概率論第六章

第六章樣本與統(tǒng)計(jì)量引言前面五章我們講述了概率論的基本內(nèi)容，隨后的四章將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或現(xiàn)象得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括：如何收集、整理數(shù)據(jù)資料；如何對(duì)所得到的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析研究，從而對(duì)所研究對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出推斷。后者就是我們所說的統(tǒng)計(jì)推斷問題。本書只講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容。引言隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律。

概率論的許多問題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都是在這已知是基礎(chǔ)上得出來的。但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。引言例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的；產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。

從第六章開始，我們學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性作出合理的推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)所包含的內(nèi)容十分豐富，本書介紹其中的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析等內(nèi)容.第六章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本術(shù)語、基本概念、重要的統(tǒng)計(jì)量及其分布，它們是后面各章的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容6引言：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析 和推斷的科學(xué)。在概率論中已經(jīng)知道，由于大 量的 隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的 規(guī)律 性，因而從理論上講只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 足夠多次觀察，各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚 地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限 的，甚至是 少量的。

例如：若規(guī)定燈泡壽命低于1000小時(shí)者為次品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗(yàn)是破壞性試驗(yàn)，不可能把整批燈泡逐一檢測(cè)，只能抽取一部分燈泡作為樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，以樣本的信 息來推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的問題之一?？傮w

——

研究對(duì)象全體元素組成的集合所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體個(gè)體

——

組成總體的每一個(gè)元素總體和樣本§6.1隨機(jī)樣本容量

——總體中所包含個(gè)體的個(gè)數(shù)有限總體

——容量為有限的總體無限總體——容量為無限的總體例如考察某大學(xué)一年級(jí)男生的身高這一試驗(yàn)中，若一年級(jí)男生共2000人，每個(gè)男生的身高是一個(gè)可能觀察值，所形成的總體中共有2000個(gè)可能的觀察值，是一個(gè)有限總體。又如，考察某一湖泊中某種魚的含汞量所得的總體也是有限總體。觀察并記錄某一地點(diǎn)每天（包括以往、現(xiàn)在和將來）的最高氣溫，或者測(cè)量某一湖泊任一地點(diǎn)的深度，所得的總體是無限總體。有些有限總體，它的容量很大，我們可以認(rèn)為它是一個(gè)無限總體。例如考察全國正在使用的某種型號(hào)燈泡的壽命所形成的總體，由于可能觀察值的個(gè)數(shù)很多，就可以認(rèn)為是無限總體。

我們對(duì)總體的研究就是對(duì)隨機(jī)變量X的研究。X的分布函數(shù)和數(shù)字特征，分別稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征。這樣，一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量X。今后不再區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量，籠統(tǒng)稱為總體X。即如下：我們所要研究的個(gè)體的某一個(gè)數(shù)量指標(biāo)（例如男生的身高），它對(duì)總體中不同的個(gè)體來說取不同的值，既具有不確定性。我們自總體中隨機(jī)取一個(gè)個(gè)體，觀察它的數(shù)量指標(biāo)的值，這就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。而數(shù)量指標(biāo)X作為隨機(jī)試驗(yàn)中被觀察的量，它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定，它是一個(gè)隨機(jī)變量?？傮w

——

所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X

.X的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.個(gè)體

——

即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量

X的某個(gè)取值.用表示.例如：我們檢驗(yàn)自動(dòng)生產(chǎn)線出來的零件是次品還是正品，用1表示產(chǎn)品為次品，用0表示產(chǎn)品為正品，設(shè)出現(xiàn)次品的概率為p,那么總體就是由一些具有數(shù)量指標(biāo)為1和一些具有數(shù)量指標(biāo)為0的個(gè)體所組成。這個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)參數(shù)為p的0-1分布，我們就將它說成是0-1分布的總體。樣本——從總體中抽取的部分個(gè)體.用(X1,X2,…Xn)表示,n為樣本容量。稱(x1,x2,…xn)為總體X

的一個(gè)容量為n的樣本觀測(cè)值,或稱樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn).所謂從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)X進(jìn)行一次觀察并記錄其結(jié)果，我們?cè)谙嗤臈l件下對(duì)總體X進(jìn)行n次重復(fù)的、獨(dú)立的觀察，并將n次觀察結(jié)果按試驗(yàn)的次序記為X1,X2,…Xn，由于X1,X2,…Xn是對(duì)隨機(jī)變量X觀察的結(jié)果，各次觀察是在相同的條件下獨(dú)立進(jìn)行的，所以有理由認(rèn)為X1,X2,…Xn是相互獨(dú)立的，且都是與X具有相同分布的隨機(jī)變量。若總體X的樣本滿足:與

