湖南省邵陽市邵東縣第四中學2023屆高考模擬卷（一）數(shù)學試題試卷

湖南省邵陽市邵東縣第四中學2023屆高考模擬卷（一）數(shù)學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則（）A．12 B．11 C．6 D．32．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．3．為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種4．若，則()A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．6．在中，在邊上滿足，為的中點，則（）.A． B． C． D．7．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．8．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．9．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是()A．至少有一個樣本點落在回歸直線上B．若所有樣本點都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)10．達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于（）A． B． C． D．11．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．12．已知實數(shù)、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式組所表示的平面區(qū)域為，則區(qū)域的外接圓的面積為______．14．已知函數(shù)有兩個極值點、，則的取值范圍為_________.15．等邊的邊長為2，則在方向上的投影為________．16．設(shè)為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數(shù)解、、（），求證：.19．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進行預(yù)測．從實際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關(guān)性檢驗的臨界值表：（2）某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．20．（12分）在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列及的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）設(shè)函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個或三個（時有三個，時有兩個），所以關(guān)于的方程只能有一個根（若有兩個根，則關(guān)于的方程有四個或五個根），由，可得的值分別為，則故選B．【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于?？碱}型.2、B【解析】

因為將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，又和的圖象都關(guān)于對稱，由，得，，即，又，.故選：B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.4、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．5、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.6、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因為，所以，故.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)復數(shù)乘除運算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題題.8、B【解析】

設(shè)拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題.9、D【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤；所有樣本點都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯誤；若所有的樣本點都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯誤；相關(guān)系數(shù)r與符號相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】

由已知，設(shè)．可得．于是可得，進而得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為．則，．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11、D【解析】

先計算，然后將進行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎(chǔ)題。12、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：當目標函數(shù)經(jīng)過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先作可行域，根據(jù)解三角形得外接圓半徑，最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.14、【解析】

確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達定理，即可求的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域為，，依題意，方程有兩個不等的正根、（其中），則，由韋達定理得，，所以，令，則，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)極值點問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將的取值范圍轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)的值域問題是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】

建立直角坐標系，結(jié)合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：，，，則：，，且，，據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值．【詳解】解：設(shè)點，，其中，，由，，，可設(shè)，導數(shù)為，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因為在銳角中，，所以（2）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點睛】此類問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識，同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能，屬于中檔題.18、（1）①當時，在單調(diào)遞增,②當時，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】

（1）先求解導函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【詳解】（1），①當時，恒成立，則在單調(diào)遞增②當時，令得，解得，又，∴∴當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴若方程有三個實數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞減，∴，即設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調(diào)遞增，∴要證，即證設(shè)，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，∴，即（注意：若沒有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）且時，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【點睛】本題考查函數(shù)與倒導數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達到證明不等式的目的.19、（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質(zhì)書的概率為,購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書，由此能求出購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1，線性相關(guān)性越強，因為根據(jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，我們沒有理由認為與具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)因為在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質(zhì)書的概率為，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書.概率為：.【點睛】本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應(yīng)用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.20、（1