構造快速數(shù)值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波［12~15］、去噪聲［16~19］、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識別與診斷、去污等。在醫(yī)學成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間等。小波分析在地球物理勘探中的應用（1） 地震數(shù)據(jù)壓縮。將地震記錄作小波變換，變換后的結果做閾值量化，去除大量接近于零的值，用一定的記錄方式把結果存儲起來，達到壓縮的目的。當需要再利用這些地震數(shù)據(jù)時，作小波逆變換恢復原來的地震記錄。（2） 油氣預測。地球物理勘探中，尋求地殼物質物性參數(shù)的奇異性是非常有意義的。例如，斷層會使重力異常產生的較大變化；在地殼介質的分界面處，地震波的傳播會產生速度和方向的變化，這些都是地球物理信號的奇異性。判斷出奇異性的大小和位置就可以對異常現(xiàn)象做出解釋。應用中：通常是將分形幾何理論和模式識別理論與小波變換的突變點原理相結合，通過確定表征奇異性的數(shù)檢測地震道的奇異性，預測儲層所在的位置。通過計算地震道的分維數(shù)或提取小波變換域的地震特征參數(shù)，建立關聯(lián)維數(shù)或地震的特征參數(shù)與含油氣的關系，利用模式識別的原理確定油氣井的位置。小波分析用于信號和圖像處理（1） 數(shù)據(jù)壓縮。隨著科學技術特別是計算機技術的發(fā)展以及互聯(lián)網(wǎng)的普及，許多應用領域（如衛(wèi)星監(jiān)測、地震勘探、天氣預報）都存在海量數(shù)據(jù)傳輸或存儲問題，如果不對數(shù)據(jù)進行壓縮，數(shù)量巨大的數(shù)據(jù)就很難存儲、處理和傳輸。因此，伴隨小波分析的誕生，數(shù)據(jù)壓縮一直是小波分析的重要應用領域之一，并由此帶來巨大的經濟效益和社會效益。（2） 語音分析與處理。小波理論應用于語音分析與處理的主要內容包括：清/濁音分割；基音檢測與聲門開啟時刻定位；去噪、壓縮、重建幾個方面。小波分析在其他領域的應用從數(shù)學的角度講，小波分析的發(fā)展，對微分方程、積分方程的數(shù)值解、統(tǒng)計學等學科也注入了新的活力。因此，小波分析在流體力學的模型建立和求取數(shù)值解、醫(yī)學細胞識別、線性系統(tǒng)計算、物理學分析、工程計算［20,21中］也得到了應用。由于小波分析處于高速發(fā)展階段，新的理論和應用領域不斷涌現(xiàn)。小波分析應用前景（1）瞬態(tài)信號或圖像的突變點常包含有很重要的故障信息，例如，機械故障、電力系統(tǒng)故障、腦電圖、心電圖中的異常、地下目標的位置及形狀等，都對應于測試信號的突變點。雖然這些問題發(fā)生的背景不同，但都可以歸結到如何提取信號中突變點的位置及判定其奇異性（或光滑性）的問題。對圖像來說，急劇變化的點通常對應于代表圖像結構的邊緣部位，也就是圖像信息的主要部分。掌握了它，也就掌握了圖像的基本特征，因此，小波分析在故障檢測和信號的多尺度邊緣特征提取方面的應用具有廣泛的應用前景。（2）神經網(wǎng)絡與小波分析相結合，分形幾何與小波分析相結合是國際上研究的熱點之一。基于神經網(wǎng)絡的智能處理技術，模糊計算、進化計算與神經網(wǎng)絡結合的研究，沒有小波理論的嵌入很難取得突破。非線性科學的研究正呼喚小波分析，也許非線性小波分析是解決非線性科學問題的理性工具。（3） 小波分析用于數(shù)據(jù)或圖像的壓縮，目前絕大多數(shù)是對靜止圖像進行研究的。面向網(wǎng)絡的活動圖像壓縮，長期以來是采用離散余弦變換DCT）加運動補償（Me）作為編碼技術，然而，該方法存在兩個主要的問題：方塊效應和蚊式噪聲。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述問題，而且可首先得到粗尺度上圖像的輪廓，然后決定是否需要傳輸精細的圖案，以提高圖像的傳輸速度。因此研究面對網(wǎng)絡的地速率圖像壓縮的小波分析并行算法，具有較高探索性和新穎性。同時也具有較高的應用價值和廣泛的應用前景。（4） 目前使用的二維及高維小波基主要是可分離的。不可分離二維及高維小波基的構造、性質應用研究，由于理論上較為復雜，這方面的成果甚少。也許向量小波及高維小波的研究能夠為小波分析的應用開創(chuàng)一個新天地。