2016高一數(shù)學(xué)老白的秘笈必修第18講義

同步講解、穩(wěn)步提升、迅速提分、百尺竿頭更進一2015年春季班高一數(shù)學(xué)授課計主講教師白彥彬本期課程基本與高一年級課程同步，面向高考，以高考標(biāo)準(zhǔn)和要求進行同步提升。講授必修4和必修5內(nèi)學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，考生可以：培養(yǎng)良好的精通高中數(shù)學(xué)思想總結(jié)同步課程知識點掌握相關(guān)高考題型解法保持優(yōu)異成績適合群體高一文理科同學(xué)，適合各種層次的同學(xué)授課計：（前八次課第一講高考熱點題型——正余弦定理第二講突破高考熱點——解三角形第三講數(shù)列初步探索——等差數(shù)列第四講數(shù)列初步探索——等比數(shù)列第五講數(shù)列終極突破——通項求法第六講數(shù)列終極突破——數(shù)列求和方法第七講高考難點突破——均值不等式第八講高考重點突破——不等式解法第九講備戰(zhàn)期中考試——大串講與模擬測第一講高考熱點題型——主講教師白彥彬引入（一）兩角和差sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋（二）二倍角（縮角升冪cos2cos2sin2＝2cos21＝12sin2tan221tan2（三）半 （擴角降冪cos21cos2

si21co2asinxbcosx二．正、余弦定理

sin(x其中tana2a2即：sin

sin

2R（R為ABC的外接圓的半徑1bcsinA1acsinB1absinC

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC②sinAa,sinB

b,sinCc ③sinA:sinB:sinCa:b:ca2b2c22bcb2c2

b2a2c22aca2c2

c2a2b22abb2a2cos cosB cosC 三、解三角形a12,b5A 例 A70,B50,a 例 a12,b13,C 例如a10,b12,c，例1.在ABC中，已知A C30，c10cm解三角，2ABC中a,bcAB,C的對邊bc.若a2,cC

3A 61、在ABC中,a4,b

cosA4,則c A,a2,c 3、在△ABC中，若b3c1cosA1a3

則角C的大小 4、在ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且b2c2a2bc則A 5ABCABCa,b,cABC的面積等 3．在ABC中，bcosA=acosB

A,3

3,b

則c 變式訓(xùn)練：在ABC中，acosA=bcosB分析：求河的寬度，就是求△ABC邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長 30°10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航北西北西A南B東C例6.在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積S

a2b24

π＋sinB＝2sinC，則 ；若C＝，則△ABC的面積38.在△ABC中,ABC的對邊邊長分別為abc,且cosAb3.若c10,cos △ABC的面積 例9.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cos(Ⅰ)求a的值 (Ⅱ)求sinC及的面積

3,5

π, 4第二講突破高考熱點——主講教師白彥彬一、在三角形ABC中（隱含條件的挖掘①②③④⑤⑥⑦⑧二、正弦定理①②③④⑤⑥三、余弦定理①②③四、典例精析1、ABCABC的對邊分別為abccosC4c2bcosA522、在ABCABC所對應(yīng)的邊分別為abc，且(2a- 2,a2，求ABC的面積2 求角C求sinAsinB94、在ABCABC所對的邊分別為abc．已知c2aC4

)的值33 xcos2x，求f(B)的最3 五、高考題大練兵B＝120°，則a等于 A.C.D.＝2.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊．若A.C.D.＝33積為2，則a的值為 D.C.D.2sinA＋sinB＝2sinC，則 ；若 ABC的面積 ＝3則cosB＝( A.4

