《力學(xué)基礎(chǔ)》第三章 剪切和扭轉(zhuǎn)

第三章剪切和扭轉(zhuǎn)3.1剪切的概念3.2剪切和擠壓的實用計算3.3扭轉(zhuǎn)的概念3.4外力偶矩扭矩和扭矩面3.5薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3.6圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力及變形3.7圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度和剛度計算3.8圓柱形密圈螺旋彈簧3.9圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)破壞分析3.10矩形截面桿扭轉(zhuǎn)簡介螺栓連接鉚釘連接銷軸連接平鍵連接榫連接焊接連接3.1剪切PPPPmnPQmn0ppP單剪雙剪3.2剪切和擠壓的實用計算

一、剪切的實用計算方法

PQt剪應(yīng)力τ在剪切面上均勻分布，于是剪應(yīng)力的計算式為式中，Ａ為剪切面面積。由公式算出的剪應(yīng)力是以假設(shè)為基礎(chǔ)的，并不是真實應(yīng)力，通常稱為名義剪應(yīng)力。當(dāng)剪切面上的剪應(yīng)力達(dá)到一定值后，剪切構(gòu)件會因剪切而破壞。許用剪應(yīng)力，即（３-２）這就是剪切強度條件。若材料的極限剪應(yīng)力，n為安全系數(shù)則材料的許用剪應(yīng)力，即

實驗結(jié)果表明，材料的剪切強度極限與拉壓強度極限有近似比例關(guān)系：塑性材料：脆性材料：根據(jù)這個關(guān)系，工程上常根據(jù)拉伸許用應(yīng)力的值估算剪切許用應(yīng)力的值。例：銷釘聯(lián)接結(jié)構(gòu)如圖所示，已知載荷P=15kN，板厚t=8mm,銷釘?shù)闹睆絛=20mm,銷釘許用剪應(yīng)力試校核銷釘?shù)募羟袕姸取?/p>

0ppd1.5tttpmmnnQQmmnn

二、擠壓的實用計算擠壓力：作用在接觸面上的壓力擠壓變形：在接觸面處產(chǎn)生的變形擠壓面：擠壓發(fā)生在聯(lián)結(jié)件與被聯(lián)結(jié)件的接觸面擠壓應(yīng)力：擠壓面上的壓強pp式中，為有效擠壓面面積。按公式得到的擠壓應(yīng)力并不是真實應(yīng)力，所以稱為名義擠壓應(yīng)力。擠壓面

有效擠壓面面積的計算分兩種情況討論：（１）當(dāng)擠壓面為平面時，有效擠壓面面積為實際接觸面面積，即（２）當(dāng)擠壓面為圓柱面時，（如鉚釘桿和鉚釘孔）有效擠壓面面積是實際接觸面的直徑投影面，即這樣，按公式算出的擠壓應(yīng)力和實際產(chǎn)生的最大擠應(yīng)力很相近。lhh2

為了防止擠壓破壞，應(yīng)該使最大的擠壓應(yīng)力不超過材料的許用擠壓應(yīng)力，即（3-4）這就是擠壓強度條件。許用擠壓應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之間有如下關(guān)系：塑性材料：脆性材料：如果兩個接觸構(gòu)件的材料不同，應(yīng)對連接中擠壓強度較弱的構(gòu)件進(jìn)行計算。三、連接件的強度計算

工程上常用的連接件受力后發(fā)生破壞有三種可能情況：一是沿剪切面被剪斷；二是擠壓面受擠壓發(fā)生顯著的塑性變形，使連接桿件松動；三是連接板因鉆孔后截面受到削弱，可能被拉斷。