小波分析面臨的主要問題小波分析雖然在許多應用領域已取得了一定的成果但事實上小波分析仍面臨的一些問題，主要問題如下：（1）小波理論尚不完善，除一維小波理論比較成熟以外，高維小波、向量小波的理論還遠非人們所期待的那樣，特別是各類小波，如正交小波、雙正交小波及向量小波、二進小波、離散小波的構造和性質的研究。（2）最優(yōu)小波基選取方法的研究。雖然國內外已有一些最優(yōu)基選取方法的研究但缺乏系統(tǒng)規(guī)范的最佳小波基選取方法，即針對不同的問題能最優(yōu)地選擇不同的小波基以實現(xiàn)最好的應用效果。我們知道不存在一種小波基能適應所有的情況，因此，小波基的優(yōu)化選擇始終是小波理論研究的重要內容。（3）小波分析的應用范圍雖然很廣，但真正取得極佳應用效果的領域并不多，人們正在挖掘有前景的應用領域。（4） 目前小波分析軟件遠不如有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、邊界元方法（EEM）等軟件成熟和完善，更無大型系統(tǒng)權威的小波分析軟件，作為商品的高水平小波分析軟件幾乎沒有。（5） 小波分析在數(shù)據(jù)圖像壓縮方面已取得很好的成績，人們期待利用小波能夠實現(xiàn)高壓縮比、高重現(xiàn)度圖像的壓縮，并探索在圖像的邊緣檢測、分類與描述中的應用。1.5小波分析與傅里葉對比小波分析是20世紀80年代后期形成的一種新興的數(shù)學分支，是當前應用數(shù)學和工程學科中一個迅速發(fā)展的新領域，經過近10年的探索研究，重要的學形式化體系已經建立，理論基礎更加扎實。小波分析是在傅里葉分析的基礎上發(fā)展起來的，但小波分析與傅里葉分析存在著極大的不同，與Fourier變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應用數(shù)學、物理學、計算機科學、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學科。數(shù)學家認為，小波分析是一個新的數(shù)學分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調分析、數(shù)值分析的完美結晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。1.6本章小結在本章中，對小波進行了基本的介紹。先對小波變換的發(fā)展從兩個方面進行了介紹包括小波變換的發(fā)展及小波變換的思想。接下來分別從小波分析在地球物理勘探、信號和圖像處理及在其他領域的應用說明了小波變換的如今的應用領域。最后簡單的介紹了小波分析的應用前景及面臨的主要問題并且把小波分析和傅里葉進行了簡單的對比。第二章小波變換的基本原理小波變換是一種信號的時間——尺度（時間——頻率）分析方法，它具有多分辨分析的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較低的時間分辨率和較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于分析非平穩(wěn)的信號和提取信號的局部特征，所以小波變換被譽為分析處理信號的顯微鏡。在處理分析信號時，小波變換具有對信號的自適應性。小波變換的應用是與小波變換的理論研究緊密地結合在一起的?，F(xiàn)在，它已經在科技信息產業(yè)領域取得了令人矚目的成就。電子信息技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是圖象和信號處理?，F(xiàn)今，信號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，信號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構（或恢復）。從數(shù)學地角度來看，信號與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號處理（圖象可以看作是二維信號），在小波變換地許多分析的許多應用中，都可以歸結為信號處理問題。現(xiàn)在，對于其性質隨實踐是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。傅里葉變換、短時傅里葉變換到小波變換傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅里葉變換的基礎之上的，在眾多科學領域，特別是在信號處理、圖像處理、量子物理等方面，傅里葉變換是重要的應用工具之一。