《信號(hào)與系統(tǒng)》課件第二章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

第二章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：連續(xù)系統(tǒng)微分方程的特點(diǎn)；系統(tǒng)響應(yīng)的分解形式；階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)；卷積及其應(yīng)用；§2.0引言§2.1微分方程的建立與求解§2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)§2.3卷積積分本章目錄§2.0引言描述線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的輸入-輸出特性的是線性常系數(shù)微分方程。從系統(tǒng)的模型（微分方程）出發(fā)，在時(shí)域研究輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時(shí)域特性的重要方法，這種方法就是時(shí)域分析方法。系統(tǒng)時(shí)域分析法包含兩方面的內(nèi)容，一是微分方程的求解，另一是已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，將沖激響應(yīng)與輸入激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行卷積積分，求出系統(tǒng)輸出響應(yīng)。§2.1微分方程的建立與求解

經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過(guò)，但與(t)有關(guān)的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決——h(t)；卷積積分法:任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過(guò)沖激響應(yīng)來(lái)求。(新方法)系統(tǒng)分析過(guò)程2.1.1微分方程的建立

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。系統(tǒng)分析過(guò)程根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。

對(duì)于電系統(tǒng)，建立其微分方程的基本依據(jù)是：

KCL：

i(t)＝0

KVL：

u(t)＝0

VCR：uR(t)=Ri(t)2.1.1微分方程的建立

2.1.1微分方程的建立

圖1即

對(duì)圖(a)，有對(duì)圖(b)，有即一般形式：2.1.1微分方程的建立

圖2.2例2-2圖2.2所示電路，試寫出電流試寫出電流

與激勵(lì)源

間的關(guān)系。解：根據(jù)KCL得:根據(jù)KVL得:根據(jù)電阻的伏安關(guān)系得:根據(jù)電容的伏安關(guān)系得:根據(jù)電感的伏安關(guān)系得:2.1.1微分方程的建立

2.1.1微分方程的建立

一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。2.1.2微分方程的求解(經(jīng)典法)分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。2.1.2微分方程的求解(經(jīng)典法)全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。齊次解的形式(1)特征根是不等實(shí)根s1,s2,,sn(2)特征根是等實(shí)根s1=s2==sn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根2.1.2微分方程的求解(經(jīng)典法)特解的形式特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)2.1.2微分方程的求解(經(jīng)典法)表2.1幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解零輸入響應(yīng)（儲(chǔ)能響應(yīng)）：

2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)從觀察的初始時(shí)刻起不再施加輸入信號(hào)，僅由該時(shí)刻系統(tǒng)本身的起始儲(chǔ)能狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)（ZIR）。

零狀態(tài)響應(yīng)（受激響應(yīng)）：當(dāng)系統(tǒng)的儲(chǔ)能狀態(tài)為零時(shí)，由外加激勵(lì)信號(hào)（輸入）產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）

。

LTI的全響應(yīng)：y(t)=yzi(t)+yzs(t)零輸入響應(yīng)（Zero-InputResponse）（1）即求解對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解

①特征方程的根為n個(gè)單根當(dāng)特征方程的根(特征根)為n個(gè)單根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根)λ1，λ2，…，λn時(shí)，則yzi(t)的通解表達(dá)式為2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

②

特征方程的根為n重根當(dāng)特征方程的根(特征根)為n個(gè)重根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根)λ1=λ2=…=λn時(shí)，

yzi(t)的通解表達(dá)式為:2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

（2）求yzi(t)的基本步驟

①求系統(tǒng)的特征根，寫出yzi(t)的通解表達(dá)式。

③將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入通解表達(dá)式，即得yzi(t)。

②由于激勵(lì)為零，所以零輸入的初始值：

確定積分常數(shù)C1，C2，…，Cn2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（1）即求解對(duì)應(yīng)非齊次微分方程的解（2）求yzs(t)的基本步驟

①求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達(dá)式y(tǒng)zs(t)。②根據(jù)f(t)的形式，確定特解形式，代入方程解得特解yp(t)