為充分利用材料，切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力應(yīng)滿足例2

鉚釘聯(lián)接結(jié)構(gòu)如圖a所示，已知載荷，鉚釘直徑，鋼板的許用拉應(yīng)力，鉚釘?shù)脑S用剪應(yīng)力，鋼板及鉚釘?shù)脑S用擠壓應(yīng)力。試校核結(jié)構(gòu)的強度。Pd=16P=100KN(a)t=10t=10解：鉚釘聯(lián)接結(jié)構(gòu)的可能破壞形式有三種：鉚釘因剪切而破壞；鉚釘或鋼板因擠壓而破壞；鋼板因拉伸而破壞。（1）校核鉚釘?shù)募羟袕姸?。每個鉚釘受到的作用力為1p2p321123P4p4p4p4pPPb=90Pd=16P=100KNt=10t=10鉚釘剪切面上的剪力為鉚釘?shù)募魬?yīng)力為PP1p2p10PP123P3214p4p4p4pb=90Pd=16P=100KNt=10t=10（2）校核鉚釘?shù)臄D壓強度。鉚釘?shù)臄D壓力為擠壓應(yīng)力為2314p34PP1123P3214p4p4p4p+Pd=16P=100KNt=10t=10（3）校核鋼板的拉伸強度。截面法截面2-2：截面3-3：故整個結(jié)構(gòu)滿足強度要求。四、沖剪力的計算

工程中都要求這些構(gòu)件工作時的剪應(yīng)力達(dá)到材料的極限剪應(yīng)力，即

（3-5）

在桿件的兩端作用一對大小相等、方向相反，且作用平面垂直于桿件軸線的力偶，致使桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動。桿件的這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。有截面法可知，桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形時，橫截面上內(nèi)力分量只有位于面上的力偶矩，稱其為扭矩。3.3扭轉(zhuǎn)的概念一、外力偶矩的計算設(shè)軸傳遞的功率為，轉(zhuǎn)速為n(r/min)，傳遞的力矩為Me，于是有即（3-6）注意：式（3-6）中的單位為千瓦，n的單位為轉(zhuǎn)/分。當(dāng)功率為馬力（H.P，1馬力=735.5W）時，外力偶矩的計算公式為（3-7）

3.4外力偶矩扭矩和扭矩面

二、扭矩和扭矩圖從指定截面m-m處截開，取左半部分I由平衡條件得扭矩Mn是I、II兩部分在m-m截面上相互作用的分布內(nèi)力系的合力偶矩。取右半部分II可求出截面m-m上的扭矩，但其方向與按部分I求出的扭矩相反。eMeMmmIIIeMmmIImmIxeMnMnM扭矩的正負(fù)號規(guī)定如下：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，當(dāng)矢量方向與截面的外法線方向一致時，扭矩Mn為正；反之為負(fù)。根據(jù)這一規(guī)則，在圖中，無論就部分I還是部分II而言，m-m截面上的扭矩都是正的。根據(jù)扭矩的大小和正負(fù)，畫出沿軸線方向扭矩變化的圖形，稱之為扭矩圖。扭矩圖的畫法與軸力圖相似。

例3

在圖所示傳動軸上，主動輪A與原動機相聯(lián)，從動輪B、C、D與機床相聯(lián)。已知輪A輸入功率NA=50kW，輪B、C、D輸出功率分別為NB=NC=15kW，ND=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min。求各段軸內(nèi)的扭矩，并畫扭矩圖。(a)AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIIIC解（1）計算外力偶矩（2）計算扭矩BC段：沿I截面將軸截開，由平衡方程得BMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIIIAMBMCMDMAMBMCMDMBMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIII結(jié)果為負(fù)說明I截面上扭矩的實際方向與所設(shè)方向相反，即該截面的扭矩為負(fù)值。在BC段內(nèi)各截面上的扭矩不變，所以這一段內(nèi)的扭矩圖為一水平線（圖e）。CA段：故有AD段：AMBMCMDMBMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIII+-故有

（3）作扭矩圖從圖中可以看出，最大扭矩發(fā)生于CA段，其絕對值為

3.5薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)為了研究圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形，首先討論薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)，以了解剪應(yīng)力及剪應(yīng)變的規(guī)律和它們之間的關(guān)系。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圖為一等截面薄壁圓筒。在兩端施加外力偶矩后，可以看到以下變形現(xiàn)象：（1）各周向線的形狀、大小和間距均未改變，兩相鄰周向線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動；（2）各縱向線都傾斜了同一微小角度，但仍可以近似地看成直線；（3）試件表面原來的小矩形都變成了同樣大小的平行四邊形。tRjgmnmnabcddxnMjg1圓筒扭轉(zhuǎn)各橫截面上沒有正應(yīng)力，只有垂直于半徑的剪應(yīng)力,

