高數(shù)A(三)08-10AB卷試題、答案匯總

院/系年級院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------《高等數(shù)學(xué)A（三）》考試試卷（A卷）（閉卷時間120分鐘）題號一二三四五總分得分閱卷人得分一、單項選擇題（每小題2分，共10分）1、下列陳述正確的是（）。(A)若方程組有唯一解，則方程組有唯一解(B)若方程組有唯一解，則方程組有唯一解(C)若方程組有無窮多解，則方程組有無窮多解(D)若方程組無解，則方程組無解2、已知維向量組線性相關(guān)，則下列選項中必正確的是()。(A)對于任何一組不全為零的數(shù)，使得(B)中任何兩個向量線性相關(guān)(C)存在一組不全為零的數(shù)，使得(D)對于每一個都可以由其余向量線性表出3、設(shè)，且，則()。(A)事務(wù)與事務(wù)互不相容 (B)事務(wù)與事務(wù)對立(C)事務(wù)與事務(wù)不獨(dú)立 (D)事務(wù)與事務(wù)獨(dú)立4、設(shè)（指數(shù)分布），是總體的樣本，則參數(shù)的矩估計是()。(A)(B)(C)(D)5、設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則下列結(jié)論正確的是()。(A)(B)(C)(D)得分二、填空題（每小題2分，共10分）6、若齊次線性方程組有非零解，則＝。7、矩陣的逆矩陣為。8、若3階方陣的特征值分別為、0、1，則行列式=。9、已知（泊松分布），，且，則。10、從一批零件中，抽取9個零件，測得其直徑（單位：毫米）為：19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3設(shè)零件直徑聽從正態(tài)分布，其中未知，（毫米），，則這批零件平均直徑的對應(yīng)于置信度為0.95的置信區(qū)間為。得分三、計算題（本大題共4小題，共46分）11、(本小題10分)計算下列行列式12、(本小題14分)已知三階矩陣求:(1)矩陣的特征值及特征向量（6分）；(2)正交矩陣，使得為對角矩陣，并寫出相應(yīng)的對角陣（4分）；(3)(為正整數(shù))(4分)。13、（本小題10分）已知二次型正定，求的取值范圍。14、(本小題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：(1)常數(shù)(6分)；(2)(6分)。四、證明題（本大題共2小題，共24分）15、(本小題12分)設(shè)為實(shí)矩陣，且滿意。（1）若，證明不行逆（5分）；（2）證明可逆，并求其逆（7分）。得分16、(本小題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為證明：(1)與不相關(guān)(6分)；(2)與不獨(dú)立(6分)。得分五、綜合分析題（本大題共10分）17、設(shè)總體，其中和為未知參數(shù)，是總體的一個子樣。(1)求參數(shù)和的極大似然估計和(6分)；(2)推斷是否為的無偏估計量(4分)。院/系年級院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------《高等數(shù)學(xué)A（三）》考試試卷（B卷）（閉卷時間120分鐘）題號一二三四五總分得分閱卷人得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1、設(shè)為階方陣，，其中為維列向量，且，則()。(A)必有無窮多解(B)必有唯一解(C)僅有零解(D)必有非零解2、設(shè)，則在下的坐標(biāo)為()。(A)(B)(C)(D)3、設(shè)隨機(jī)變量[泊松分布],則方差()。(A)(B)(C)(D)4、設(shè)，是總體的樣本，則參數(shù)的矩估計是()。(A)(B)(C)(D)5、設(shè)是總體的樣本，且，則()是的無偏估計。(A)(B)(C)(D)得分二、填空題（每小題2分，共10分）6、若齊次線性方程組有非零解，則＝。7、矩陣的逆矩陣為。8、設(shè)階方陣可逆，且為其特征值，則矩陣的特征值為。9、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則。10、已知,,,則。三、計算題（本大題共4小題，共46分）得分11、(本小題10分)計算行列式12、(本小題12分)求一個正交線性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。13、(本小題12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試求：(1)常數(shù)(4分)；(2)(4分)；(3)分布函數(shù)(4分)。14、(本小題12分)設(shè)一個人有把鑰匙，其中只有一把鑰匙能把門打開，現(xiàn)每次開門時隨機(jī)地任取一把，直到把門打開，用表示直到把門打開時的次數(shù)，求在每次打不開門鑰匙放回的情形下的分布律及其數(shù)學(xué)期望。得分四、綜合分析題（本大題共14分）15、對于線性方程組，問取何值時，方程組有解？并在有解時求出其通解。得分五、證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）16、設(shè)為實(shí)矩陣，，求證：為正定矩陣。17、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為證明：隨機(jī)變量聽從區(qū)間上的勻稱分布。