【教學】《空間線面關(guān)系的判定》參考教學

空間線面平行關(guān)系的判定第一課時在《立體幾何初步》一章中，我們研究了空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，能不能用直線的方向向量和平面的法向量來刻畫空間線面位置關(guān)系？問題情境知識梳理設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2．問題1展示模型并討論歸納l1∥l2，l1⊥l2如何用e1，e2表示？問題2展示直線與平面平行、垂直，觀察、討論l1∥αl，l⊥α如何用e1，n1表示？問題3展示兩個平面平行、垂直，觀察、討論、歸納α1∥α2，α1⊥α2如何用n1，n2表示？總結(jié)：設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則有下表結(jié)論：知識梳理例1

如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，M，N分別為A′B和B′C′的中點．求證：MN∥AC′．證法1（綜合法）：連接AB′，AC′．由∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′的中點．又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′．知識梳理證法2（坐標法）：以A為坐標原點，AB，AC，AA′所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O－xyz．設(shè)AA′＝1，則AB＝AC＝λ于是

所以可得

所以，根據(jù)向量共線定理，AC′∥MN．知識梳理例2

已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且

，

，求證：MN∥平面CDE．證法1（向量法）：因為M在BD上，且

，所以

，同理

，又

，所以

知識梳理例2

已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且

，

，求證：MN∥平面CDE．又

不共線，根據(jù)共面向量定理，可知

共面，由于MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN∥平面CDE．知識梳理證法2（坐標法）：因為矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，EF互相垂直．不妨設(shè)AB，AD，AF的長分別為3a，3b，3c，以

為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則所以

因為所以

知識梳理因為MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN∥平面CDE．又平面CDE的一個法向量是

，由

，得知識梳理變式：如上圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且

，AN，AE滿足什么數(shù)量關(guān)系時，MN∥平面CDE？知識梳理例3

如圖1，長方體ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點．求證：平面AMN∥平面EFBD．知識梳理綜合運用向量知識判斷、證明線面平行方法有：（1）