算符之間的對(duì)易關(guān)系2

算符之間的對(duì)易關(guān)系演示文稿目前一頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)算符之間的對(duì)易關(guān)系目前二頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)1算符之間的對(duì)易關(guān)系1.1算符的基本運(yùn)算關(guān)系（1）算符之和：算符與之和定義為為任意函數(shù)一般，例如粒子的哈密頓算符是動(dòng)能算符與勢(shì)能算符之和（2）算符之積：算符與之積定義為

（1）

（2）

目前三頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)算符之積對(duì)函數(shù)的作用有先后作用次序問題一般不能顛倒個(gè)相同算符的積定義為算符的次冪

例如則為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號(hào)（3）

（5）

目前四頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)若稱算符與是不對(duì)易的（不能交換位置）即若

稱算符與是對(duì)易的即下面幾個(gè)經(jīng)常使用的對(duì)易關(guān)系請(qǐng)自行證明（6）

（7）

目前五頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)1.2坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系坐標(biāo)算符是乘數(shù)因子相互對(duì)易動(dòng)量算符是微分算符因?yàn)閯t坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符：設(shè)為任意函數(shù)（12）

（13）

目前六頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)比較后可得

但是

同理可得坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的其它對(duì)易關(guān)系式可概括為

其中※坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系是最基本的對(duì)易關(guān)系，其它力學(xué)量的對(duì)易關(guān)系均可由此導(dǎo)出。

（14a）

（14b）

(14c)

目前七頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)1.3角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系只證明其中一個(gè)，請(qǐng)注意證明方法記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標(biāo)為正，任何一個(gè)指標(biāo)錯(cuò)位即為負(fù)，相同指標(biāo)則為零。

(15)

目前八頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)以相同的推導(dǎo)方法和記憶規(guī)律，有另外有

（16）

（17）

（18）

目前九頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)1.4幾個(gè)重要的推論(1)(2)（3）球坐標(biāo)下是的函數(shù)，若有徑向函數(shù)算符則

（19）

（20）

（21）

（22）

目前十頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)2共同本征函數(shù)完備系2.1共同本征函數(shù)完備系帶來算符對(duì)易設(shè)兩個(gè)算符和有一個(gè)共同的本征函數(shù)，則必有及，即在態(tài)中可以同時(shí)確定這兩個(gè)力學(xué)量的數(shù)值，那么這似乎提醒我們有，但下結(jié)論過早，因?yàn)檫@只是針對(duì)某一個(gè)特殊函數(shù)（本征函數(shù)），如果和有一組完備的共同本征函數(shù)，對(duì)于任意態(tài)函數(shù)

（23）

目前十一頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)有則這時(shí)才說和是對(duì)易的。這個(gè)結(jié)論可以推廣到多個(gè)算符，即如果一組算符有共同的本征函數(shù)完備系，則這組算符對(duì)易例如即在態(tài)中同時(shí)有確定值及，所以是的共同的本征函數(shù)，并且是完備的，所以

（24）

目前十二頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)2.2逆定理：如果一組算符對(duì)易，則這組算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。這里僅就非簡(jiǎn)并本征函數(shù)系加以證明若算符和相互對(duì)易，對(duì)于的本征函數(shù)，有可見也是算符的屬于本征值的本征函數(shù)。已經(jīng)假定非簡(jiǎn)并，所以對(duì)應(yīng)的兩個(gè)本征函數(shù)和最多只能相差一個(gè)常數(shù)，所（26）

（25）

（27）

目前十三頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)可見，同時(shí)也是的屬于本征值的本征函數(shù)。同理，對(duì)的其它本征函數(shù)也有此結(jié)論。所以，和有組成完備系的共同的本征函數(shù)。例如，角動(dòng)量算符，所以它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在態(tài)中，力學(xué)量同時(shí)有確定值及。氫原子哈密頓算符所以，對(duì)易，它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在該臺(tái)中三者同時(shí)有確定值：

