【教學(xué)】全稱量詞與存在量詞參考教學(xué)

全稱量詞與存在量詞

具體實例定義什么是全稱量詞和存在量詞表示如何表示應(yīng)用如何正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定辨析如何判斷含有一個量詞的命題的真假整體概覽問題1

閱讀教科書第26頁第一段，本節(jié)將要研究哪些內(nèi)容？請你羅列出來，如果讓你來設(shè)計本節(jié)內(nèi)容及其研究思路，你將會如何展開？

（1）x＞3；（2）2x＋1是整數(shù)．（1）（2）都不是命題，因為在這兩個語句中，不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷真假，所以它們不是命題．問題導(dǎo)入問題2

下列語句是命題嗎？為什么？

（1）x＞3；（2）2x＋1是整數(shù)；（3）對所有的x∈R，x＞3；（4）對任意一個x∈Z，2x＋1是整數(shù)．（3）（4）是命題．（3）在（1）的基礎(chǔ)上增加了短語“所有的”對變量x進(jìn)行限定；新知探究問題3

語句（3）（4）是命題嗎？比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？

（4）在（2）的基礎(chǔ)上增加了短語“任意一個”對變量x進(jìn)行限定，從而使（3）（4）成為可以判斷真假的陳述句，所以（3）（4）是命題．新知探究問題3

語句（3）（4）是命題嗎？比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？（1）x＞3；（2）2x＋1是整數(shù)；（3）對所有的x∈R，x＞3；（4）對任意一個x∈Z，2x＋1是整數(shù)．

用一個短語對變量的取值范圍進(jìn)行限定，可以使類似“x＞3”“2x＋1是整數(shù)”的開語句成為一個命題，我們把這樣的短語稱為量詞．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．通常，將含有變量x的語句用p（x），q（x），r（x），…，表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x，p（x）成立”可用符號簡記為：?x∈M，p（x）．新知探究

常見的全稱量詞：“每一個”“任意”“所有”“一切”“任給”等．全稱量詞的含義：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義．新知探究問題4

你還能說出哪些全稱量詞？全稱量詞的含義是什么？并試著舉出幾個全稱量詞命題．

全稱量詞命題舉例：（1）對任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）所有的一元二次方程都有實根；……新知探究

追問全稱量詞命題可以簡記為“?x∈M，p（x）”．在上述命題中，“M”，“p（x）”分別指的是什么？（1）“M”指的是R，“p（x）”指的是“x2＋1＞0”；（2）“M”指的是“所有無理數(shù)”，“p（x）”指的是“x2也是無理數(shù)”；（3）“M”指的是“所有一元二次方程”，“p（x）”指的是“方程都有實根”；……新知探究

（1）對任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）所有的一元二次方程都有實根；……（1）是真命題；對于?x∈R，總有x2＋1≥1＞0．所以，全稱量詞命題“對任意的x∈R，x2＋1＞0”為真命題；新知探究問題5

請判斷上述全稱命題的真假，并說明理由．

（2）是假命題；因為

是無理數(shù)，

是有理數(shù)．所以，全稱量詞命題“對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題；新知探究（1）對任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）所有的一元二次方程都有實根；……問題5

請判斷上述全稱命題的真假，并說明理由．

（3）是假命題；一元二次方程x2＋x＋1＝0沒有實根．所以，全稱量詞命題“所有的一元二次方程都有實根”是假命題．新知探究（1）對任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）所有的一元二次方程都有實根；……問題5

請判斷上述全稱命題的真假，并說明理由．

追問對給定的全稱量詞命題，如何判斷它的真假？如果對集合M中的每一個x，p（x）都成立，那么“?x∈M，p（x）”為真命題；如果在集合M中存在一個x0，使得p（x0）不成立，那么“?x∈M，p（x）”為假命題．新知探究

（1）2x＋1＝3；（2）x能被2和3整除；（3）存在一個x∈R，使2x＋1＝3；（4）至少有一個x∈Z，x能被2和3整除．（3）在（1）的基礎(chǔ)上增加了短語“存在一個”對變量x進(jìn)行限定；不是不是是是（4）在（2）的基礎(chǔ)上增加了短語“至少有一個”對變量x進(jìn)行限定，從而使（3）（4）成為可以判斷真假的陳述句，所以（3）（4）是命題．新知探究問題6