4

C.4

D.3b b2A＝2B，則 A.3

B.4

C.5

D.6 鈍角三角 D．等邊三角在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果c＝3a，B＝30°，那么C等 b則角C的值為 ABCABC的對邊分別為a,bc，AB，C成等差數(shù)列若 13， 3，求c的值設(shè)tsinAsinC，求t的最大值典例精析答案與解析：1（Ⅰ）證明：因為c2bcosA，由正弦定理得sinC2sinBcosA，所以sin(AB)2sinBcosA，sinA(B)ABC中，因為0Aπ0Bπ，所以πABπ所以AB 解：由（Ⅰ）ab 因為cosC ，所以sinC 因為△ABC的面積S ，所以S absinC ，ab5 由余弦定理c2a2b22abcosC所以c ????????13分例2（Ⅰ）因為(2ac)cosBbcosC，由正弦定理，得 ????22sinAcosBsinCcosBsinBcosCsin(BCsinA．??4∵0A ∴sinA0 ∴cosB

2

0B B ????63asin

sin

，得b 6 ????8 由cosA

AB sinC

6 4

????11s1absinC126 6 233 ????13 ∵∴ABC 2A ∵4sin cos2C 4cos2Ccos2C7 ????2 ∴41cosC(2cos2C1)7 即2cos2C2cosC10 ????42∴cosC1 又∵0C ∴C （Ⅱ）由（Ⅰ）得AB

????7∴sinAsinBsinAsin( 3 sinAsi cosAco sinA

cosA2

3sinA ????106 ∵0A

A 3 3∴當(dāng)A ，即A時，sinAsinB取得最大值 ．????13 4asin

4 （Ⅱ）因為sinA ，c2a可知ac，A 則cosA 144sin2A2sinAcosA 7,cos2A2cos2A134 3則cos(2A )=cos 1

??????13分由余弦定理a2=b2+c2- 可得分)??3

2∵0<A<π（或?qū)懗葾是三角形內(nèi)角 ????4A 3f(x 3sinxcosxcos2x 3sinx1cosx ??7 sin(x A B0, ∴B （沒討論，扣1分）???10分 ∴當(dāng)B ，即B 時，f(B)有最大值是 ????13 高考題大練兵答案與提示：1 ，∴sinC＝sin120° 又∵C為銳角，∴C＝30°，∴A＝30°，△ABC為等腰三角形，a＝c＝2.故選 解析：選D.由已知得bcsinAc3sn0°＝ ?c＝2，則由余弦定理 得：a2＝＋－221co6°3? a＋b＝2ca＋b＋c＝2＋1，因此c＋2c＝2＋1，c＝1，C＝π時3

1 SabsinC .答案：1 2 解析：選B.∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.又由a2＋4a2－ac 4 ＝ ＝4sinA sin2B52解析：選B.由正弦定理a＝b，又∵a＝2 ＝b52 5＝1，∴cosB＝42

解析：選A.∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝ ＝－ 所以△ABC是鈍角三角形．故選

2

2解析：選C.由b2＋c2－bc＝a2得 ＝2，∴A＝60°.又b＝3，∴sinB＝∴sinB＝3

A＝ 3133332＝2 ，∴AC＝sinBBC＝ 212＝2212＝2243＝4sinB 2所以2BAC.因為ABC，所以B ?????23因為 13， 3，b2a2c22accosB所以c23c40 所以c4或c1（舍去 AC

23所以tsinAsin(23sinA(3cosA1sin 3sin211cos 11sin(2A 因為0A23 所以 2A 所以 ，即A 時，t有最大值 第三講數(shù)列初步探索——主講教師白彥彬一、等差數(shù)列么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。n≥2，n∈N+，anan1=d(d是與n無關(guān)的數(shù)或字母)，則此數(shù)列是等差數(shù)列，dd=0,則該數(shù)列為常數(shù)列。d0時 dn2(ad)n表示缺常數(shù)項的二次函 d0,Sn有最小值，當(dāng)d0Sn

an2bn(a0)anS

S n n n 2 2 前n項和、中間n項和、末 等差數(shù)列，即2(S2nSn)Sn(S3nS2n二、典例精析已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a12a2a313，那么則a4a5a6等于（（A） （B）（C） （D）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是它的前n項和.若a12，S312，則S4 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a418a5，則S8 B． 數(shù)列{a}的前n項和為S，若a2且S 2n（n2，nN*）.(I)求S 則等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn和Tn

