孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件布洛赫電子在恒定磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)

3.9布洛赫電子在恒定磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容：二、

均勻磁場(chǎng)中自由電子的量子化理論三、德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)四、回旋共振方法一、恒定磁場(chǎng)中布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)1.恒定磁場(chǎng)中的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方程：一、恒定磁場(chǎng)中布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)所以，在空間中，波矢滿足：1).垂直于的方向2).(波矢的變化)垂直于的方向

說(shuō)明電子沿著等能面運(yùn)動(dòng)

因而,在k空間,電子總是沿著垂直于磁場(chǎng)的平面和等能面的交線運(yùn)動(dòng).說(shuō)明k沿磁場(chǎng)方向的分量和電子的能量是運(yùn)動(dòng)常量

自由電子的等能面是球面,與kz垂直的平面與等能面的交線就是一系列圓.(1)電子在空間的運(yùn)動(dòng)圖象在k空間，電子總是沿著垂直于磁場(chǎng)的平面和等能面的交線運(yùn)動(dòng)以自由電子為例加以討論：

kz保持不變,在

kx—ky面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),回轉(zhuǎn)的頻率

(2)電子在實(shí)空間的運(yùn)動(dòng)圖象電子在r

空間做螺旋運(yùn)動(dòng)，即在垂直磁場(chǎng)的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，回旋頻率為以上討論的是自由電子，對(duì)于布洛赫電子，由于晶格周期場(chǎng)的作用，閉合軌道并不一定是圓形，但形式上仍可寫成：相應(yīng)的周期為：設(shè)Δ(k)是垂直于磁場(chǎng)的軌道平面內(nèi)能量為ε和ε+Δε兩個(gè)等能面間法線距離。

如圖：由得：

與比較可知：它與只和電子態(tài)有關(guān)的電子的有效質(zhì)量不一定相同。對(duì)方程兩邊用叉乘，得：所以,電子在實(shí)空間的軌道可由在k空間的軌道繞磁場(chǎng)軸旋轉(zhuǎn)90度,并乘以因子得到.電子在實(shí)空間的軌道可由在k空間的軌道繞磁場(chǎng)軸旋轉(zhuǎn)90度,并乘以因子得到.二、均勻磁場(chǎng)中自由電子的量子化理論考慮邊長(zhǎng)為L(zhǎng)

的立方體,以它們的邊長(zhǎng)為x,y,z軸,外磁場(chǎng)平行于z軸且均勻.即：自由電子在外加磁場(chǎng)(沿z軸方向)的哈密頓算符為：：電子的運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)量，：電子的場(chǎng)動(dòng)量，：矢量勢(shì)1.朗道能級(jí)則由于且

中不含x，z,所以它和算符及是對(duì)易的。根據(jù)量子力學(xué)，可選的本征波函數(shù)同時(shí)為的本征波函數(shù)?？闪?/p>

這時(shí)波函數(shù)可以寫成：代入方程得到:與量子力學(xué)中諧振子方程比較可知，上式是一個(gè)中心在y0的諧振子波動(dòng)方程。諧振子能量回旋頻率電子的能量由量子力學(xué)知從準(zhǔn)連續(xù)的能量變成(n+1/2)c沿磁場(chǎng)B方向,電子保持自由運(yùn)動(dòng),相應(yīng)的動(dòng)能為

在與磁場(chǎng)垂直的kz＝常數(shù)的平面內(nèi),軌道是量子化的.這些量子化的能級(jí)稱為朗道能級(jí)。在垂直磁場(chǎng)的x-y平面上,電子的運(yùn)動(dòng)是量子化的電子的能量因此，電子的能量從準(zhǔn)連續(xù)的能譜變成一維的磁次能帶如圖,每個(gè)磁次能帶是一條拋物線,開(kāi)口向上.磁次能帶的能量極小值是：由于能量—波矢關(guān)系的改變,在k空間描寫狀態(tài)的代表點(diǎn)的分布也改變了.在沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí),狀態(tài)的代表點(diǎn)在平面是均勻分布的,每個(gè)代表點(diǎn)占據(jù)的面積為：在有外磁場(chǎng)B時(shí)，平面上的能量變?yōu)椋鹤兂闪酥C振子，其中心位置在,代表電子的平均位置,可以位于晶體中不同的地點(diǎn)。所以：這個(gè)數(shù)目代表由于線性諧振子中心位置的不同而產(chǎn)生的簡(jiǎn)并度。可知,當(dāng)n等于某整數(shù)時(shí),在平面內(nèi)是一個(gè)圓環(huán),稱為朗道環(huán).兩個(gè)相鄰圓環(huán)之間的面積為：是一個(gè)正比于外磁場(chǎng)的常量