（28）

目前十四頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)2.3力學(xué)量完全集有些情況下，力學(xué)量的本征值是全部簡(jiǎn)并或部分簡(jiǎn)并的，一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)若干個(gè)本征函數(shù)。所以，只以的本征值不足以完全確定本征函數(shù)，這時(shí)必定存在和獨(dú)立且和對(duì)易的其它力學(xué)量。如果的共同的本征函數(shù)仍然有簡(jiǎn)并，則必定還存在獨(dú)立于而又和對(duì)易的其它力學(xué)量，的共同的本征函數(shù)是否還有簡(jiǎn)并？我們定義：一組相互對(duì)易而又相互獨(dú)立的力學(xué)量算符，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡(jiǎn)并的，即這組本征值完全確定一個(gè)共同本征函數(shù)，則這組力學(xué)量稱為力學(xué)量完全集。完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般稱為體系的自由度。請(qǐng)大家將一維諧振子、角動(dòng)量、三維粒子的力學(xué)量完全集與定義對(duì)照一下。（注意：完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般體系的自由度）

目前十五頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)例題一任意態(tài)

求態(tài)中的可能值、概率及。解法一可以看出是的共同本征函數(shù)所組成，列表對(duì)應(yīng)求解：目前十六頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)解法二由得由正交歸一性得

目前十七頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)例題二在對(duì)某一狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，同時(shí)得到能量能唯一確定這一狀態(tài)嗎？解：能。因?yàn)槿齻€(gè)力學(xué)量對(duì)易，故共同本征態(tài)為

目前十八頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)例題三求粒子處于時(shí)角動(dòng)量分量和分量的平均值。解：首先應(yīng)注意，是的共同本征函數(shù)，而不對(duì)易，故不是的本征函數(shù)。利用對(duì)易關(guān)系，則

目前十九頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)同理

由于坐標(biāo)與的對(duì)稱性，可得，故3不確定關(guān)系若算符和不對(duì)易時(shí)，常記為是一個(gè)力學(xué)量算符或普通的數(shù)。首先定義

（29）

（30）

（31）

目前二十頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)注意，仍為厄米算符，若巧妙設(shè)計(jì)積分利用的厄米性，可推出最后得出不確定關(guān)系

（32）

（33）

（34）

（35）

目前二十一頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)兩個(gè)力學(xué)量不對(duì)易時(shí)，導(dǎo)致兩力學(xué)量不能同時(shí)有確定值,或者說，它們不能有共同本征函數(shù)。對(duì)不確定關(guān)系應(yīng)著重掌握其物理意義

例如所以可見，若動(dòng)量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動(dòng)量為的自由粒子以波長(zhǎng)的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時(shí)，你能說出粒子的確定位置嗎？或

（36）

目前二十二頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)本征函數(shù)可寫為即位于點(diǎn)的波（粒子）是許多不同波長(zhǎng)（動(dòng)量）的平面波的疊加，你能說出該波的波長(zhǎng)（粒子的動(dòng)量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)，是粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。應(yīng)用不確定關(guān)系估算一些力學(xué)量的不確定范圍可參見教材。（37）

目前二十三頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)例題4一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在

求解：歸一化后可得利用有所以

目前二十四頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)所以

滿足不確定關(guān)系

目前二十五頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)恒量（守恒量）4.1力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化波函數(shù)描寫的狀態(tài)隨時(shí)間的變化滿足方程而這個(gè)狀態(tài)中力學(xué)量的平均值隨時(shí)加的變化為

（38）

目前二十六頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)利用（38）式及其共軛式，考慮到的厄米性，可得4.2運(yùn)動(dòng)恒量（守恒量）（39）式中，若算符不顯含時(shí)間，則，并且有，則有

（39）

力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化規(guī)律

（40）

目前二十七頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)平均值不隨時(shí)間變化的力學(xué)量，稱為運(yùn)動(dòng)恒量?；颍簼M足的不顯含時(shí)間的力學(xué)量為體系的運(yùn)動(dòng)恒量。請(qǐng)回答：對(duì)哈密頓算符，下面哪些力學(xué)量是運(yùn)動(dòng)恒量（守恒量）：對(duì)于（為常數(shù)）呢？

目前二十八頁\總數(shù)三十頁\編于十六點(diǎn)4.3守恒量的特點(diǎn)守恒量具有如下特點(diǎn)，即體系在任何狀態(tài)下：（1）其平均值不隨時(shí)間而變化；（2）其概率分布不隨時(shí)間而變化。證明特點(diǎn)（2）：因?yàn)?/p>