院/系年級專業(yè)院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------《高等數(shù)學(xué)A（三）》考試試卷（A卷）（閉卷時間120分鐘）院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號題號一二三四五總分得分得分一、選擇題（每小題2分，共10分）得分1.設(shè)均為階方陣，且滿意等式，則必有（）.(A)或(B)(C)或(D)2.設(shè)向量組Ⅰ：；Ⅱ：則下列說法必正確的是（）.(A)Ⅰ線性無關(guān)，則Ⅱ線性無關(guān)；(B)Ⅰ線性無關(guān)，則Ⅱ線性相關(guān)；(C)Ⅱ線性相關(guān)，則Ⅰ線性相關(guān)；(D)Ⅱ線性無關(guān)，則Ⅰ線性無關(guān).3.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第次射擊恰好第次命中目標(biāo)的概率為（）.(A)(B)(C)(D)4.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，，則與隨機(jī)變量同分布的隨機(jī)變量是（）.(A)(B)(C)(D)5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，記為原假設(shè)，則稱為犯第一類錯誤．（）(A)為真時接受(B)不真時接受(C)為真時拒絕(D)不真時拒絕得分得分二、填空題（每小題2分，共10分）6.方程的根為.7.設(shè)3階矩陣有3個特征值1，2，3，且矩陣與相像，則.8.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則概率.9.設(shè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望分別為和,方差分別為和,而相關(guān)系數(shù)為,則依據(jù)切比雪夫不等式有.10.設(shè)某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量（單位：kg）聽從，現(xiàn)隨機(jī)抽取100畝進(jìn)行試驗(yàn)，視察畝產(chǎn)量，得到kg，則總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為．()得分三、計算題（本大題共10分）得分11.（本小題10分）計算下列行列式院/系年級專業(yè)姓名院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------得分12.（本小題13分）已知線性方程組問：取何值時，方程組有無窮多解？并在此時求其通解.13.（本小題14分）設(shè)二次型（1）求正交變換，使為標(biāo)準(zhǔn)形；（2）判定二次型的正定性.院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線-----------------------------院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------（1）試求那天他外出購物的概率；（2）若已知他那天外出購物，試求那每天下雨的概率.15.（本小題13分）已知二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布表如下：(1)求關(guān)于的邊緣分布律；(2)推斷的獨(dú)立性；(3)推斷的相關(guān)性。16.（本小題12分）設(shè)總體的概率密度為其中是常數(shù)，是未知參數(shù).從總體中抽取樣本.（1）求常數(shù)的值；（2）求參數(shù)的最大似然估計量；（3）推斷是否為的無偏估計量.得分院/系年級專業(yè)院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------17.（本小題8分）設(shè)均為階方陣，且滿意.證明：（1）可逆；（2）.院/系年級專業(yè)院/系年級專業(yè)姓名學(xué)號答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------《高等數(shù)學(xué)A（三）》考試試卷（B卷）（閉卷時間120分鐘）題號一二三四五總分得分閱卷人得分得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1.設(shè)線性方程組其中為矩陣，且則方程組().(A)有唯一解(B)有無窮多解(C)無解(D)可能無解2.設(shè)向量組的秩都是則().(A)向量組等價(B)(C)假如則等價(D)假如則等價3.設(shè)隨機(jī)事務(wù)互不相容，并且則().(A)(B)(C)(D)4.設(shè)總體，是來自于的樣本，則下列結(jié)論正確的是()（A）（B）（C）（D）5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，記為備擇假設(shè)，則稱為犯第一類錯誤.（）（A）為真時接受（B）不真時接受（C）為真時拒絕（D）不真時拒絕二、填空題（每小題2分，共10分）6.方程的解為.7.設(shè)同為5階方陣，，則.8.設(shè)為正交矩陣,且則伴隨矩陣.9.