在此面積中含有的原來(lái)沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)的狀態(tài)數(shù)為：即簡(jiǎn)并度。包含了所有的簡(jiǎn)并態(tài)。加了于外磁艇場(chǎng)后，這造些代表漆點(diǎn)都井聚合出到了喉圓周唯上。無(wú)外磁場(chǎng)

有外磁場(chǎng)由于沿磁場(chǎng)方向仍準(zhǔn)連續(xù)變化,所以在三維k空間的代表點(diǎn)將聚集到一系列圓柱面上,每一個(gè)圓柱面對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的量子數(shù)n，最后形成所謂的朗道管。n一定察，電口子的衫能帶奴是一嫌條拋士物線最，n=0是最絲式低的柴次能缺帶，n增加融，次膜能帶康向上曾移，嘉如圖緣瑞給出詢磁次病能帶獸的簡(jiǎn)既圖。如圖呼所示控，在波矢殃空間形成泰一系翻列“圓柱條面”，每鳳一個(gè)搜圓柱掘面對(duì)看應(yīng)一區(qū)個(gè)確蔽定的押量子撕數(shù)n，可以棟看成寨是一衛(wèi)個(gè)子曠帶，李在每益一個(gè)蒜子帶針中只有罰一維權(quán)自由鮮度kz。電子涂的能濕量由準(zhǔn)連爬續(xù)的量能譜變成蹤蝶一維蝴的磁次稍能帶。n=3n=2n=1n=0B=00自由電子在磁場(chǎng)中的能量不同棗的y0并不蹲影響帖諧振尤子的朵本征埋值，而y0又依掛賴于沸波矢編分量kx，因此摔不同抵的狀植態(tài)可繪能會(huì)抹是簡(jiǎn)御并態(tài)房誠(chéng)。其簡(jiǎn)俊并度寶是多樹(shù)少呢扛？2.賓朗道扛能級(jí)噸簡(jiǎn)并慣度該范序圍內(nèi)同的波矢搜數(shù)為：朗道窩能級(jí)員簡(jiǎn)并缸度(考膽慮自蜘旋)：此簡(jiǎn)歡并度沒(méi)與磁率感應(yīng)轎強(qiáng)度B和晶多體在奧垂直只于磁敲場(chǎng)方淋向的朵截面影積成得正比詞，與迷能級(jí)晉序號(hào)恥無(wú)關(guān)泰，即辰無(wú)論n為何冠值，栽簡(jiǎn)并癥度不蜓變。有外磁場(chǎng)無(wú)外磁場(chǎng)

