數(shù)學(xué)建模中的差分法

差分方程模型一差分方程1差分：設(shè)函數(shù)，記為，當(dāng)t取遍非負(fù)整數(shù)時(shí)，函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列，則差稱為函數(shù)的差分，也稱一階差分，記為，即二階差分同理，可定義三階差分等。二階及二階以上的差分稱為高階差分。差分的性質(zhì)：2差分方程：含有未知函數(shù)及表示未知函數(shù)的幾個(gè)時(shí)期值的符號(hào)的方程。如3差分方程的階方程中含未知函數(shù)附標(biāo)的最大值與最小值的差數(shù)。不同形式的方程可互相轉(zhuǎn)化。4差分方程的解如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為該方程的解。例一階線性方程有解類似于微分方程可定義初值條件，特解等。二差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性1對(duì)于一階線性常系數(shù)差分方程滿足方程的解，稱為上方程的平衡點(diǎn)。即平衡點(diǎn)為由于方程（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為下面方程零點(diǎn)的穩(wěn)定性。方程（2）的解可表示為可得到下面的穩(wěn)定性結(jié)論。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程（2）的平衡點(diǎn)（零點(diǎn)）是穩(wěn)定的，從而方程（1）的平衡點(diǎn)穩(wěn)定。對(duì)于n維向量常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組稱其為一階常系數(shù)線性齊次差分方程組。結(jié)論1若r(A)<1，則其平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定；若r(A)>1，則其平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的；若r(A)=1，穩(wěn)定性不確定。A的特征根的集合稱為矩陣A的譜，稱為矩陣A的譜半徑。2對(duì)于二階線性常系數(shù)差分方程平衡點(diǎn)為為了得到（4）零點(diǎn)的穩(wěn)定性我們求解方程（4）。寫出特征方程解出特征值通解為其中常數(shù)由初值條件確定。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程（4）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。結(jié)論2非齊次線性方程（5）的穩(wěn)定性可轉(zhuǎn)化為齊次方程（4）來(lái)研究。對(duì)于n階線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是特征根3一階非線性差分方程平衡點(diǎn)通過(guò)求解方程而得到。研究穩(wěn)定性的方法之一是研究其對(duì)應(yīng)的線性部分的穩(wěn)定性。將方程（6）的右端在點(diǎn)作泰勒展開(kāi)只取一次項(xiàng)，（6）近似為也是（7）平衡點(diǎn)。當(dāng)結(jié)論3時(shí)，方程（6）與（7）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。結(jié)論4當(dāng)時(shí)，方程（7）平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，方程（7）平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。三常微分方程向差分方程轉(zhuǎn)化（數(shù)值解）1Euler方法求初值問(wèn)題的近似解。只要給定就可求得先把自變量所在的區(qū)間n等分；例1從形出射發(fā)并暗取容，求穩(wěn)下列祖初值光問(wèn)題的近委似解俊。解繼續(xù)鄭下去插，自繁變量目使用結(jié)等間誰(shuí)隔值昏，并熊生成巴其n個(gè)值奶，令步數(shù)n可任領(lǐng)意大腫，但n太大胞，會(huì)的有誤民差積墳累。優(yōu)點(diǎn)候：容閣易編陣程計(jì)肺算。例2從鞏出紐奉發(fā)并接取怖，求勝下列懸初值揮問(wèn)題的近懂似解聽(tīng)。解解Ma壞lt女hu斤s模型的離塘散形農(nóng)式例3對(duì)于濱方程幻玉組的日情形攻，Eu奸le建r方法悔同樣泊可用翁。先把灶自變幻玉量所寒在的疼區(qū)間n等分排；步數(shù)n可任旋意大勝，但n太大繪，會(huì)偵有誤桶差積載累。對(duì)捕凱食模炮型用Eu幻玉le加r法求科出前錢三次百逼近宜，初魔始條組件為解第一斤組點(diǎn)滴：第一碧組點(diǎn)勒：第二樓組點(diǎn)免：第三鍛組點(diǎn)細(xì)：繼續(xù)轉(zhuǎn)下去湯，就效可生疾成數(shù)委值解急表館。如果稼方程租組為小自治狹系統(tǒng)舅，在欣相平止面上包就可憲得到近似鐘的軌搏線圖俱。上機(jī)畢練習(xí)1：對(duì)捕顆食模蓄型用Eu姨le甘r法，卡在相耽平面照上畫程出軌扒線的哲近似越圖，抓觀察灑其變跳化情扇況。2Ru席ng若e-峽ku舊tt恢a型方屆法也是芬用來(lái)恩求初呈值問(wèn)穴題的癥近似腦解，萍但比Eu鼻le褲r方法占收斂敞更快樂(lè)。先把涌自變程量所疑在的懷區(qū)間n等分伴；Eu碼le電r方法常取單步擺方法肺。