圖像分析與正交變換

第

2

章圖像分析與正交變換2.1二維傅里葉變換

2.1.1二維線性位移不變系統(tǒng)

2.1.2空間頻率響應(yīng)及其物理意義

2.1.3二維傅里葉變換2.2圖像信號的分析

2.2.1圖像的掃描與抽樣

2.2.2二維抽樣定理第

2

章圖像分析與正交變換（續(xù)）2.2.3圖像的量化2.3正交變換

2.3.1二維離散線性變換

2.3.2二維離散傅里葉變換

2.3.3二維離散余弦變換

2.3.4正交變換的性質(zhì)2.4圖像的統(tǒng)計特性

2.4.1圖像的空間域統(tǒng)計特性第

2章圖像分析與正交變換2.4.2圖像的頻率域統(tǒng)計特性

2.4.3圖像差值信號的統(tǒng)計特性

2.1二維傅里葉變換2.1.1二維線性位移不變系統(tǒng)如果對二維函數(shù)所作的運(yùn)算L[?]滿足：

式中，若a為任意常數(shù)，則稱此運(yùn)算為二維線性運(yùn)算，由它所描述的系統(tǒng)為二維線性系統(tǒng)。二維單位脈沖函數(shù)可定義為：且滿足式中，ε為任意小的正數(shù)。

由二維單位脈沖函數(shù)定義易于得到物理意義：單位沖擊函數(shù)是一個高度抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)，但它又是與現(xiàn)實(shí)世界緊密聯(lián)系的。通常，我們可以用單位沖擊函數(shù)去近似一個點(diǎn)光源，而實(shí)際的圖像又可以看作由無數(shù)的強(qiáng)度不等的點(diǎn)光源組成。因此，單位沖擊函數(shù)是研究圖像系統(tǒng)的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。當(dāng)輸入的單位脈沖函數(shù)延遲了α、β單位后，若有成立，則稱此系統(tǒng)為二維線性位移不變系統(tǒng)。2.1.2空間頻率響應(yīng)及其物理意義設(shè)輸入信號是復(fù)正弦：

若記則系統(tǒng)輸出為

上式表明，輸出信號與輸入信號是相同頻率的復(fù)正弦信號，而它的幅度和相位則受復(fù)增益的影響而變化。2.1.3二維傅里葉變換

由于推廣到一般的二維函數(shù)，可得二維傅立葉變換的定義如下：設(shè)是兩個獨(dú)立變量x，y的函數(shù)，且則定義積分為f(x,y)的傅里葉變換，并定義與為F(u,v)的反變換，通常用雙箭頭表示這對傅里葉變換的關(guān)系，即與一維的傅里葉變換相比，下面我們對二維傅里葉變換進(jìn)行一些討論：1.關(guān)于變換前后的坐標(biāo)在一維的傅里葉變換中，變換前的函數(shù)往往是時間的函數(shù)，變換后的函數(shù)則是角頻率（單位：rad/s）或頻率（單位：Hz）的函數(shù)。

圖像的二維傅里葉變換中，變換前的圖像是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即具有長度單位，變換后的函數(shù)是空間頻率的函數(shù)。空間頻率，指的是函數(shù)在空間上變化的周期的倒數(shù)，因此，它的單位是長度單位的倒數(shù)。2.關(guān)于空間頻率的物理意義3.變換的意義將分布在空間域中的圖像變換到頻率域中，得到的是其頻譜，即圖像中所含的頻率分量的分布情況。從反變換式可見，各分量的存在與否及其幅度和相位由相應(yīng)的變換系數(shù)決定。二維傅里葉變換對于分析圖像信號的作用，就像一維傅里葉變換對于分析一維時間信號的作用一樣，是一種不可替代的強(qiáng)有力的工具。它使我們能夠從頻域這樣一個完全不同的角度去分析和研究圖像，并建立起一整套相應(yīng)的理論體系。4.線性移不變系統(tǒng)的頻率特性卷積定理如果給定則有成立。