在恒暑定磁紛場(chǎng)下羨形成閉朗道匆能級(jí)扣，實(shí)盒際上醒只是疼量子磚態(tài)的木一種徑重新冤分布予，量侍子態(tài)盟的總必?cái)?shù)是撐不變限的。3.布洛膀赫電牛子的她軌道愉量子枯化對(duì)于喜布洛朵赫電宰子，瘦電子沉的半曠經(jīng)典走閉合舒軌道辜將按渠玻爾驗(yàn)量子肝化條緞件來(lái)韻量子宣化。公即：可以繪證明槐：布淡洛赫愁電子怒的閉剖合軌桑道在k空間墨所圍抹面積沖也是輕以這與自由電子相同,相鄰閉合軌道的能量差為:三、節(jié)德痛哈斯逼-范包阿爾闖芬效淺應(yīng)(d舞e連Ha輕ss壞-V妥an頑A按lp特he策n蜻ef槐fe岔ct范)德哈逆斯-范阿耍爾芬昆效應(yīng),是19灶30年de易H文as候s和Va尋n唯Al脫ph賤en在低篇溫、軍強(qiáng)磁虎場(chǎng)中率研究鉍單液晶的愈磁化夸率時(shí)發(fā)蠅現(xiàn)的.他們掠發(fā)現(xiàn),低溫刻下強(qiáng)舌磁場(chǎng)衣中金榴屬的扎磁化釀率隨扶磁場(chǎng)東倒數(shù)(1控/B)周期脖性振前蕩,人們糾把這臥種現(xiàn)摟象稱嶄為德哈遵斯-范阿術(shù)爾芬趨效應(yīng).后來(lái),人們絕進(jìn)一旱步研捷究發(fā)柏現(xiàn),電導(dǎo)禍率、檔比熱等物斯理量徒在低踩溫下晃強(qiáng)磁睜場(chǎng)中福也有姿類似廈的振責(zé)蕩現(xiàn)月象,這些次現(xiàn)象蒙同金熱屬費(fèi)米拒面附近親電子伙在強(qiáng)植磁場(chǎng)勤中的貧行為回有關(guān),因而它是此研究退金屬笨費(fèi)米連面的帶一種習(xí)有力駕工具僻。在磁叔場(chǎng)中,電子煌的能另級(jí)形渡成一妖系列丙高度骨簡(jiǎn)并餐的分誦立能袖級(jí),類似迷于簡(jiǎn)奪諧振脅動(dòng)的陷能量肢量子江化,使得康電子丟氣系乒統(tǒng)能迫量隨鈴磁感處應(yīng)強(qiáng)擦度發(fā)焦生變唐化,從而互導(dǎo)致止磁化機(jī)率隨伸磁場(chǎng)詢的振可蕩.這就愁是產(chǎn)著生德哈穗斯-去范阿廟爾芬逼效應(yīng)鐵的原乖因下面碗我們殖以二維貞自由稍電子難系統(tǒng)為例麗對(duì)德哈掉斯-汪范阿頌爾芬刪效應(yīng)進(jìn)行壇簡(jiǎn)單降說(shuō)明毀。由于扔絕對(duì)描零度推時(shí)，蠶電子蠢系統(tǒng)管的最化高能形量為費(fèi)米境能量，它廉所包澆圍的兆面積捆就是距費(fèi)米臣圓的六面積柴。加上箱磁場(chǎng)廢后,費(fèi)米綢圓內(nèi)視的狀晨態(tài)收紅縮到倉(cāng)朗道囑環(huán)上,但總狀瓣態(tài)數(shù)津目不辟變.外磁菌場(chǎng)B的變切化,將引蘿起朗多道能饑級(jí)間企距的儀變化.因此監(jiān)，總能聯(lián)夠通鐮過(guò)改努變磁虧場(chǎng)的延大小，使扒得費(fèi)搬米園叼內(nèi)的哲狀態(tài)恰好除填滿白某一遙朗道盲能級(jí)。磁場(chǎng)紀(jì)增大,朗道惹環(huán)上奮的簡(jiǎn)珠并度旱增加,而總涼電子倉(cāng)態(tài)數(shù)壯目一申定,所以,隨著酷磁場(chǎng)鋸的增底大,電子嗓對(duì)應(yīng)雖的填滿膨的朗藍(lán)道能杜級(jí)的以級(jí)次胞變小,即n變小.圖3.馬32朗道寨能級(jí)縣填充軟狀況您隨磁場(chǎng)北增大的變盞化隨著脂磁場(chǎng)暗連續(xù)社變化定，相鄰小兩個(gè)葵系統(tǒng)泡能量草增量勁為零揭的范假圍對(duì)應(yīng)照一個(gè)洞能量組周期。如果開(kāi)以電驕子系友統(tǒng)能宰量增楊值為稈零的謎兩個(gè)乞相鄰?fù)?/B值之摟差，書表示久系統(tǒng)遍能量跟變化陣的周鬧期.抹則：由于齡對(duì)二氣維自裂由電套子系離統(tǒng)：為常串?dāng)?shù)。所以螺，系統(tǒng)盤能量想變化瓦的周刃期為：由于港系統(tǒng)碰的磁捏化強(qiáng)牌度和吩單位足體積薄的自由閉能滿足集：亦即和磁蘋場(chǎng)垂碗直的生費(fèi)米肅圓面昆積隨定周期響的變丘化而訴變化，周作期大毫，則師對(duì)應(yīng)盤費(fèi)米犧面積森小。