3n

a100 3

D．等差數(shù)列an前9項的和等于前4項的和．若a4ak0，則k 三、難已知正項數(shù)列a中，a1，a2，2a2 2 2(n2)，則a等于（ （C） xyzR，若1xyz3xyz （B） 已知a3且a 2n，求a及S 第四講數(shù)列初步探索——主講教師白彥彬一、等比數(shù)列（q≠0，

等比數(shù)列的通項等比數(shù)列的通項

ana1 (a1q均不為aaqnm(a，q 等比中項：如果ab中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)Ga與b的等比中項.即 （a,b同號），則G

G2abG =a（ab≠） 二、典例精析已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn表示{an}的前n項的和．若a13，a2a4144S10的值是（ （B） 已知等差數(shù)列{an}的公差為3，若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則a2等于 C．- D．-1a知等比數(shù)列{an}的首項為1，若4a1,2a2a3，成等差數(shù)列，則數(shù)列an

已知{an}是等比數(shù)列，且an a2a42a3a5a4a625,求a3設(shè){an}是一個公差為2的等差數(shù)列，a1a2a4成等比數(shù)列求數(shù)列{an}的通項an數(shù)列滿足b2an，求bbLb（用n的式子表示 7.（2010高考文科16）（本小題共13分）已知{an}為等差數(shù)列，且a36a60求{an}的通項若等比數(shù)列{bn}滿足b18b2a1a2a3，求{bnn項8.（2011卷）成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、 三、難1S為等比數(shù)列{a}n項和，若a1，且2aSa2成等差數(shù)列，則數(shù)列

B．3

卷）已知等比數(shù)列{an}中 q＝，公比＝ S為{a}的前n項和，證明 n＝設(shè)bnog3a1og3a2og3an求數(shù)列{bn}的通項第五講數(shù)列終極突破——通項求主講教師方法一：觀察法（適用于簡單題型，解答題必以數(shù)學(xué)歸納法給予證明【分析】這類問題主要是觀察數(shù)列中的ann例1、根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出它的一個通項（1）3,3,3,3,2（2）3，33，333，3333，

,3,4（3）2

方法二：法Ⅰ（適用于等差數(shù)列、等比數(shù)列【分析】①若知an1and(常數(shù))則數(shù)列為等差數(shù)列。其通 ana1（n1）d得到②若

q,(q

則數(shù)列為等比數(shù)列，其通項由

a1qn1得到例1.等差數(shù)列an是遞減數(shù)列，且a2a3a4=48，a2a3a4=12，則數(shù)列的通項 (A)an2n (B)an2n4(C)an2n (D)an2n例 已知等比數(shù)列an的首項a11，公比0q1，設(shè)數(shù)列bn的通項bnan1an2，求數(shù)列bn的通 方法三 法Ⅱ（適 Snf(an}或Snf(n)的關(guān)系【分析】若已知數(shù)列Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列anan可用aS1n1 n

n例1、已知下列兩數(shù)列{an}的前n項和sn的，求{an}的通項n（1）Snn2 （2）sn2n

（3）Sn2n2Sn2an1，求{an}n3Sn2ann1，求{a}n方法四：累加法(逐差相加法)(適 an1anf(n)型【分析】一般地，對于型如an1anf(n)類的通 ，只要f(1)f(2)f能進行求和，則宜采用此方法求解方法五：累乘法(逐商相乘法)（an1f(n型【分析】一般地，對于型如an1=f(an類的通項，當(dāng)f(1)f(2)f(n)的值可1、在數(shù)列{ana

2、在數(shù)列{ana1，

(2n1)an1(2n1)an，求通方法六：待定系數(shù)法：（適用于已知an1panqp1an2pan1qan型【分析】若數(shù)列{anan1panqp1(an1t)p(anan1pan(p

(p1)tqt （1（2） p1 q)p(a q

q,(p p p1、已知數(shù){an}的遞推關(guān)系為an12an1，且a11求通項an2、在數(shù)列{ana11,an3an12,(n2)，求數(shù)列的通項三、難題a1,1、已知數(shù)列{an}中