剪應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布。

2橫截面上沿圓周方向各點的剪應(yīng)力相同。

3扭轉(zhuǎn)時橫截面上只有垂直于半徑且均勻分布的剪應(yīng)力，其方向與截面上扭矩Mn的轉(zhuǎn)向一致。由靜力學(xué)可知Mn為所以 （3-8）或 （3-8）

為橫截面上筒壁中線圍成的面積。RRdAdqg(e)設(shè)l為薄壁圓筒的長度，R為薄壁圓筒的外半徑，φ為薄壁圓筒兩端的相對扭轉(zhuǎn)角?？梢钥闯龌颍?-9）即剪應(yīng)變與扭轉(zhuǎn)角φ成正比。jgcabdgg二、純剪切狀態(tài)剪力力偶矩為平衡條件上、下兩個面上存在大小相等、方向相反的剪應(yīng)力。由平衡條件有即(3-10)在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。這個關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理。

yxzdxtt￠dyt

如圖所示單元體的上下左右四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，單元體的這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切狀態(tài)。yxzdxtt￠dyt三、剪切虎克定律

低碳鋼的τ-γ曲線如圖所示。剪切虎克定律

(3-11)比例系數(shù)G稱為剪切彈性模量，它反映材料抵抗剪切變形的能力。剪應(yīng)變γ沒有量綱，所以G有與τ相同的量綱。鋼材的G值約為80GPa。gttg0“拉壓虎克定律”、“剪切虎克定律”、“剪應(yīng)力互等定理”是材料力學(xué)的基本定律和基本定理。拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G、泊松比μ。可以證明，這三個彈性常數(shù)之間存在如下關(guān)系

(3-12)即三個彈性常數(shù)中只有兩個是獨立的。四、剪切變形能當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，扭轉(zhuǎn)角φ

與外力偶矩成正比。外力偶矩所做的功為

剪切變形能U

，

用u表示單位體積的剪切變形能，即剪切變形比能，則u應(yīng)等于剪切變形能U畜疫薄壁圓筒的體積V，即

再利用剪切虎克定律，可得 （3-13）力學(xué)家與材料力學(xué)史Charles-AugustindeCoulomb(1736-1806)圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力公式是由Coulomb于1784年首先建立的。Coulomb是法國物理學(xué)家、力學(xué)家。他在摩擦學(xué)、磁學(xué)、粘性流體等方面有重要貢獻(xiàn)。

3.6圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力及變形推導(dǎo)思路變形幾何關(guān)系

(

平截面假設(shè))切應(yīng)變與相對轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

(

Hooke

定律)切應(yīng)力與相對轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系

(切應(yīng)力對軸的合力矩即截面上的扭矩)相對轉(zhuǎn)角表達(dá)式及切應(yīng)力表達(dá)式一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系取出長為dx的微段ab發(fā)生的相對錯動圓軸表面原有矩形的直角改變量為橫截面上距圓心為ρ處的剪應(yīng)變?yōu)椋╝）jxeMeMmndxmn2.物理關(guān)系當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，即服從剪切虎克定律（b）將式（a）代入式（b）可以求得距軸線為ρ處的剪應(yīng)力 （c）上式表明：橫截面上任意點處的剪應(yīng)力與該點到圓心的距離ρ成正比。即剪應(yīng)力沿半徑按直線規(guī)律變化，在圓心處剪應(yīng)力為零，而在圓周邊緣上各點的剪應(yīng)力最大。注意到剪應(yīng)力互等定理，則實心圓軸縱截面和橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑的分布如下圖所示。rt3.靜力學(xué)關(guān)系

取一微面積dA，其上作用的微剪力：它對圓心的微力矩：橫截面上的扭矩：（d）代入：則：（e）

dArtdAnMrO

式中的積分是與圓截面尺寸有關(guān)的幾何量，稱為橫截面對圓心O點的極慣性矩，用表示，即(3-14)rtdAdAnMrO于是可以寫成(3-15)得（3-16）這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任意一點剪應(yīng)力的計算公式。