其定義為若fCLL2（R）（L2（R）表示平方可積的實數(shù)空間，即能量有限的信號空間），則F f（t）e-jQdt—g（2-1）fC）二丄廣gF（co）ejotd?2兀一g2-2)它的基expjt）為一組正交基，它體現(xiàn)的是一種全局變換，且具有鮮明的物理意義。其中fC）表示時域信號，F(xiàn)G）表示信號fC）的傅里葉變換，傅里葉變換實現(xiàn)了時域和頻域的轉換，許多在時域難以分清和解決的問題在頻域可以一目了然。雖然，傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯(lián)系起來，可以在時域或者頻域對信號進行分析，但是它缺乏時間和頻率的定位功能。因為傅里葉變換是整個時間域內的積分，所以沒有局部化分析信號的功能，即傅里葉分析只能分析信號在整個時域的頻譜，無法反映信號的局部特征。而信號的時頻局域性，正是非平穩(wěn)信號最根本最關鍵的性質。為了克服傅里葉變換的這一缺點，人們尋求了一系列新的信號分析理論，其中短時傅里葉變換和小波變換就是在這樣的情況下產生的。短時傅里葉變換（Short-timeFourierTransform）是DennisGabor于1946年提出的一種時頻分析方法。其定義為SF6,t）=j+sfC）g（t—d-j^dt—g（2-3）fC）=— SF6,T）g（t—t\j?d0dT2兀—g—g（2-4）它的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)gQ的一個短時間間隔內是平穩(wěn)（準平穩(wěn)）的，并移動窗函數(shù)，從而計算出各個不同時刻的頻譜。但是，短時傅里葉變換從本質上看，它是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用的是一個固定的短時窗函數(shù)，這也就是它在信號分析上的缺陷。小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它既繼承和發(fā)展了短時傅里葉變換的局部化思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化的缺點，是對信號進行時頻分析以及處理時變非平穩(wěn)信號的比較理想的工具。2.2小波變換的基本概念小波變換是近幾十年發(fā)展起來的能同時在時域和頻域內進行局部化信號分

析的數(shù)學方法，它在分析原始信號時，在時域和頻域上都具有良好的局部化性質，對不同信號采用相應的時域取樣步長，能夠聚焦到信號的任意微小細節(jié)，是一種優(yōu)于傅里葉變換和窗口傅里葉變換的信號處理方法。2.2.1小波定義設fC）eL2（R）'其傅里葉變換為屮6）。當屮6）滿足條件[22]2-5)或其等價條件J或其等價條件J8屮(t)dt=0（2-6）2-6)的函數(shù)屮C）稱為一個母小波函數(shù)（MotherWaveletFunction），式（2-5）、2-6)小波容許條件。將母小波屮C）經伸縮和平移后，可得到小波序列屮（）=亠屮a，T va（t）稱為小波基函數(shù)。a,T（t）稱為小波基函數(shù)。a,T其中a尺度因子，t平移，a,tgR，a>0。屮2.2.2小波特性小波基函數(shù)在時域和頻域都具有有限或近似有限的定義域，所以經伸縮和平移后的小波基函數(shù)在時域和頻域仍是局部性的，小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當a增大時小波基函數(shù)的時間窗口變大，而對應的頻域窗口相應變小，中心頻率降低。相反，當a減小時，小波基函數(shù)的時間窗口變小，而對應的頻域窗口相應變大，中心頻率升高。定義小波母函數(shù)屮C）的窗口寬度為At0，窗口中心為，其相應傅里葉變換的窗口寬度為，窗口中心為。小波基函數(shù)時域的窗口中心為，窗口寬度為At；頻域窗口中心為，窗口寬度為。則有下式成立