2.2圖像信號的分析圖像的原始形式通常是連續(xù)的，不但在空間上是連續(xù)的，而且在亮度上也是連續(xù)的。為了得到其數(shù)字形式，需要在空間和亮度上使其離散化，這個過程叫做抽樣和量化。2.2.1圖像的掃描與抽樣圖2-2掃描與抽樣2.2.2二維抽樣定理

對于二維帶限信號，如果其二維傅里葉變換只在和的范圍內(nèi)不為零，那么當(dāng)取樣間隔時，該信號就能準(zhǔn)確地從其均勻矩形抽樣中恢復(fù)出來。圖2-4均勻矩形抽樣圖2-5混疊失真2.2.3圖像的量化最簡單的量化方式是將像素的連續(xù)亮度值等間隔地分層量化，稱為均勻量化；而將不等間隔的量化方式稱為非均勻量化。對于均勻量化，量化分層越多，量化誤差就越小，編碼所用碼字的比特數(shù)也越多。非均勻量化通常有兩種方式，第一種方式是客觀計算法。第二種方式是主觀量化法。

1.最佳量化使量化誤差為最小的方法稱為最佳量化方法。最佳量化的設(shè)計方法通常有兩種：一種是客觀計算方法，即以量化誤差的均方值最小為原則，在量化等級數(shù)給定的情況下，根據(jù)圖像像素灰度分布概率密度函數(shù)，確定量化層灰度。另一種是主觀準(zhǔn)則設(shè)計方法，即根據(jù)人眼的視覺特性設(shè)計量化器。連續(xù)輸入和量化輸出之間的量化均方誤差為圖2-6量化的分層示意圖（2）主觀準(zhǔn)則量化器通過人眼視覺特性試驗(yàn)，可以得出量化誤差可見度閾值（即察覺不出的最大量化誤差的絕對值）與預(yù)測誤差的關(guān)系，在亮度較平坦的圖像區(qū)域，即便是較小的量化誤差也很容易被發(fā)現(xiàn)。而在圖像邊緣相鄰兩側(cè)的亮度值相差較大時，即便有較大的量化誤差，人眼也不敏感，即人眼具有掩蓋效應(yīng)。而由于最終判定圖像失真量的是人的視覺。那么，在保證圖像的失真盡量小的條件下，就可以利用人眼視覺掩蓋效應(yīng)來設(shè)計量化器。在灰度級變化比較平坦的區(qū)域，量化間隔設(shè)計小一些；在細(xì)節(jié)豐富的區(qū)域或邊界處，量化間隔大一些，以減少量化分層總數(shù)。這就是主觀準(zhǔn)則量化器設(shè)計的基本思想。圖2-7可見度閾值曲線2.3正交變換2.3.1二維離散線性變換

1.變換式與變換核

在大部分已有的變換中，變換核都可表示為

這時的變換稱為變換核可分離的，并可進(jìn)一步寫成這表明，一個變換核可分離的二維離散線性變換，可通過分別對于兩個變量的一維離散線性變換來實(shí)現(xiàn)，對于正反變換都是如此。2.變換的矩陣形式將數(shù)字圖像或圖像塊及其變換表示成矩陣形式，有f(x,y)F(u,v)

同樣，變換核的矩陣形式，即變換矩陣為

在線性變換中，如果矩陣有逆，則稱這個變換是可逆的，其逆變換為，傅立葉變換就是可逆變換。實(shí)酉矩陣稱為正交矩陣，而相應(yīng)的變換稱為正交變換2.3.2二維離散傅里葉變換

1.二維離散傅里葉變換的定義式中的指數(shù)項(xiàng)分別稱為正變換核和反變換核，分別為課件制作人：婁莉圖2-11分別給出一幅灰度圖像和它的傅立葉頻譜。

