2023高考數(shù)學(xué)?？碱}型：平面向量

2023高考數(shù)學(xué)?？碱}型：平面向量平面對(duì)量

考試內(nèi)容：向量.向量的加法與減法.實(shí)數(shù)與向量的積.平面對(duì)量的坐標(biāo)表示.線段的定比分點(diǎn).平面對(duì)量的數(shù)量積.平面兩點(diǎn)間的距離、平移.

考試要求：(1)理解向量的概念，把握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.(2)把握向量的加法和減法.(3)把握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4)了解平面對(duì)量的基本定理，理解平面對(duì)量的坐標(biāo)的概念，把握平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)把握平面對(duì)量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面對(duì)量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，把握向量垂直的條件.(6)把握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能嫻熟運(yùn)用把握平移公式.

平面對(duì)量學(xué)問要點(diǎn)

1.本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

?

2.向量的概念?

(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：幾何表示法

;字母表示：a;

坐標(biāo)表示法a=xi+yj=(x，y).?

(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作|a|.?

(4)特別的向量：零向量a=O

|a|=O.?單位向量aO為單位向量

|aO|=1.?(5)相等的向量：大小相等，方向相同?(x1，y1)=(x2，y2)

(6)相反向量：a=-b

b=-a

a+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.?

3.向量的運(yùn)算?

運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的

加法

1.平行四邊形法則

2.三角形法則

向量的

減法

三角形法則

,

數(shù)

乘

向

量

1.是一個(gè)向量,滿意:

2.0時(shí),同向;

0時(shí),異向;

=0時(shí),.

向

量

的

數(shù)

量

積

是一個(gè)數(shù)

1.時(shí)，

.

2.

4.重要定理、公式

(1)平面對(duì)量基本定理?

e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1，

2，使a=1e1+2e2.?

(2)兩個(gè)向量平行的充要條件?

a∥b

a=b(b0)

x1y2-x2y1=O.?

(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件?

ab

ab=O

x1x2+y1y2=O.?

(4)線段的定比分點(diǎn)公式?

設(shè)點(diǎn)P分有向線段

所成的比為，即

=

，則?

=

+

(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)?

(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)?

當(dāng)=1時(shí)，得中點(diǎn)公式：?

=

(

+

)或

(5)平移公式

設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量a=(h，k)平移后得到點(diǎn)P(x，y)，

則

=

+a或

曲線y=f(x)按向量a=(h，k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：

y-k=f(x-h)

(6)正、余弦定理?

正弦定理：

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，?

b2=c2+a2-2cacosB，?

c2=a2+b2-2abcosC.?

(7)三角形面積計(jì)算公式：

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長(zhǎng)為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=

[海倫公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下圖]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb

[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3個(gè)是旁心.

如圖：

圖1中的I為S△ABC的`內(nèi)心，S△=Pr

圖2中的I為S△ABC的一個(gè)旁心，S△=1/2(b+c-a)ra

附：三角形的五個(gè)"心';

重心：三角形三條中線交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).

垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).

⑸已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長(zhǎng),即

]則：①AE=

=1/2(b+c-a)②BN=

=1/2(a+c-b)③FC=

=1/2(a+b-c)

綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊(如圖4).

特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=

(如圖3).⑹在△ABC中，有下列等式成立

.證明：由于

所以

，所以

，

結(jié)論!⑺在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則

.證明：在△ABCD中，由余弦定理，有

①在△ABC中，由余弦定理有

②，②代入①，化簡(jiǎn)

可得，

(斯德瓦定理)①若AD是BC上的中線，

;②若AD是A的平分線，

，其中

為半周長(zhǎng);③若AD是BC上的高，

，其中

為半周長(zhǎng).

⑻△ABC的判定：

△ABC為直角△

A+B=

△ABC為鈍角△

A+B

△ABC為銳角△

A+B

附：證明：

，得在鈍角△ABC中，

⑼平行四邊形對(duì)角線定理：對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.

定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式(向量P1P=向量PP2)

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使向量P1P=向量PP2，叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+OP2)(1+);(定比分點(diǎn)向量公式)

x=(x1+x2)/(1+),

y=(y1+y2)/(1+)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=OA+OB,且+=1,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心推斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使a=b。

a//b的重要條件是xy-xy=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

ab的充要條件是ab=0。

ab的充要條件是xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量.

設(shè)a=(x，y)，b=(x，y)。

1、向量的加法

向量的加法滿意平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x，y+y)。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

假如a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即"共同起點(diǎn)，指向被減'

a=(x,y)b=(x,y)則a-b=(x-x,y-y).

3、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

當(dāng)0時(shí)，a與a同方向;

當(dāng)0時(shí)，a與a反方向;

當(dāng)=0時(shí)，a=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有a=0。

注：按定義知，假如a=0，那么=0或a=0。

實(shí)數(shù)叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

當(dāng)∣∣1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長(zhǎng)為原來的∣∣倍;

當(dāng)∣∣1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上縮短為原來的∣∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿意下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量對(duì)于數(shù)的安排律(第一安排律)：(+)a=a+a.

數(shù)對(duì)于向量的安排律(其次安排律)：(a+b)=a+b.

數(shù)乘向量的消去律：①假如實(shí)數(shù)0且a=b，那么a=b。②假如a0且a=a，那么=。

4、向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0〈a,b〉

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a||b|cos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx+yy。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba(交換律);

(a)b=(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(安排律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=|a|的平方。

ab〈=〉ab=0。

|ab||a||b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿意結(jié)合律，即：(ab)ca(bc);例如：(ab)^2a^2b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿意消去律，即：由ab=ac(a0)，推不出b=c。

3、|ab||a||b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作ab。若a、b不共線，則ab的模是：∣ab∣=|a||b|sin〈a，b〉;ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則ab=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣ab∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

aa=0。

a‖b〈=〉ab=0。

向量的向量積運(yùn)算律

ab=-ba;

(