。

③求全解，若方程右邊有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得，確定積分常數(shù)C1，C2，…，Cn④將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入全解表達(dá)式，即得2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例2-82.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)解得§2.2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)2.2.1沖激響應(yīng)線性非時(shí)變系統(tǒng)（LTI），當(dāng)其初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)，記為h(t)。圖2-3沖激響應(yīng)示意圖2.2.1沖激響應(yīng)一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)例2-2-1求下圖2-4所示RC電路的沖激響應(yīng)。解：列系統(tǒng)微分方程：圖2-4圖題例2-2沖激在t=0時(shí)轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的儲(chǔ)能（由體現(xiàn)），t>0時(shí)，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。δ(t)特征方程特征根下面的問(wèn)題是確定系數(shù)A,求A有兩種方法：方法2：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法，定系數(shù)A。方法1:沖激函數(shù)匹配法求出，定系數(shù)A。即:2.2.1沖激響應(yīng)方法2：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡原理代入原方程整理，方程左右奇異函數(shù)項(xiàng)系數(shù)相平衡已知方程沖激響應(yīng)求導(dǎo)注意！2.2.1沖激響應(yīng)2.2.1沖激響應(yīng)圖2-5電容電壓的沖激響應(yīng)圖2-6電容電流的沖激響應(yīng)2.2.1沖激響應(yīng)解：求特征根沖激響應(yīng)求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。將e(t)→(t)， r(t)→h(t)帶u(t)求待定系數(shù)求0+法,奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法例2-2-22.2.1沖激響應(yīng)代入h(t),得求0+定系數(shù)用奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法求待定系數(shù)根據(jù)系數(shù)平衡，得2.2.1沖激響應(yīng)例2-2-3已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)在

作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為

,試求系統(tǒng)的沖激響

。2.2.1沖激響應(yīng)已知

根據(jù)非時(shí)變系統(tǒng)的特性，可以有

根據(jù)線性系統(tǒng)的特性，可以有解:（1）定義線性非時(shí)變系統(tǒng)（LTI），當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，用

表示。階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù)

時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如圖2-7所示。

2.2.2階躍響應(yīng)圖2-7階躍響應(yīng)示意圖n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的躍響應(yīng)對(duì)應(yīng)的的微分方程為：2.2.2階躍響應(yīng)及起始條件激勵(lì)的各階導(dǎo)數(shù)為零，但不為零，因此，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)的形式為齊次解加特解。躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系

例2-2-4

已知系統(tǒng)的微分方程為：

求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

。2.2.2階躍響應(yīng)解：由零狀態(tài)線性性得：

§2.3卷積積分教學(xué)目的：深刻理解并掌握卷積的定義，會(huì)利用其性質(zhì)求卷積，掌握卷積在LTI系統(tǒng)中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：卷積的定義，卷積的代數(shù)律及性質(zhì)，卷積在LTI系統(tǒng)中的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：理解卷積的圖解法，掌握卷積的系統(tǒng)分析法，會(huì)求任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。2.3.1卷積的定義

若f1(t)、f2(t)均為因果信號(hào)：

設(shè)f1(t)、f2(t)是定義在區(qū)間（，）上的兩個(gè)連續(xù)信號(hào)，將積分

定義為f1(t)和f2(t)的卷積，記作

即：

例

求解設(shè)1=1，2=3，則2.3.1卷積的定義4.相乘5.積分，求函數(shù)的面積。1.換元（t)3、卷積的圖解法2.反折3.移位2.3.2卷積計(jì)算圖12.3.2卷積計(jì)算(1)0t2時(shí)(2)t2時(shí)圖24、系統(tǒng)的卷積分析法

零狀態(tài)響應(yīng)=輸入信號(hào)沖激響應(yīng)

y(t)=f(t)h(t)過(guò)程：LTI（零狀態(tài)）(t)h(t)（定義）(t)h(t)（時(shí)不變性）

f(t)

(t)f(t)

h(t)

f(t)y(t)

f()(t)f()h(t)（齊次性）（可加性）2.3.2卷積計(jì)算圖8求零狀態(tài)響應(yīng)的圖示2.3.2卷積計(jì)算（1）代數(shù)性質(zhì)：

a、交換律：

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)如，輸入和沖激響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式互換位置，則零狀態(tài)響應(yīng)不變。2.3.3卷積積分的性質(zhì)b、結(jié)合律：

f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2.3.3卷積積分的性質(zhì)

c、分配律：

系統(tǒng)并聯(lián)：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。2.3.3卷積積分的性質(zhì)（3）積分特性：應(yīng)用：

f(t)*(t)=f(t)*(1)(t)若y(t)=f1(t)*f2(t)則即信號(hào)f(t)與階躍信號(hào)卷積，就等于信號(hào)f(t)的積分。

若y(t)=f1(t)*f2(t)則y(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)應(yīng)用：

f(t)*(t=f(t)（2）微分特性：2.3.3卷積積分的性質(zhì)圖3若y(t)