有相同的分布(2)相互獨(dú)立則稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本。簡單隨機(jī)樣本樣本的觀察值稱為樣本值。樣本的兩重性：1、在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，X1,X2,…Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）2、在具體的依次抽取之后，X1,X2,…Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，有意義的樣本容量一般要求n≥50才有統(tǒng)計(jì)意義。一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是N/n

10.總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本(X1,X2…Xn)若總體X

的概率密度為為f(

x),則樣本的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合分布函數(shù)為例如設(shè)某錦批產(chǎn)晝品共謙有N個(gè),痛其中練的次察品數(shù)餃為M,其次因品率單為若p是未敏知的備,則脫可用穴抽樣賴方法戲來估議計(jì)它暑.X服從旱參數(shù)瞎為p的0-扔1分瞇布,柄可用喚如下鵝表示方法號(hào):從這寧批產(chǎn)狀品中欄任取帽一個(gè)盲產(chǎn)品腹,用椒隨機(jī)賢變量X來描慮述它著是否畫是次司品:設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣本空間為若抽攀樣是興無放深回的脖,則摩前次錄抽取貧的結(jié)遺果會(huì)枕影響針后面踩抽取任的結(jié)愈果.刊例如所以恥,臟當(dāng)樣押本容瞞量n與總歡體中埋個(gè)體窩數(shù)目N相比床很小辣時(shí),鞋可清將無元放回餓抽樣挨近似就地看晚作放插回抽韻樣.樣本憑是統(tǒng)骨計(jì)推廚斷的侵依據(jù)坐，但臭在實(shí)包際問商題中拒，往衫往不尿是直妄接使山用樣范本本或身，氧而是牛針對(duì)不不同峰的問粘題構(gòu)孫造不裳同的用樣本披函數(shù)便，利鋸用這療種樣代本的普函數(shù)犧進(jìn)行尚統(tǒng)計(jì)齊推斷耀。統(tǒng)計(jì)膚量設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,且不含膛有未知炮參數(shù)診,則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計(jì)量.若是一個(gè)樣本值,稱的一個(gè)樣本值為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)仙量則例如：設(shè)是服從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)樣本，其中為已知參數(shù),為未知參數(shù)，是統(tǒng)必計(jì)量不是伸統(tǒng)計(jì)傳量幾個(gè)槳常用模的統(tǒng)蹲計(jì)量樣本抱均值（sa損mp匙le返m報(bào)ea黑n)設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本什方差(s恢am掘pl宜e拼va版ri拜an曲ce開)描述交數(shù)據(jù)伙分布瞇的離散究程度。描述祝數(shù)據(jù)音分布劈燕的中心容位置。樣本該均方販差或勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)握差它們籍的觀徒測(cè)值圖用相奶應(yīng)的姜小寫千字母綿表示.幾個(gè)員常用曠的統(tǒng)毛計(jì)量設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本K階原割點(diǎn)矩幾個(gè)控常用濾的統(tǒng)印計(jì)量設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本K階中優(yōu)心矩例1從一軟批機(jī)膠器零磨件毛具坯中質(zhì)隨機(jī)券地抽斤取1渾0件橫,均測(cè)得洋其重蓋量為勞(單慢位:公斤):21昨0,按24蹦3,匠18灶5,棍2柴40落,語2隱15佳,22厭8,肆19照6,默2殲35歪,滅2申00僵,額1釀99求這金組樣鐮本值劑的均步值、曉方差岸、二輩階原租點(diǎn)矩魯與二趟階中順心矩桌.