由式（3-16）可知，當(dāng)ρ=R時（即橫截面邊緣上各點），剪應(yīng)力取最大值，即（3-17）

引用記號

公式（3-16）可改寫為

（3-18）

Wn稱為抗扭截面模量。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形公式圓軸的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面繞軸線的相對扭轉(zhuǎn)角Φ來表示。由式（3-15）可得相距為dx的兩橫截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角對長為l的軸，兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為

（3-19）由同一種材料制成的等截面圓軸，其為常量，若相距為l的兩橫截面之間的扭矩也為常量，則該兩截面間的扭轉(zhuǎn)角為（3-20）

這是等截面圓軸扭轉(zhuǎn)變形的計算公式。

稱為截面的抗扭剛度。

轉(zhuǎn)角Φ的符號規(guī)定與扭矩的相同，其單位為弧度（rad）。若兩橫截面之間的扭矩或抗扭剛度為變量時，欲求兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角則應(yīng)按式（3-19）積分或分段計算出各段的扭轉(zhuǎn)角，再代數(shù)求和三、極慣性矩和抗扭截面模量的計算環(huán)形微面積：圓截面的極慣性矩為

（3-21）drRDmaxtmaxtmaxt抗扭截面模量為

（3-22）上述兩式中D為圓截面的直徑。的量綱為長度的四次方，的量綱為長度的三次方。rOdrRDmaxtmaxtmaxt對于空心圓軸，空心圓截面的抗扭截面模量為

上述兩式中，D和d分別為空心圓截面的外徑和內(nèi)徑，且。rOdrRDmaxtmaxtmaxt四、扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力、變形公式的應(yīng)用條件

上述應(yīng)力、變形公式是以剛性平面假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的，只適用于等直圓桿。當(dāng)圓形橫截面沿軸線變化緩慢時，也可近似的用以上公式，此時、等也在沿軸線變化。

在時，上述公式才成立。3.7圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度和剛度計算一、強度條件圓軸扭轉(zhuǎn) （3-23）等直圓軸（3-24）階梯軸 （3-25）二、剛度計算工程中常用單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角θ來表示扭轉(zhuǎn)變形的程度。（rad/m）（3-26a）

θ的單位為弧度/米（rad/m）。扭轉(zhuǎn)的剛度條件（rad/m）（3-26b）

由于工程上[θ]的單位用度/米（o/m）表示，故 （o/m）（3-27）例4條件同例3-4（如圖所示）。傳動軸剪切彈性模量G=80GPa，許用剪應(yīng)力，許用單位長度扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.3o/m。試按強度條件和剛度條件設(shè)計軸的直徑d。AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII解

（1）絕對值最大的扭矩在軸的CA段由強度條件（3-24）有則AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII由剛度條件（3-27）有所以AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII例5

材料相同的實心軸與空心軸通過牙嵌離合器聯(lián)結(jié)。傳遞外力偶矩設(shè)空心軸的內(nèi)外徑之比，許用剪應(yīng)力。試確定實心軸的直徑d1和空心軸外直徑D2，并比較兩軸的橫截面面積。2d1D1d解：由強度條件有對實心軸：于是對空心軸：則內(nèi)徑。實心軸與空心軸截面面積之比2d1D1d

實心軸與空心軸截面面積之比2d1D1d3.8圓柱形密圈螺旋彈簧一、簧絲橫截面上的應(yīng)力截面法求應(yīng)力，得（a）剪應(yīng)力與扭矩對應(yīng)的剪應(yīng)力得pQnM2D(b)pdaD(a)A1tdAd2t最大剪應(yīng)力發(fā)生在A點。

當(dāng)0時，可忽略剪切的影響，可看作只受扭轉(zhuǎn)作用對較粗的彈簧，要考慮剪切和曲率影響。通常用曲度系數(shù)k修正，即dAAd1t2t其中曲度系數(shù)而c=D/d?；山z的強度條件（3-31）dAAd1t2t二、彈簧的變形外力功為扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力單位體積的變形能pD(a)lddrMr(b)彈簧的變形能有W=U，于是所以

ddrMr(b)

可見，彈簧的變形λ與力P成正比，比例常數(shù)C稱為彈簧剛度，即