2-8)12-8)10— at0+TAt=aAto*? ?0?—_00―a2-9)由此，有如下結論[23]尺度a的倒數(shù)在一定意義上對應頻率s，即尺度越小，對應頻率越高,尺度越大，對應頻率越低。如果尺度a對應時間窗口，則小尺度信號為短時間信號，大尺度信號為長時間信號。在任意時刻t上,小波的時一頻窗口的大小At和都隨尺度a的變化而變化，這正是小波變換比傅里葉變換優(yōu)越的地方。在任意尺度a,時間點t上，窗口面積AtxA?保持不變，即時間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時提高。小波基函數(shù)作為帶通濾波器，其品質因數(shù)不隨尺度a變化,*數(shù))??數(shù))Q——— o-AwA?02-10)因此，它是一組頻率特性等Q的帶通濾波器組。2.2.3小波變換原理如果f如果fC)wL2(R)，且Cq/(?)2 d?<g貝y?W(a,t)—fgf(打(t)dta,T2-11)fC)二丄卜卜afC)二丄卜卜a-2W(a,T如C—g屮C)dadTa,T2-12)其中，屮C)其中，屮C)a,T是基本小波的位移與尺度伸縮。尺度因子a，平移t為連續(xù)變量，所以式(2-11)稱為連續(xù)小波變換(ContinuousWaveletTransform)。小波變換對fC）而言是以屮好C）為核函數(shù)的線性變換。2.3本章小結本章首先介紹了由傅里葉變換到短時傅里葉變換再到小波變換的發(fā)展過程然后對小波基函數(shù)的特性進行了仔細討論，了解到了小波變換與傅里葉變換不同，小波變換通過平移小波（MotherWavelet）可獲得信號的時間信息，而通過縮放小波的寬度（或者叫做尺度）可獲得信號的頻率特性（對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表小波和局部信號之間的相互關系），連續(xù)小波屮C）的時頻窗口中心和寬度可以精確定位，且都隨尺度a的變化而伸a,b縮。若將時頻窗口綜合考慮，根據(jù)公式推導可得時頻窗口的面積與尺度a無關，即時間分辨率和頻率分辨率是相互制約的。最后給出了小波變換的公式wf(t)wf(t)rC)dt為小波降噪原理的介紹提供了鋪墊。a,T第三章小波降噪原理在實際工程問題中，我們通過實驗得到的原始信號總會混雜著一定的噪聲，而噪聲的存在嚴重地干擾了信號的本質特征，不利于進一步的信號處理和分析。因此，在對原始信號進行預處理時，對噪聲加以消除或減小，以便最大程度的提取原始信號中的有用信息，是非常有必要的。本文主要考慮與信號無關的白噪聲的去噪問題，信號經過去噪處理后，不但信噪比得到了提高，同時信號的一些細節(jié)特征也突現(xiàn)出來了。我們把去除信號中含有的噪聲并恢復原始信號的過程稱為信號去噪，在信號處理領域中，人們根據(jù)實際信號的特點和噪聲的統(tǒng)計特征，基于統(tǒng)計估計原理，提出了各式各樣的信號去噪方法。這些去噪方法中，有的是在時域中進行的，有的是在頻域中進行的，這些方法的基本思想是根據(jù)噪聲和信號在時域或頻域上分布的不同而進行的。現(xiàn)有的一般去噪方法有基于Fourier變換的信號去噪方法，也即低通濾波方法；基于信號的自相關去噪方法；基于小波變換的信號去噪方法等。其中，在實際問題中最常用的是濾波方法和基于小波變換的信號去噪方法。由上一章節(jié)的討論，我們知道小波變換是在傅里葉變換的基礎上發(fā)展起來的，小波變換是比傅里葉變換更為突出的優(yōu)點是其具有時頻局部分析功能。將小波變換的思想用到信號去噪中，也即基于小波變換的信號去噪方法也是本文所要研究的一個內容。白噪聲的特性與信號去噪性能的評價標準在實際問題中，我們所要考慮的噪聲信號大多是白噪聲［24~27］，本文也是在白噪聲的基礎上來討論信號去噪方法的。信號去噪方法各式各樣，我們有必要提出一些評價信號去噪性能好壞的標準。3.1.1白噪聲的特性假設我們在實驗中獲得的原始信號中含有白噪聲qG),則c(t)有以下一些特性［28］：(1)Q(t)可以看做一個平穩(wěn)的隨機信號，它在各采樣點處的取值q(tn)是一

個隨機變量，b(t丿取值的大小與其它采樣點處的隨機取值無關，白噪聲之間無相關性，即任意的兩個白噪聲b1(t)和b2C)是不相關的。bG)可以看做是能量無限且零均值的，白噪聲在時域中沒有衰減性，白噪聲也是隨機變動的，且有》◎《)/Eb2Cn)=o。相對于某一個確定的信號而言，b(t)在時域里的表現(xiàn)是均勻密集的。b(t)包含著全部的頻譜，即b6)=1。3.1.2信號去噪性能的評價標準本節(jié)主要介紹文獻中較為常見的三種評價標準：信噪比、信噪比增益和均方根誤差。(1)信噪比(SignalNoiseRatio，簡記為SNR)信噪比是測量信號中的噪聲量的傳統(tǒng)方法，常被用來作為信號去噪性能好壞的評價標準。國際上信噪比的單位是分貝(dB),信噪比通常的定義為rp)SNR=I0log10仝IPn丿表示原始(3-1)表示原始其中，ps=1Ef2(n)表示原始信號的功率,snn信號中混雜的噪聲的功率，fC)表示原始信號，fC)表示去噪以后的