四艙差曾分方需程模耐型舉灶例1差分謀形式Lo離gi功st扇ic模型離散笑化變形令b=r+攤11）平委衡點(diǎn)訪及其腎穩(wěn)定印性求平貝衡點(diǎn)葉：平衡寧點(diǎn)為根據(jù)蓮穩(wěn)定急的條清件當(dāng)b<駕1，只針有一刮個(gè)穩(wěn)括定的偉平衡膽點(diǎn)，當(dāng)1<必b<出3，覽變艷成不補(bǔ)穩(wěn)定箱的，巨而薯成悅為穩(wěn)迷定的泊，當(dāng)b>榮3時(shí)，鐵是豪不穩(wěn)磚定的懇平衡殘點(diǎn)。2）數(shù)江值計(jì)廁算（荷上機(jī)嚴(yán)練習(xí)2）初值申取b俊=1氧.7，2.島6，3.遙3，3.境45，3.杰55，3.朱57k拘=幻玉1,洞2,尖…,那10看0觀察掙的變眠化趨怕勢(shì)。出現(xiàn)雷倍周哪期收筍斂現(xiàn)仰象。一般逃地，排一階路自治砌的非扛線性錫差分舟方程3）混疤沌與叉分岔若x*滿足則稱x*為不牢動(dòng)點(diǎn)臺(tái)，1-周期臭點(diǎn)。若x*滿足則稱x*為2-周期爬點(diǎn)。4-周期士點(diǎn)，8-周期宴點(diǎn)等積，倍指周期叛分岔坐。練習(xí)狂：競(jìng)芽爭(zhēng)獵摸獸模逮型斑點(diǎn)顛貓頭鹽鷹和舌紅隼貞在其蕩棲息痛地為家生存栗而斗楚爭(zhēng)。采假定想沒(méi)有亮其他身種群杰存在籍的情床況下卷，每栽個(gè)單階種群鍋都可搖以無(wú)咽限地杰增長(zhǎng)斷，即床在一餐個(gè)時(shí)鑄間區(qū)挨間里敞（如遍一天栽）其闖種群微量的遵變化鏈與該運(yùn)時(shí)間刻區(qū)間癥開(kāi)始焦時(shí)的郊種群訪量成兆正比閃。而鑄第二宴種群央的存低在降低命了另砌一種嫂群的李增長(zhǎng)鬼率。弱假定且這種發(fā)增長(zhǎng)輛率的直減少調(diào)與兩款種群尚的數(shù)娛量之廁積成殖正比芳。試建浮立數(shù)寫學(xué)模哲型考開(kāi)察兩珍種群車的演究化規(guī)綠律。一烘建果立模注型根據(jù)上題意揉，建磁立差忍分方睛程組二惑模娘型求錘解求平鵝衡點(diǎn)在平析衡點(diǎn)鐵處兩漿種群駕的種策群量躍不會(huì)序發(fā)生剝變化忘。即如油果一協(xié)開(kāi)始慮它們率數(shù)量顫為15傅0和20哪0時(shí)，睬那么宣每天授數(shù)量鑒都保權(quán)持不畫變。數(shù)值嚴(yán)計(jì)算慌在平惰衡點(diǎn)簡(jiǎn)附近浙的情獸形貓頭鷹隼情形1151199情形2149201情形31010xyxyxy115119911157.31188.4821221.05113.182151.15198.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.007152.05195.2017178.04159.4727458.7013.988153.79194.0018185.26150.5328544.035.359154.71192.5319194.42139.9129649.911.1310155.87190.7220106.11127.4830779.170.00情形1xyxyxy114920111142.87212.002192.88325.632148.85201.4012141.16215.022281.21326.833148.64201.8613139.04218.822367.98412.754148.37202.4114136.42223.622453.52480.455148.01203.0715133.20229.692538.51573.166147.55203.8816129.24237.412624.14700.977146.98204.8817124.41247.272712.05877.418146.26206.1218118.53259.93283.871119.59145.37207.6619111.42276.29290.311446.610144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2xyxyxy110101145.7595.942128.61565.92211.912.81250.51115.942218.14703.32314.1316.341354.75139.01239.01888.80416.7220.771458.09165.49242.801139.4519.7226.311560.10195.91250.171474.9623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8727.0141.581758.47272.5827831.2851.811854.22322.4928935.9264.111947.58384.26291040.8078.742038.81462.9730情形3三謙結(jié)講論對(duì)初濾始點(diǎn)顛極其調(diào)敏感吉，這陷樣的搏平衡視點(diǎn)是爐不穩(wěn)火定的鍬。棲息眾地共綱有35陰0頭貓果頭鷹健和隼安。1）如困果有15尤0頭貓本頭鷹盲，那文么我逮們預(yù)躲測(cè)貓頭烤鷹永遮遠(yuǎn)停奔留在初這個(gè)凝數(shù)量笨上。2）如魚(yú)果從歷棲息仔地移賤走一隆頭貓括頭鷹流，那倦么我們面預(yù)測(cè)誓貓頭遭鷹將靈會(huì)滅乓絕。3）如柏果在閣棲息聰?shù)匕碴?duì)置15勢(shì)1頭貓侄頭鷹考，那么我圓們預(yù)割測(cè)貓餓頭鷹掀將會(huì)鴿無(wú)限知增長(zhǎng)焦而隼將會(huì)花滅絕型。4