解令則定義設(shè)為隨機(jī)變量，若存在，則稱為的階原點(diǎn)矩，記作；樣本的階原點(diǎn)矩，記作階矩的概念結(jié)論攀：原因姐：作用郊：矩估仆計(jì)法填的理卵論依窗據(jù)它包鋸括兩陰個(gè)方次面——數(shù)據(jù)塑整理計(jì)算剩樣本雅特征罩?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)領(lǐng)的簡每單處勤理為了找研究曲隨機(jī)磚現(xiàn)象斯，首踏要的芽工作法是收俗集原桐始數(shù)茅據(jù).一般隱通過商抽樣川調(diào)查揮或試毛驗(yàn)得績到的役數(shù)據(jù)嘩往往濫是雜鳴亂無瞇章的戴，需擔(dān)要通執(zhí)過整悔理后彩才能竟顯示辱出它圖們的免分布午狀況耕。數(shù)據(jù)誕的簡北單處孫理是網(wǎng)以一懂種直讀觀明庸了方櫻式加量工數(shù)望據(jù)。計(jì)算奪樣本貫特征主數(shù)：數(shù)據(jù)袖的簡全單處茫理數(shù)據(jù)整理：將數(shù)據(jù)分組計(jì)算各組頻數(shù)作頻率分布表作頻率直方圖（1）反慨映趨伴勢(shì)的嶄特征港數(shù)樣本肝均值中位屬數(shù)：數(shù)踐據(jù)按邊大小預(yù)順序蛋排列透后，怠位置莖居中允的那線個(gè)數(shù)或居食中的展兩個(gè)織數(shù)的臟平均峽數(shù)。眾數(shù)：樣尾本中旗出現(xiàn)槐最多月的那我個(gè)數(shù)射。數(shù)據(jù)槐的簡盒單處妙理（2）反完映分輕散程近度的炸特征秀數(shù)：葵極差碎、四稈分位弄差極差——樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，四分饅位數(shù)——將樣貫本數(shù)乞據(jù)依挽概率胳分為廉四等板份的3個(gè)數(shù)辣椐，依次唱稱為料第一譜、第碎二、澆第三灣四分暴位數(shù)謀。第一銷四分徒位數(shù)Q1：第二概四分犧位數(shù)Q2：第三灶四分巾位數(shù)Q3：例1為對(duì)額某小踏麥雜禽交組出合F2代的渾株高X進(jìn)行駐研究宵，抽忙取容蓮量為10專0的樣漿本，累測(cè)試沒的原麻始數(shù)肌據(jù)記視錄如趣下(單位勢(shì)：厘上米)，試注根據(jù)撕以上那數(shù)據(jù)總，畫供出它逐的頻災(zāi)率直裙方圖單，求江隨機(jī)慌變量X的分挎布狀晌況。87究88歷1拘11贈(zèng)91機(jī)73僅70呆92唱98震1書05然9499磨91糟98燈1鎮(zhèn)10違98粘97鐘90紋83綁92欲8886出94捷1削02檔99日89疏1轎04蘭94皺94踏92采9687伙94躲92球86挪1反02挨8貼8鏡7格5軍9巖0財(cái)9罵0選8蚊084糠91儀82是94腳99炊1懇02敞91競96歇94畝9485猶88蚊80蓬83徹81姐69烘95糖80消97惱9296綱1拳09震91此80駝80蒸94哈1啊02娘80藍(lán)86微9190切83瞧84百91展87巾95桃76威90竿91注7710秒3邀89個(gè)88權(quán)85流95興92坊1攤04漠92繞95配8386符81謊86混91遵89跡83閘96妖86潮75艷92第一售．整屑理原炸始數(shù)濤據(jù)，趣加工椒為分救組資睛料，冬作出區(qū)頻率搬分布表，劑畫直福方圖降，提橋取樣詞本分內(nèi)布特聾征的篇信息.步驟暖如下適：1.找出巷數(shù)據(jù)拍中最途小值m=暮69，最獨(dú)大值M=水11醫(yī)1，2.數(shù)據(jù)世分組滴，根竄據(jù)樣珠本容德量n的大恰小，他決定價(jià)分組數(shù)k。一般運(yùn)規(guī)律30勿≤n稻≤4首0梅5≤都k≤擾640吳≤n鼓≤6胖0眠6≤肢k≤展860蜂≤n猴≤1券00愁8≤御k≤巷1010核0≤深n≤顫50積0蕉10隙≤k蔑≤2需0現(xiàn)取灶區(qū)間[6幻玉7.方5,證11旦2.沾5]條,它能撇覆蓋采區(qū)間[6鄙9,袖11豆1]數(shù)據(jù)倍分組低數(shù)參粱考表數(shù)據(jù)數(shù)40~60100150200400600800100015002000500010000分組數(shù)6~87~910~15162024273035395674本例始取組數(shù)k=合9.一般正采取腹等距梳分組僅（也配可以主不等竭距分引組）跟，組艘距為3．確改定組歪限小區(qū)擋間的盆端點(diǎn)霜稱為容組限激。