23

13n，求2、設(shè)數(shù)列{an}nSn,a11,Sn14an設(shè)bnan12an，證明數(shù)列{bn}求數(shù)列{an}的通項第六講數(shù)列終極突破——數(shù)列求和方法主講教師—、復(fù)習(xí)引入等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(n ：Sn(a1an)=na+n(n1) 1 :ana1qn1(a,q均不為0)或aamqnm(a，q等比數(shù)列的前n項和

Sa(1qn

(q 1

(q二、數(shù)列求和方法總結(jié)方法一：法：適用于等差等比數(shù)【分析】即使用以下等差數(shù)列求 ： n(a1an)=na+n(n1)

(q等比數(shù)列的前n項 Sa(1qn 1

(q例１．已知log3xlog2

xx2x3xnnS{nn例２．設(shè)S＝1+2+3+?+n，n∈N*,求數(shù)列 的前ｎ項n方法二：倒序相加法：適用于對某些前后具有對稱性的數(shù)列【分析】 Sa【分析】 Snanan1

2Snn(a1an1.12

22

32

102

f(x)

4x2

f(1)f(2)f 3)... 2011f( f( 方法三.錯位相減法：適用于差比數(shù)列求和【分析】 Sa【分析】 qSna2a3an

(1q)Sna11.求Sn13x5x27x3(2n2.24,6,2n,n2 方法四：裂項相消法：【分析】這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.

f(n1)f （2）

1 （3）

1[

n(n

n n(n1)(n 2n(n (n1)(n 1.求和：112123122.

an4n2

1{ann方法五：分組求和法：【分析】有一類數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.1.1214161前n項的和 三、牛刀小試已知數(shù)列{a}nSSn2．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，且b1b8 求數(shù)列{an}，{bn}的通項n若數(shù)列{cn}滿足cnab，求數(shù)列{cn}的前n項和Tnn已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a110，且a2a4a5成等比數(shù)列求數(shù)列an的通 若a>0,求數(shù)列aan12的前n項 第七講高考難點突破——均值不等式主講教師一、不等式的性質(zhì)：a232aa2a5a22a1,3a22a不等式的性質(zhì)：1ab，則ba；若ba，則ab．即abba2ab，且bcac．3abacbc．3推論：若ab,且cd,則acbd4ab且c0acbc；如果ab且c0，那么acbc1ab0且cd0acbd推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。論果ab0，么anbn (n且n1)．定理5：如果ab0，那 (nN且n1)2、典例精析：若ab,則ac2bc2若ac2bc2則ab若ab0,則a2abb2若ab0,11若ab0,則ba若ab0,則ab a若cab0,ac

cb

，則a0,b0 其中正確題二、幾個重要不等式：1定理⑴若aRa0,a20a,bRa2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立）—a （當(dāng)且僅當(dāng) a2a22 推廣（1若a,b1

ab2

（2）若ab0m0bb a

2、典例精析：yx （x0)的值域

yx x （x2）的最小值

yx2 x2 （xR）的最小值1例4.已知a,bR，且ab1，求 b的最小

1已知a,bR，且ab1，求 b的最小 2

ab2

2b若x,yR,且2xy1，則的最小值 例5.若實數(shù)滿足ab2，則3a3b的最小值 1 1例6.若x,y是正數(shù)，則x y 的最小值是 7 2

2y 2x9 23例7.設(shè)0x ，求函數(shù)y4x(32x)的最大值32例8.若正數(shù)a,b滿足abab3，則ab的取值范圍 3、練習(xí)題： x2A、yx 的最小值是 B、y 的最小值是x3Cy23x4(x0)23x

x2Dy23x4(x0)的最小值是x323x2y12x4y ababab3ab b(a

三、高考題大練兵若a0,b0,ab2，則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立 ①ab ②a ③a2b22④a3b33 ⑤11 9D. a＞b＞0a21

aa 若正實數(shù) 滿足2X+Y+6=XY，則XY的最小值 已知x,yR，且滿足xy1，則xy的最大值 3是3a與3b的等比中項，則 a0,b0. 1 C 4 a0,b0 B．