所以,系統(tǒng)矩的磁筋化率最也將裝以1/管B為變蹄量振柱蕩。所以,磁化妙強(qiáng)度撕將以1/B為變砌量振志蕩.由于雪系統(tǒng)豎的磁顫化率西為：系統(tǒng)狠的磁晶化率槐隨1弟/B變化炊的周最期也茄將是滑：在低溫下，從實(shí)驗(yàn)上測(cè)出隨1/B變化的周期，便可確定,即垂直磁場(chǎng)方向的費(fèi)米面的極值面積。因而，只要從實(shí)驗(yàn)上測(cè)定磁化率在不同方向上隨1/B的變化周期，便可確定沿不同晶向的費(fèi)米面，進(jìn)而得到金屬費(fèi)米面的形狀。對(duì)于侍二維奮自由匆電子坦系統(tǒng)抵,朗道撒能級(jí)傘簡(jiǎn)并腰度：小結(jié)仗：所以探,磁礦場(chǎng)B增大果,則云朗道中能級(jí)兇的簡(jiǎn)閉并度稱變大止,也博就是遷每一旦朗道情能級(jí)惡上電毯子數(shù)攝目變賞多.假如場(chǎng),當(dāng)塞磁場(chǎng)B=冷B1時(shí),膽電子耀恰好找填滿暗了n-菜1個(gè)朗崖道能蘿級(jí);敢而磁畜場(chǎng)B=薯B2時(shí),叨電子寶恰好切填滿設(shè)了n個(gè)朗冠道能陶級(jí);董則B2〈B1塞,磁場(chǎng)B越強(qiáng)粗,則N個(gè)電條子所罩需占同據(jù)的飼朗道漆能級(jí)銅的級(jí)密次越晌小.每當(dāng)點(diǎn)調(diào)節(jié)瓶磁場(chǎng)據(jù)恰好填滿盲一個(gè)行級(jí)次毛,則齊相應(yīng)省能量燥增量范為零蠻;而當(dāng)一個(gè)抖級(jí)次迫的能擁量恰商好和爆費(fèi)米揮能量何相等攔,則綠相應(yīng)落能量袖增量吵最大牧.兩哨次最榆大或主最小咽間相譜應(yīng)的Δ(1/喪B)即為望所求涉的周騰期.對(duì)于焰三維縫情況顧，我雅們不纏再討恢論?？傊?對(duì)于自由電子系統(tǒng),磁場(chǎng)的引入,導(dǎo)致系統(tǒng)能量增大,能量的增量依賴于這就跨導(dǎo)致乳能量鈔增量懶隨1肚/B發(fā)生忙周期緣瑞性變?；?棗從而厘導(dǎo)致督磁化瓶強(qiáng)度我或磁繞化率麥隨1堪/B發(fā)生船周期滾性變耕化.變化的周期決定于費(fèi)米面在垂直磁場(chǎng)方向的最大截面(稱為極值截面,測(cè)定磁場(chǎng)沿各種不同晶向時(shí)德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)的周期,便可確定沿不同晶向的極值截面面積,從而勾畫出金屬費(fèi)米面的形狀.變化的周期與費(fèi)米面在垂直磁場(chǎng)方向的最大截面的關(guān)系為：四、份回雞旋共散振方剛法(cy巧cl蠢ot楚ro煙n疑re聲so箭na沉nc吳e)在恒墨定外遞磁場(chǎng)今作用室下,鐮費(fèi)米丸面上雪由一挖個(gè)電喘子的k矢量宏所描留繪的捕軌道時(shí),就育是費(fèi)逼米面下與一病個(gè)垂陽(yáng)直于B的平鈔面的丹交線替.對(duì)同于一桶個(gè)閉好合軌偉道,傘具有胡確定肝的回旋震頻率冬：這是帶所有激研究立費(fèi)米斧面方蘇法的壺核心魄.回旋醋共振時(shí)實(shí)驗(yàn)狀,是在施捎加磁慢場(chǎng)的瓜同時(shí)葛,在算垂直哨磁場(chǎng)猜方向器加上徹頻率凝為的微文波場(chǎng)結(jié),通縮慧過(guò)與謀微波蘋場(chǎng)的霉共振摩來(lái)觀德察回旋耗頻率c.實(shí)際障上的資程序唇是保乒持微波擋場(chǎng)的頻率不變蓄,而改堵變磁燈場(chǎng)的州大小貌,當(dāng)=c時(shí),南微波遷場(chǎng)的艇能量究將迅特速被血電子懶共振煩吸收作，從怎一個(gè)朗道掃能級(jí)致跳到你另一己個(gè)高影能量唱的朗懂道能田級(jí)上塔.這線樣,件測(cè)量雞磁場(chǎng)訓(xùn)與微波壟吸收各功率擠的關(guān)鐘系曲撈線,售就可餓得電陸子沿閉合冤軌道繼運(yùn)動(dòng)仰的回旋頻率c.進(jìn)復(fù)而得判到電子由的有納效