上海市徐匯區(qū)上海師大附中2023年高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

上海市徐匯區(qū)上海師大附中2023年高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在上有兩個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.3.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn),且,,則的值為()A. B. C. D.5.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.6.已知,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.9.已知集合則()A. B. C. D.10.世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.11.設(shè)集合則()A. B. C. D.12.己知,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,,,則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為______________.14.若的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是________.15.設(shè)常數(shù),如果的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為-80,那么______.16.在長方體中,,,,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個極值點(diǎn),且.(1)討論的單調(diào)性(2)求實(shí)數(shù)和a的值(3)證明18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點(diǎn)、分別為,的中點(diǎn),且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知集合,.(1)若,則;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在直線上,求的最小值.21.(12分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)為響應(yīng)“堅(jiān)定文化自信,建設(shè)文化強(qiáng)國”,提升全民文化修養(yǎng),引領(lǐng)學(xué)生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”,某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學(xué)校隨機(jī)抽取了120名學(xué)生做調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學(xué)和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學(xué)和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與性別有關(guān)系?男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學(xué)不喜歡閱讀中國古典文學(xué)總計(2)為做好文化建設(shè)引領(lǐng),實(shí)驗(yàn)組把該校作為試點(diǎn),和該校的學(xué)生進(jìn)行中國古典文學(xué)閱讀交流.實(shí)驗(yàn)人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學(xué).現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會,記為參加會議的人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學(xué)期望附表及公式:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.2、B【解析】

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時,取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時,取“=”號,∴的最小值為.

故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.3、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

可畫出圖形,根據(jù)條件可得,從而可解出,然后根據(jù),進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出.【詳解】如圖:點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn),由可得:,又因,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的定義及性質(zhì),向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.5、D【解析】

由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)?,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.6、D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點(diǎn)睛】考查集合的并集運(yùn)算,基礎(chǔ)題.7、B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.8、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.9、B【解析】

解對數(shù)不等式可得集合A,由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡單運(yùn)算,對數(shù)不等式解法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡單題.12、B【解析】

先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)?,,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式可得.【詳解】解:由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,在中,,,,如下圖所示,底面圓的半徑為,則所形成的幾何體的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意得出展開式中共有11項(xiàng),;再令求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】由的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以展開式中共有11項(xiàng),所以;令,可求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)和的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,解得故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)在區(qū)間單調(diào)遞增;(2);(3)證明見解析.【解析】

(1)求出,在定義域內(nèi),再次求導(dǎo),可得在區(qū)間上恒成立,從而可得結(jié)論;(2)由,可得,由可得,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果;(3)由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,可證明,取,可得,而,利用裂項(xiàng)相消法,結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?,令,則有,由,可得,可知當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:1-0+極小值,即,可得在區(qū)間單調(diào)遞增;(2)由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?,且,由已知得,即,①由可得,,②?lián)立①②,消去a,可得,③令,則,由(1)知,,故,在區(qū)間單調(diào)遞增,注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得,;(3)證明:由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,故當(dāng)時,,,可得在區(qū)間單調(diào)遞增,因此,當(dāng)時,,即,亦即,這時,故可得,取,可得,而,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明,屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個,一是比較簡單的不等式證明,不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值即可;二是較為綜合的不等式證明,要觀察不等式特點(diǎn),結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形,并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮,然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.18、(1)見解析(2)【解析】

(1)首先可得,再面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,再由,即可得到線面垂直;(2)過點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出線面角;【詳解】解:(1)∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,∵,∴,,,,∴,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求線面角,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)將代入可得集合B,解對數(shù)不等式可得集合A,由并集運(yùn)算即可得解.(2)由可知B為A的子集,即;當(dāng)符合題意,當(dāng)B不為空集時,由不等式關(guān)系即可求得的取值范圍.【詳解】(1)若,則,依題意,故;(2)因?yàn)?,故;若,即時,,符合題意;若,即時,,解得;綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算,由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,注意討論集合是否為空集的情況,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)公式計算得到答案(2)設(shè),,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意

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