【教學(xué)】《一元二次方程根的判別式》示范教學(xué)

第十七章一元二次方程17.3一元二次方程根的判別式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握一元二次方程根的判別式，能運用判別式，在不解方程的前提下判斷一元二次方程根的情況.2.通過一元二次方程根的情況的探究過程，體會從特殊到一般、猜想及分類討論的數(shù)學(xué)思想，提高觀察、分析、歸納的能力．情境導(dǎo)入1.先用公式法解下列方程：(1)x2+4＝4x(2)x2+2x＝3(3)x2－x＋2＝0你在求解過程中遇到什么問題？你是怎樣處理所遇到的問題的？情境導(dǎo)入觀察上面三個方程的根的情況，你有什么發(fā)現(xiàn)？一般的，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何時有兩個相等的實數(shù)根？何時有兩個不相等的實數(shù)根？它何時沒有實數(shù)根？探究新知本圖片是微課的首頁截圖，本微課資源針對《一元二次方程根的判別式》進(jìn)行講解，并結(jié)合具體例題，提高知識的應(yīng)用能力，有利于啟發(fā)教師教學(xué)或?qū)W生預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)使用.若需使用，請插入微課【知識點解析】一元二次方程根的判別式.探究新知思考：一般的，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，①它何時有兩個相等的實數(shù)根？②何時有兩個不相等的實數(shù)根？③何時沒有實數(shù)根？④為什么說方程根的情況是由b2-4ac決定的？請小組內(nèi)進(jìn)行討論、探究1.一元二次方程的根的判別式探究新知從我們剛剛的討論可得：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由b2-4ac來決定.因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式.通常用符號“Δ”(希臘字母)來表示，讀做“得爾塔”，即Δ=b2-4ac.探究新知能說出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況具體有哪幾種，又是如何判別的嗎？2.一元二次方程的根的判別方法一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①當(dāng)Δ＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，沒有實數(shù)根.探究新知不解方程，判別下列方程的根的情況(1)3x2－x＋1=3x(2)5(x2＋1)=7x(3)x2－4x=－42.一元二次方程的根的判別方法判別一元二次方程的根的情況的一般步驟為：①一化(將一元二次方程化為一般形式)；②二算(確定a、b、c的值，算出Δ的值)；③三判斷(根據(jù)結(jié)論1判別方程根的情況).例1已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判斷正確的是()A．該方程有兩個相等的實數(shù)根B．該方程有兩個不相等的實數(shù)根C．該方程無實數(shù)根D．該方程根的情況不確定新知運用利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況解：原方程變形為x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B.例2若關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()A．k>－1B．k>－1且k≠0C．k<1D．k<1且k≠0新知運用根據(jù)一元二次方程根的情況確定字母的取值范圍解：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2－4ac>0，同時要求二次項系數(shù)不為0，即(-2)2-4×k×(-1)>0,k≠0,解得k>－1且k≠0.故選B.例3已知a，b，c分別是△ABC的三邊長，求證：關(guān)于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0沒有實數(shù)根．新知運用一元二次方程根的判別式與三角形的綜合分析：欲證一元二次方程沒有實數(shù)根，只需證明它的判別式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三條邊的長可知a，b，c都是正數(shù)．由三角形的三邊關(guān)系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a.證明：∵b為三角形一邊的長，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是關(guān)于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三條邊的長，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程沒有實數(shù)根．新知運用例4是否存在這樣的非負(fù)整數(shù)m，使關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．新知運用利用根的判別式解決存在性問題

隨堂檢測1．一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根A隨堂檢測2．對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情況是(

)A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無法確定C隨堂檢測3．若關(guān)于x的方程x2＋(1－m)x＋

＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的最大整數(shù)值為___．4．若一元二次方程x