一部四卷的文集，按隨意次序放到書架上，則自左向右或自右向左恰好為1，2，3，4的概率為.10.在貝努利每次試驗(yàn)勝利的概率為，,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第10次試驗(yàn)才取得4次勝利的概率為.得分三、計算題（共10分）得分11.（本小題10分）計算下列行列式得分四、分析題（共62分）得分12.（本小題13分）求下列線性方程組的通解.答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------13.（本小題14分）已知實(shí)二次型，試?yán)谜痪€性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交線性替換.14.（本小題10分）發(fā)報臺分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號“*”和“－”．由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“*”時，接收臺不肯定收到信號“*”，而是以概率0.8和0.2收到信號“*”和“－”．同樣地，當(dāng)發(fā)報臺發(fā)出信號“－”時，接收臺以0.9和0.1的概率收到信號“－”和“*”．試求：（1）接收臺收到信號“*”的概率；（2）當(dāng)接收臺收到信號“*”時，發(fā)報臺確是發(fā)出信號“*”的概率．15.（本小題13分）設(shè)隨機(jī)變量,且滿意,（1）求；（2）推斷和是否獨(dú)立.答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------16.（本小題答題勿超裝訂線------------------------------裝---------------------------------------------訂----------------------------------------線----------------------------------------其中是未知參數(shù)（），為來自總體的簡潔隨機(jī)樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù)，求（1）的矩估計；（2）的最大似然估計．得分五、證明題（本大題共8分）得分17.（本小題8分）設(shè)階方陣滿意.證明：（1）可逆；（2）若，則不行逆.安徽高校2008—2009學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A（三）》（A卷）考試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題2分，共10分）1、B2、C3、D4、D5、A二、填空題（每小題2分，共10分）6、-1，-27、8、309、910、（19.77，20.05）三、計算題（本大題共4小題，其中第11題和第13題各10分，第12題14分，第14題12分，共46分）11、解：將第一行的-1倍加到其余各行，得……(4分)再將第列的倍加到第一列，得………(8分)…(10分)12、解：(1)令，得.………(3分)當(dāng)時，解下列方程組得特征向量；當(dāng)時，解下列方程組得特征向量；當(dāng)時，解下列方程組得特征向量。………(6分)(2)由于實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以只需將(1)中得到的特征向量單位化即可得到正交矩陣。將特征向量單位化得，，令，從而為正交矩陣，并且，即所求的對角矩陣為?！?10分)(3)由(2)知所以……………(14分)13、解：二次型的矩陣為各階依次主子式為，，，…………7分)由于二次型正定，所以各階依次主子式均大于0，即解得?！?10分)14、解：(1)由于為的聯(lián)合密度函數(shù)，所以即所以.………………(6分)(2)………………(12分)四、證明題（本大題共2小題，每題12分，共24分）15、證明:（1）由于，所以，下用反正法：若可逆，則，此與假設(shè)沖突，所以不行逆?！?5分)（2）由于，所以，從而所以可逆，并且?！?12分)16、證明：(1)由于，，，所以，即與不相關(guān)。…………(6分)(2)先求與的邊緣密度函數(shù)：當(dāng)或時，。當(dāng)時，所以同理可得易見和在區(qū)域內(nèi)并不是幾乎到處相等的，所以與不獨(dú)立?！?12分)五、綜合分析題（本大題共10分）17、解：（1）設(shè)為樣本的觀測值，因?yàn)榭傮w的概率密度函數(shù)為所以似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為…………(3分)似然方程為解得和的極大似然估計分別為對應(yīng)的估計量分別為………………(6分)由于，所以故不是的無偏估計量。……(10分)安徽高校2008—2009學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A（三）》（B卷）考試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)選擇（每小題2分，共10分）1、（D）2、（A）3、（B）4、(B)5、(D)二、填空（每小題2分，共10分）6、7、8、9、10、三、解答題（本大題共4小題，其中第11題10分、第12題、第13題和第14題各12分，共46分）11、解：先將第2行至第行都加到第1行，再提取公因數(shù)，最終將第一行的倍加到其余各行：……………(4分)……(8分)。