分組佛如下腿：[6售7.珍5,偏72芬.5極)短[7巨2.蔽5,停77淺.5貞)因[含77麥.5符,8濫2.含5)[8卸2.杜5,掘87真.5鑄)獲[8悶7.鍵5,所92描.5居)淺[蠢92襪.5遼,9閘7.恨5)[9混7.宜5,令10膠2.驗(yàn)5)始[漠10段2.分5,碎10衡7.建5)約[1亭07徑.5程,1克12違.5愿)4．將伏數(shù)據(jù)蛛分組蝴，計(jì)廚算出壘各組均頻數(shù)剩，作評(píng)頻數(shù)梳、頻疾率分功布表數(shù)出協(xié)落在撐每個(gè)思小區(qū)拔間內(nèi)圓的數(shù)桃據(jù)的充頻率fk,算出精頻率fk/n(n雞=1陶00熔,i耕=1念,2…9).如下奏表組序區(qū)間范圍頻數(shù)fj頻率Wj=fj/n累計(jì)頻率Fj1[67.5,72.5)20.020.022[72.5，77.5）50.050.073[77.5，82.5）100.100.174[82.5，87.5）180.180.355[87.5，92.5）300.30.656[92.5，97.5）180.180.837[97.5，102.5）100.10.938[102.5，107.5）40.040.979[107.5，112.5）30.031.00這樣址的圖對(duì)形叫款頻率虛直方賣圖5.作出擔(dān)頻率壓直方腫圖以樣話本值史為橫臂坐標(biāo)脾，頻纖率/組距擾為縱庸坐標(biāo)建；現(xiàn)在殊自左亡至右肢依次獸做以秋分組揉區(qū)間棟為底校，以旁頻率/組距蚊為高的氧小矩謀形，豈如圖欺。從頻赤率直再方圖避可看飯到：洽靠近酷兩個(gè)憤極端衡的數(shù)籃據(jù)出催現(xiàn)比沒較少揪，而類中間鵲附近召的數(shù)洞據(jù)比籌較多嶺，即漠中間養(yǎng)大兩唇頭小方的分客布趨紗勢(shì)，——隨機(jī)釋變量豆分布樣狀況撞的最止粗略泡的信陶息。在頻圣率直沒方圖培中，幣每材個(gè)矩仁形面適積恰繼好等話于樣購本值遲落在棟該矩老形對(duì)坊應(yīng)的您分組調(diào)區(qū)間告內(nèi)的鉗頻率齊、頻率浩直方兇圖中暢的小蒸矩形欲的面帝積近旺似地君反映原了樣半本數(shù)寺?lián)鋬r(jià)在某夏個(gè)區(qū)長間內(nèi)挽的可遙能性醫(yī)大小賓，故銜它可跟近似浸描述X的分藍(lán)布狀隨況。樣本若方差療樣榨本標(biāo)知準(zhǔn)差Q1響Q3極差剪四膊分位地差68余.6植90次9鬼8.龍28醋8歉8積5.擔(dān)25此95退4裹2座4.香87杏5第二動(dòng)．計(jì)賠算樣揀本特鋪征數(shù)1.反映它集中改趨勢(shì)獲的特妻征數(shù)倘：樣本夾均值戰(zhàn)、中酒位數(shù)陷、眾較數(shù)等樣本許均值ME茅AN中位斜數(shù)ME覆DI白AN眾數(shù)2.反映拾分散碗程度羨的特擦征數(shù)騎：樣本靈方差通、樣源本標(biāo)惹準(zhǔn)差探、極差腎、四午分位盒差等上述莫差異潑特征侄統(tǒng)計(jì)磚量的鋼值越謀小，嶺表示讀離散戰(zhàn)程度疼越小.MT奴B文>se畜t懷c1DA習(xí)TA捉>蝴87糾88詞11聲1堵9外1挨7濫3船7柴0密9鍋2妥9喬8烏1捏05姜94逆9攏9梁91狠98DA龜TA予>慰11辦0京9后8激9拋7該83隨90悔83橡92烘88攪86沖94超10游2全9隆9渡8伍9域1地04DA栗TA精>擱94袋9完4所9際2通9發(fā)6稍87仆94竊9極2丸8蟲6賢1捷02遷88優(yōu)75樸90抓90岡80DA狂TA規(guī)>姨84拴91蛇82光94枕9乎9殘1雪02釋9醬1民96測(cè)94到9游4勻8患5郵8紹8歉80您83DA擋TA原>費(fèi)81販69方9搭5盜80廚97妖92災(zāi)9披6寨1酬09騙91累80敞80朝9抓4刻1散02DA廉TA確>駝80聽86脖91存9飾0植8喜3贊8你4弓9混1老8窩7尖9滑5接76顫90吧9滔1罷7壺7燒1餅03DA吊TA教>肅89短8賄8擾8武5板9廳5叔9企2孟10顧4任9每2化9暗5湯8肯3奔8羞6西8未1康8這6腫9闊1鳥8搖9非8咱3DA害TA佩>枝96虎86奶75眼92MT培B破>en鳥dMT刃B疫>叉de擇sc略ri爐be循c怎1例1沫D政OS狀態(tài)濤下的MI債NI徑TA蒙B操作顯示固：N殺ME伐AN睜ME曠DI傻A(chǔ)N疤T雀RM民EA侄N嗓S潤TD見EVC1儀1著00旅90列.3廚00晨9啄1.潤00艇0萌9穩(wěn)0.架32暢2犬8積.2辟88SE載ME蒸AN艦MI權(quán)N齊MA甲X繳Q滔1怪Q宇3C1姐0浴.