>>X=imread('D:\ProgramFiles\MATLAB\R2008a\work\images\star.png');>>X=double(X);>>X_fft=fftn(X);>>X_fft_shift=fftshift(X_fft);>>imshow(uint8(X_fft_shift));2.二維離散傅里葉變換的性質(zhì)

（1）基圖像DFT

的基圖像(N=8PhaseImage)（2）變換的可分離性當(dāng)M=N時，正反變換核可以分解成只含ux和vy的兩個指數(shù)函數(shù)的乘積，于是其相應(yīng)的二維DFT可以分離成兩次一維DFT之乘積圖2-12二維DFT的分離過程

（3）線性由于二維DFT和反變換對于加法是可以分配的，且都是線性變換，因此有（4）可分離性乘積對于二維DFT有（5）縮放性對于兩個標(biāo)量a和b有說明了函數(shù)在空間比例尺度上的展寬相應(yīng)于在頻域比例尺度上的壓縮，且其幅值也減少為原來的1/|ab|。如圖2-13所示。

圖2-13傅里葉變換的縮放性（6）位移性DFT的位移性在空間域和頻率域的性質(zhì)如下：對空間平移有對頻率平移有上兩式表明，在空域上的圖像原點(diǎn)平移到時，其對應(yīng)的頻譜要乘上一個指數(shù)項(xiàng)而頻域上的原點(diǎn)平移到（u0，v0）時，其對應(yīng)的f(x,y)要乘上一個指數(shù)項(xiàng)。位移性說明，當(dāng)在空域上平移時，在頻域上只產(chǎn)生相移，而傅里葉變換的幅值不變。反之，當(dāng)頻域上平移時，相應(yīng)的在空域上也只產(chǎn)生相移而幅值不變。圖2-14頻譜的平移（7）周期性設(shè)m，n為整數(shù)，m，n=0,±1,±2…,將u=u+mM和v=v+nN代入（2-60），得（8）共軛對稱性共軛對稱性可以由其定義直接進(jìn)行證明而得共軛對稱性說明二維DFT所得頻譜的幅值是以原點(diǎn)為中心對稱的。利用此性質(zhì)，在求一個周期內(nèi)的頻譜函數(shù)值時，只要求出半個周期，另外半個周期也就知道了，這樣就大大地減少了計算量。（9）平均值二維離散函數(shù)平均值定義為將u=v=0代入式（2-60）可得因此，當(dāng)要求二維離散信號的平均值時，只需要算出相應(yīng)的傅里葉頻譜F(u,v)在原點(diǎn)的值即可。（10）旋轉(zhuǎn)不變性若引入極坐標(biāo)，將直角坐標(biāo)改寫極坐標(biāo)形式，即得到則f(x,y)和F（u,v）分別表示為f(r,θ)和F(ω,φ)。圖2-15旋轉(zhuǎn)不變性X=zeros(1000,1000);X(350:649,475:524)=1;subplot(221);imshow(X,'notruesize');xlabel(‘(a)原始圖像');subplot(222);X_fft=fftshift(abs(fft2(X)));imshow(X_fft,[-1,5],'notruesize');xlabel(‘(b傅立葉變換頻譜');（11）卷積定理對于二維離散傅立葉變換，仍然存在類似的空間域卷積定理和頻率域卷積定理。離散卷積定義為與連續(xù)二維傅立葉變換的卷積定理類似，可以證明二維離散傅立葉變換的空間域卷積定理的成立以及頻率域卷積定理的成立（13）乘積定理乘積定理用下式來表示：當(dāng)時，有該式也稱作Parseval定理或Rayleigh定理，它說明函數(shù)在空間域的能量和它在頻率域上的能量相等。Transform(Example)A=zeros(128);A(33:33+63,33:33+63)=255*ones(64);%A=imread('lena.bmp','bmp');m=fft2(A);m=fftshift(m);subplot(2,2,1);imshow(A);title('OriginalImage');subplot(2,2,3)mm=log(1+abs(m));mm=mm/max(max(mm))*255;imshow(uint8(mm));title('Modulus');Transform(Example)（cont.）subplot(2,2,4)ma=angle(m);ma=(ma-min(min(ma)))/(max(max(ma))-min(min(ma)))*255;imshow(uint8(ma));title('Phase');[i,j]=find(abs(m)==max(max(abs(m))));m(i,j)=m(i,j)*2;s=ifft2(m);subplot(2,2,2)imshow(uint8(abs(s)));title('ReconstructionImage');Transform(Example)2.3.3二維離散余弦變換1.一維DCT下面通過DCT與DFT的關(guān)系推導(dǎo)出DCT的定義圖2-17偶函數(shù)延拓于是對g(x)求2M點(diǎn)的一維DFT，有由于g(x)為偶對稱序列，并以式（2-109）代入，可運(yùn)用歐拉公式，得到我們定義f(x)的一維DCT為同理，其反變換為2.二維DCT從一維DCT的定義可以推廣到二維DCT式中u=0,1,…M-1,v=0,1,…N-1,x=0,1,…M-1,y=0,1…,N-1圖2-18給出一個離散余弦變換的示例，圖（a）是一幅原始圖像，圖（b）是對圖（a）的離散余弦變換結(jié)果（變換幅值或系數(shù)的分布），左上角對應(yīng)低頻分量，圖（a）中的大部分能量在低頻部分。圖2-18離散余弦變換示例