……(10分)12、解：寫出二次型矩陣為求特征值：特征多項式為故特征值為。…………(5分)求特征向量：3個相異特征值所對應(yīng)的3個特征向量為正交向量組，故求得后只需單位化?！?8分)只需單位化：作正交矩陣和對角陣：寫出正交線性替換和標(biāo)準(zhǔn)形：經(jīng)正交線性替換，即化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：……………(12分)13、解：(1)因?yàn)闉楦怕拭芏群瘮?shù)，所以從而.……………………(4分)(2)；……………(8分)(3)………(12分)14、解：設(shè)表示事務(wù)“第次打開門”，則，，……，……，即X分布律為：1234………………………(8分)于是，?！?12分)留意：幾何分布的數(shù)學(xué)期望。四、綜合分析題（本大題14分）15、解：對增廣矩陣作初等行變換化為行階梯形：…………………(4分)明顯，①當(dāng)時，，方程組無解；②當(dāng)時，，方程組有解?！?7分)為此接著作初等行變換化為行最簡形：…(10分)通解為：，即.其中自由未知量。…………(14分)證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）16、證明:由于，所以為實(shí)對稱陣；，由于，，所以………(6分)又因?yàn)椋?，即為正定矩陣?！?10分)17、證：由的值域可確定的值域?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，；………………(4分)當(dāng)時，所以的密度函數(shù)為故聽從區(qū)間上的勻稱分布?！?10分)安徽高校2009—2010學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A（三）》（A卷）考試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題2分，共10分）1.C2.D3.D4.B5.C二、填空題（每小題2分，共10分）6.或7.8.9.10.三、計算題（本大題共10分）11.（本小題10分）解：為使中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，將第行依次與上一行交換直至第1行；第行依次與上一行交換直至第2行…；第2行交換到第行，于是共經(jīng)過次行的交換，得到階范德蒙行列式（5分）再對上面右端行列式的列進(jìn)行與上述行的相同調(diào)換，得到令留意到，故有（10分）得分四、分析題（本大題共6小題，共62分）得分12.（本小題13分）解：增廣矩陣為（2分）（5分）當(dāng)時，方程組有無窮多解。（7分）此時有（8分）對應(yīng)的線性方程組為即（9分）令，得到原非齊次線性方程組的一個特解：（10分）原非齊次線性方程組對應(yīng)的導(dǎo)出組為令，得到；令，得到；令，得到，（11分）故原非齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)解為，為隨意常數(shù)。（13分）13.（本小題14分）解：二次型的矩陣為（2分）特征多項式為（3分）（5分）由得到的特征值為。（7分）當(dāng)時，解方程組，可得到基礎(chǔ)解系當(dāng)時，解方程組，得到基礎(chǔ)解系（9分）簡潔驗(yàn)證兩兩正交，故只需將單位化即可，得到令則當(dāng)時，有（12分）因?yàn)槎涡偷恼龖T性指數(shù)為3，故二次型為正定二次型。（14分）14.（本小題10分）解：設(shè)={那天下雨}，={那天不下雨}，={那天外出購物}，則有，。（1）由全概率公式有(5分)（2）由逆概公式有（10分）15.（本小題13分）解：（1）關(guān)于的邊緣分布律為關(guān)于的邊緣分布律為（4分）（2）因?yàn)樗圆华?dú)立。（8分）（3）因而有。故不相關(guān)。（13分）16.（本小題12分）解：（1）由于，即得到。（4分）（2）設(shè)總體的樣本值為，似然函數(shù)為取對數(shù)有令得到的最大似然估計值為的最大似然估計量為（8分）（3）由于因此由此可知是的無偏估計量。（12分）五、證明題（本大題8分）17.（本小題8分）證明：（1）由得到故有可逆。（4分）（2）由（1）知可逆，且逆矩陣為，因而有故有即有.（8分）安徽高校2009—2010學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A（三）》（B卷）考試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題（每小題2分，共10分）1.D2.D3.C4.B5.B二．填空題（每小題2分，共10分）6.7.8.9.10.三、計算題（本大題共10分）11.（本小題10分）解：中各行元素都分別是一個數(shù)的不同方冪，且方冪次數(shù)從左到右按遞升次序排列，但不是從0變到，而是由1遞升至。如提取各行的公因數(shù)，則方冪次數(shù)便從0增至，于是得到（5分）上式右端行列式為階范德蒙行列式，則有.（10分）四、分析題（共62分）12.（本小題13分）解：因?yàn)椋?分）方程組的一般解為令，得；令，得；令，得。（10分）所以方程組的基礎(chǔ)解系為，結(jié)構(gòu)解為，（為隨意常數(shù)）（13分）13.（本小題14分）解：二次型的矩陣為