下列語句是命題嗎？比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．類比全稱量詞命題的符號表示，存在量詞命題“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符號簡記為?x∈M，p（x）．新知探究

常見的存在量詞：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某些”“有的”等．存在量詞的含義：在指定范圍內(nèi)，表示個別或一部分的含義．新知探究問題7你還能說出哪些存在量詞？存在量詞的含義是什么？并試著舉出幾個存在量詞命題．

存在量詞命題舉例：（1）有一個實數(shù)

，使x2＋1＝0；（2）存在一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）有些平行四邊形是菱形；……新知探究

（1）有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0；（2）存在一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）有些平行四邊形是菱形；……（1）是假命題；對于?x∈R，總有x2＋1＞0，即不存在x∈R，使得x2＋1＝0．所以，存在量詞命題“有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0”為假命題；新知探究問題8

你能判斷上述存在命題的真假嗎？說明理由，并類比全稱量詞命題總結(jié)出存在量詞命題真假的判斷方法．

（1）有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0；（2）存在一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）有些平行四邊形是菱形；……（2）是真命題；所以，存在量詞命題“存在一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是真命題；因為

＋1是無理數(shù)，（

＋1）2＝3＋

是無理數(shù)．新知探究問題8

你能判斷上述存在命題的真假嗎？說明理由，并類比全稱量詞命題總結(jié)出存在量詞命題真假的判斷方法．

（1）有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0；（2）存在一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（3）有些平行四邊形是菱形；……（3）是真命題；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．所以，存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題．新知探究問題8

你能判斷上述存在命題的真假嗎？說明理由，并類比全稱量詞命題總結(jié)出存在量詞命題真假的判斷方法．

如果在集合M中存在一個x0，使得p（x0）成立，那么“?x∈M，p（x）”為真命題；如果對集合M中每一個x，p（x）都不成立，那么“?x∈M，p（x）”為假命題．新知探究方法

歸納小結(jié)問題9

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了全稱量詞和存在量詞，全稱量詞和存在量詞的含義分別是什么？常用的表述形式分別有哪些？什么是全稱量詞命題和存在量詞命題？它們的符號表示分別是什么？如何判斷它們的真假？將所有內(nèi)容以表格的形式呈現(xiàn)出來．回顧本節(jié)學(xué)習(xí)過程，與你在問題1中設(shè)計的研究過程和思路是否一致？

全稱量詞存在量詞含義舉例對應(yīng)的命題表示判斷在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部．在指定范圍內(nèi)，表示個別或一部分．“所有的”、“每一個”、“任何一個”、“一切”等“存在一個”、“至少有一個”、“有些”、“有的”等全稱量詞命題存在量詞命題對M中任意一個x，p(x)成立存在M中元素x，p(x)成立?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)如果對集合M中的每一個x，p(x)都成立，那么“?x∈M，p(x)”為真命題如果在集合M中存在一個x0，使得p(x0)成立，那么“?x∈M，p(x)”為真命題如果在集合M中存在一個x0，使得p(x0)不成立，那么“?x∈M，p(x)”為假命題如果對集合M中每一個x，p（x）都不成立，那么“?x∈M，p(x)”為假命題歸納小結(jié)

1．下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．目標(biāo)檢測（1）對所有的實數(shù)a，b，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四邊形；（3）至少有一個偶數(shù)是素數(shù)；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．1

1．下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．目標(biāo)檢測（1）對所有的實數(shù)a，b，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；全稱量詞命題；?a，b∈R，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；假命題；因為當(dāng)a＝0，b≠0時，方程無解，所以其為假命題；1

1．下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．目標(biāo)檢測（2）所有的矩形都是平行四邊形；全稱量詞命題；?的矩形都是平行四邊形；真命題；根據(jù)矩形的定義可知其為真命題；1

1．下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．目標(biāo)檢測（3）至少有一個偶數(shù)是素數(shù)；存在量詞命題；?x是偶數(shù)，x是素數(shù)；真命題；所以“至少有一個偶數(shù)是素數(shù)”是真命題；2是偶數(shù)，2也是素數(shù)，1

1．下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．目標(biāo)檢測（4）存在x∈R，