2ab的最小值是 2 2第八講高考重點突破——不等式解法主講教師各種不等式的解法大總結(jié)一次不等式y(tǒng)=ax+b(a≠0)一元一次方程ax+b=0的解{x|x=ba{x|x=ba一元一次不等式ax+b＞0的解b{x|x＞ ab{x|x＜ a一元一次不等式ax+b＜0的解b{x|x＜ ab{x|x＞ a1.解不等式3x122.xa(x122x（aR二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集分這三種情況進行討論Δ=b2-ΔΔΔax2+bx+c=0的根 b 1 x=x= ax2+bx+c＞0的解{x|x＜x1或{x|x≠bRax2+bx+c＜0的解對于二次項系數(shù)是負數(shù)（ a＜0）的不等式，可以先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再求1.2x2-5x-3.x2+2x-4.4(2x22x1)x(4不等式ax2bx2的解集是x|1x1，求ab的值例5. 6.xax2(a1)x10（aR高次不等式f(xnf(x0（f(x0）可用“穿根法”求解，口訣：自右向左，自上而下，奇穿偶回。注意：各一次項中x的系數(shù)必為正。分式不等式當(dāng)分式不等式化為f(x)0(或0)時，再進行等價變f①

0f(x)g(x)f f(x)g(x) 0 1 g(x)1x

f(x)0f(x)0或f(xg(x) x26x

x

1

x

；

124x

0絕對值不等式①含一個絕對值號的題型：關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有三種方法：一是a(a根據(jù)絕對值的意義aa(a0)xaaxa,x.axa或xa；推廣 f(x)a（a0af(xa；f(x)a（a0）f(xa或f(xa．（ag(x)可仿上處理．三是根據(jù)絕對值的幾何意義（幾何法，數(shù)形結(jié)合）②含兩個絕對值號的題型：一、代數(shù)方法零點分段法；或兩邊平方；二、幾何方法：絕對值的幾何意義.1.解不等式|3x2|2x24x

x32xx23x指數(shù)不等式利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可解.yax,xa0a圖象單(,(,)2.2x23 x22

a0,a對數(shù)不等式由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解，千萬注意定義域.（真數(shù)大于零ylogaa0ay１oy 單在(0,在(0,1.解不等式log1(x2)22

log(x23x)log

3x) 三角不等式借助三角函數(shù)圖象而求（數(shù)形結(jié)合sinx cosxcosx2 無理不等式解法一：無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，ff g(x)可轉(zhuǎn)化 g(x) fff(x)f(x) g(x)等價于：g(x)0

g(x)f(x)

f(x)f g(x)型的不等式求解，注意 g(x)g(x)ff(x) 綜合不等式1.（江蘇）不等式

(x16)3 x2. f2 fx2x 二、高考題大練兵x2xx

（A）xx＜2,或

（B）xx＜2，或xxxx x 的解集 02 B. x x2

x

0的解集 2解析：考查分式不等式的解法x|4x

x

0等價于（x-2）(x+4)<0,4<x<2解集設(shè)M{x|x4},N{x|x24}， C．MCR D．NCRU已知集合UR,A{x|x25x60},那么CA U(x|x2或x3)B.{x|2x3}C．{x|x2或x D．{x|2xA{xZx5}B{xx20}，則AIB（A） （B）[2, （C）{2,3, 第九講 11．在等差數(shù)列{a}中，若a, 是方程x212x80的兩個根，那么 1 △ABC

cos cos

，則△ABC一定 等腰三角 1若1

10，則下列不等式中，正確的不等式 b b①ab ②a ③a ④a B.2 C.3 D.4 D．已知△ABC中 ，∠A＝30°，則∠B等 1 D．4xx2 x2二次不等式ax2bxc0的解集是全體實數(shù)的條件 aA.

aB.

aC.

aD. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，滿足不等式x2-y2≥0的點(x,y)的集合(用陰影表示) 0y0x9表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點個數(shù) A．55 B．1024 C．1023 D．1033一給定函數(shù)yfx)的圖象在下列圖中，并且對任意