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文檔簡介
江西省蓮塘一中、臨川二中2023屆高三第二學(xué)期期末統(tǒng)測試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為()A.-10 B.-9 C.-7 D.12.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.323.總體由編號01,,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.014.,則與位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交5.已知等差數(shù)列的公差為,前項和為,,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,若對任意的恒成立,則實數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.36.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.7.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.38.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.9.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.710.函數(shù)的定義域為,集合,則()A. B. C. D.11.已知正四面體外接球的體積為,則這個四面體的表面積為()A. B. C. D.12.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.14.已知函數(shù)則______.15.(5分)有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列,已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列,后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列,且前三個和尚的身高之和為cm,中間兩個和尚的身高之和為cm,則最高的和尚的身高是____________cm.16.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是______cm2,體積是_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式﹔(2)設(shè),求證:.18.(12分)為了加強環(huán)保知識的宣傳,某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機抽取人,將他們的得分按照、、、、分組,繪成頻率分布直方圖如圖:(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手,以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點到直線距離的最小值和最大值.20.(12分)已知數(shù)列滿足(),數(shù)列的前項和,(),且,.(1)求數(shù)列的通項公式:(2)求數(shù)列的通項公式.(3)設(shè),記是數(shù)列的前項和,求正整數(shù),使得對于任意的均有.21.(12分)中的內(nèi)角,,的對邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點為邊上一點,且,求的面積.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點,若的面積是面積的2倍,求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式,先求得的值,然后結(jié)合的奇偶性,求得的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,.故選:B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值,考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運算能力,分析問題、解決問題的能力.2、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.3、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為:08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.考點:此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法,考查學(xué)習(xí)能力和運用能力.4、D【解析】結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.選D.5、C【解析】
若對任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時,取得最大值,所以.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.7、B【解析】
由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.8、C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關(guān)系,再由三點共線,又得到一個關(guān)于的關(guān)系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識,結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系,屬于中檔題.9、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點睛】本題考查了交集及其運算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.11、B【解析】
設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個正方體內(nèi),使得每條棱恰好為正方體的面對角線,根據(jù)正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長,從而得出正四面體的棱長,最后可求出正四面體的表面積.【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi),設(shè)正方體的棱長為a,如圖所示,設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則,得.因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球,則有,∴.而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長,所以,正四面體ABCD的棱長為,因此,這個正四面體的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體,解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來,考查計算能力,屬于中檔題.12、B【解析】
分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
配方求出頂點,作出圖像,求出對應(yīng)的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求解.【詳解】,頂點為因為函數(shù)的值域是,令,可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:【點睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì),分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號入座”,屬于容易題.15、【解析】
依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為,第四個(最高)和尚的身高為,則,解得,又,解得,又因為成等比數(shù)列,則公比,故.16、20+45,8【解析】試題分析:由題意得,該幾何體為三棱柱,故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8,故填:20+4考點:1.三視圖;2.空間幾何體的表面積與體積.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析,;(2)證明見解析【解析】
(1)由,作差得到,進一步得到,再作差即可得到,從而使問題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②②—①,得,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,又,∴,,公差,所以.(II).【點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項以及裂項相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計算能力,是一道容易題.18、(1)所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)將分別乘以區(qū)間、對應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果;(2)由題可知,隨機變量的可能取值為、、,利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率,可得出隨機變量的分布列,并由此計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)由題意知,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有(人),得分落在組的人數(shù)有(人).因此,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人,得分落在組的人數(shù)有人;(2)由題意可知,隨機變量的所有可能取值為、、,,,,所以,隨機變量的分布列為:所以,隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù),同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)最大值;最小值.【解析】
(1)結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式可得;(2)利用參數(shù)方程,求解點到直線的距離公式,結(jié)合三角函數(shù)知識求解最值.【詳解】解:(1)因為,代入,可得直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)曲線上的點到直線的距離,其中,.故曲線上的點到直線距離的最大值,曲線上的點到直線的距離的最小值.【點睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及最值問題,橢圓上的點到直線的距離的最值求解優(yōu)先考慮參數(shù)方法,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20、(1)().(2),.(3)【解析】
(1)依題意先求出,然后根據(jù),求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;(2)由遞推公式,得,結(jié)合數(shù)列性質(zhì)可得數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系,從而可求出結(jié)果;(3)通過(1)、(2)可得,所以,,,,.記,利用函數(shù)單調(diào)性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解:(1)因為數(shù)列滿足()①;②當(dāng)時,.檢驗當(dāng)時,成立.所以,數(shù)列的通項公式為().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因為,所以,上式同除以,得,,即,所以,數(shù)列時首項為1,公差為1的等差數(shù)列,故,.(3)因為.所以,,,,.記,當(dāng)時,.所以,當(dāng)時,數(shù)列為單調(diào)遞減,當(dāng)時,.從而,當(dāng)時,.因此,.所以,對任意的,.綜上,.【點睛】本題考在數(shù)列通項公式的求法、等差數(shù)列的定義及通項公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想.21、(1)(2)10【解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡得,,解得或(負(fù)值舍去),,,,,,的面積.【點睛】本題考查了
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