（a）原始圖像

(b)離散余弦變換結(jié)果3.快速算法分析二維DCT和DFT均存在快速算法，若直接用DFT的定義計算共需復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為用FFT算法計算時，一次一維FFT是計算N列，每列N點(diǎn)，所需的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為對于一維N點(diǎn)DCT變換，所需運(yùn)算次數(shù)為次實(shí)數(shù)加法以及次實(shí)數(shù)乘法。2.3.4正交變換的性質(zhì)總結(jié)DFT和DCT，其共同具有的性質(zhì)如下：（1）能量守恒性。（2）能量集中性。（3）去相關(guān)性。（4）熵保持性。2.4圖像的統(tǒng)計特性2.4.1圖像的空間域統(tǒng)計特性按照隨機(jī)過程理論，圖像可以看作是一個隨機(jī)場，也具有相應(yīng)的隨機(jī)特性.在空間域中，數(shù)字圖像表現(xiàn)為空間上分布的點(diǎn)陣，其統(tǒng)計特性主要用體現(xiàn)像素取值的概率分布函數(shù)和標(biāo)志像素間關(guān)系的相關(guān)函數(shù)或條件概率來表示。按照隨機(jī)過程理論，圖像可以看作是一個隨機(jī)場，也具有相應(yīng)的隨機(jī)特性。在空間域中，數(shù)字圖像表現(xiàn)為空間上分布的點(diǎn)陣，其統(tǒng)計特性主要用體現(xiàn)像素取值的概率分布函數(shù)和標(biāo)志像素間關(guān)系的相關(guān)函數(shù)或條件概率來表示。圖2-19灰度圖像的直方圖僅用直方圖不能完整地描述一幅圖像，因?yàn)橐环鶊D像對應(yīng)一個直方圖，但一個直方圖不一定對應(yīng)一幅圖像，幾幅圖像只要灰度分配密度相同，它們的直方圖是相同的。圖2-20幾個具有相同直方圖的圖像實(shí)例盡管直方圖不能表示出某灰度級的像素在什么位置，更不能直接反映出圖像內(nèi)容，但是具有統(tǒng)計特性的直方圖卻能描述該圖像的灰度分布特性，并能夠得到一些反映圖像特點(diǎn)的有用特征，作為圖像處理方法的重要依據(jù)。2.4.2圖像的頻率域統(tǒng)計特性在頻率域上，圖像表現(xiàn)為不同頻率分量系數(shù)的分布。按照空間域和頻率域的對應(yīng)關(guān)系，空間域中的強(qiáng)相關(guān)性，即圖像存在大量的