【教學】《三角函數(shù)的簡單應(yīng)用》示范教學北師大新課標

三角函數(shù)的簡單應(yīng)用新知探究現(xiàn)實世界和生活中，存在著大量的周期變化的現(xiàn)象．例如，單擺、彈簧等簡諧振動可以用三角函數(shù)表達為y＝Asin（ωx＋φ），其中x表示時間，y表示位移，A表示振幅，

表示頻率，φ表示初相位．新知探究如圖是單擺的示意圖．點O為單擺的平衡位置，如果規(guī)定擺球向右偏移的移位為正，則當擺球到達點C時，擺球的位移y達到最大值A(chǔ)；OCD當擺球到達點O時，擺球的位移y為0；當擺球到達點D時，擺球的位移y達到反方向最大值－A；當擺球再次到達O點時，擺球的位移y又一次為0；當擺球再次到達點C時，擺球的位移y又一次達到最大值A(chǔ)．新知探究這樣周而復始，形成周期變化．由此我們不難體會到周期變化現(xiàn)象是自然界中常見的現(xiàn)象之一，而三角函數(shù)是研究周期變化現(xiàn)象的重要模型．OCD在這一節(jié)里，我們將通過實例，初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題．新知探究問題1水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具．如圖，是一個水車工作示意圖，設(shè)水車（即圓周）的直徑為3m，其中心（即圓心）O到水面的距離b＝1.2m，逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈的時間是min、水車邊緣上一點P距水面的高度為h（單位：m）．（1）求h與旋轉(zhuǎn)時間t（單位：s）的函數(shù)解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像；（2）當雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中參數(shù)將會發(fā)生哪些變化？若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？教材例題．新知探究追問1：問題所給的數(shù)據(jù)中，有幾個量？哪些是變量、哪些是常量？它們之間有什么關(guān)系？高度與時間是變量，水車中心O到水面的距離、時間、高度、球的半徑四個量；水車半徑，水車中心O到水面的距離，逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈的時間是常量．新知探究追問2：為了方便研究，你需要做一些假設(shè)嗎？需要添加一些輔助線嗎？你能寫出相應(yīng)的模型嗎？需要，得到相應(yīng)的數(shù)學模型新知探究追問3：怎樣更直觀地看到該數(shù)學模型中所蘊藏的變化趨勢？畫出函數(shù)圖像觀察即可．新知探究追問4：反映該函數(shù)變化趨勢的關(guān)鍵點應(yīng)該怎樣?。坎嫵龊瘮?shù)圖象．令

這五個關(guān)鍵點能反映該函數(shù)變化趨勢．t11.831.851.871.891.8h1.22.71.2-0.31.2新知探究追問5：如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求的函數(shù)解析式h≈1.5sin（ωt－0.295π）＋b中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化？解析式h≈1.5sin（ωt－0.295π）＋b中，導致解析式中的參數(shù)b發(fā)生變化，雨季河水上漲時參數(shù)b減?。挥昙竞铀蠞q或旱季河流水量減少時將造成水車中心O與水面距離的改變，旱季時，水面回落時參數(shù)b增大．新知探究追問6：如果水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？如果水車轉(zhuǎn)速加快，將使周期T減小，轉(zhuǎn)速減慢則使周期T增大．練習練習：教材第65頁第1題．初步應(yīng)用例1

如圖所示，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）．解答：（1）由題圖知，這段時間的最大溫差是30－10＝20（℃）．（2）題圖中從6時到14時的圖像是函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半個周期的圖像．（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．所以

＝14－6，解得ω＝

，由圖像知，A＝

（30－10）＝10，b＝×（30＋10）＝20，所以y＝

＋20．初步應(yīng)用例1

如圖所示，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）．（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．所以

＝－1，可令

，所以綜上所述，所求解析式為y＝

＋20，x∈［6，14］．因為x＝6時，y＝10，所以10＝

＋20，初步應(yīng)用例2

某港口的水深y（單位：m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出曲線，如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看做函數(shù)y＝Asinωt＋b的圖像．（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)解析式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5m時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船何時能進入港口？在港口能待多久？初步應(yīng)用t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)解析式；（1）從擬合曲線可知，函數(shù)y＝Asinωt＋b在一個周期內(nèi)由最大變到最小需9－3＝6（h），此為半個周期，∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3．因此

＝12，得ω＝

．∵當t＝0時，y＝10，∴b＝10．∴所求函數(shù)的解析式為y＝

＋10（0≤t≤24）．∴函數(shù)的最小正周期為12h，初步應(yīng)用t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5m時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船何時能進入港口？在港口能待多久？（2）由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時水深y應(yīng)不小于7＋4.5＝11.5（m），∴當y≥11.5時就可以進港．令y＝

＋10≥11.5，得∴（k∈Z），初步應(yīng)用t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5m時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船何時能進入港口？在港口能待多久？∴1＋12k≤t≤5＋12k（k∈Z）．取k＝0，則1≤t≤5；因此，該船可以在凌晨1點進港，5點出港或在13點進港，17點出港，每次可以在港口停留4小時．取k＝1，則13≤t≤17；取k＝2，則25≤t≤29（不合題意）．歸納小結(jié)（2）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系？（1）建立三角函數(shù)模型的步驟是什么？（3）三角函數(shù)模型應(yīng)用的注意點是什么？問題2梳理數(shù)學建模的基本過程，回顧“閱讀實際問題、發(fā)現(xiàn)和提出問題、知識重構(gòu)，整體理解、數(shù)學建模”等學習過程，積累學習經(jīng)驗．（1）審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值→解決實際問題．（2）A，b與函數(shù)的最大值ymax，最小值ymin關(guān)系如下：①ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；②歸納小結(jié)（2）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系？（1）建立三角函數(shù)模型的步驟是什么？（3）三角函數(shù)模型應(yīng)用的注意點是什么？問題2梳理數(shù)學建模的基本過程，回顧“閱讀實際問題、發(fā)現(xiàn)和提出問題、知識重構(gòu)，整體理解、數(shù)學建?！钡葘W習過程，積累學習經(jīng)驗．（3）三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點：一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍；應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題時，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學關(guān)系，并利用相關(guān)知識來理解．作業(yè)布置作業(yè)：教科書P62練習4，5，6P8習題6，7B2．1目標檢測如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝

＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A．5

B．6

C．8

D．10由圖像可知，－3＋k＝2，∴k＝5，∴最大值為3＋k＝8．C2目標檢測據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每年出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜

）的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價9千克，7月份價格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定f（x）的解析式為（）A．f（x）＝

＋7（1≤x≤12，x∈N*）B．f（x）＝

（1≤x≤12，x∈N*）C．f（x）＝

＋7（1≤x≤12，x∈N*）D．f（x）＝

＋7（1≤x≤12，x∈N*）A2目標檢測據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每年出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜

）的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價9千克，7月份價格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定f（x）的解析式為（）∴當x＝3時，y＝9，∵解析：由題意，得A＝

＝2，b＝7．周期

＝2×（7－3）＝8，∴∵｜φ｜＜

，∴φ＝

，∴f（x）＝

＋7（1≤x≤12，x∈N*）．A3目標檢測如圖所示的圖象顯示的是相對平均海平面的某海灣的水面高度y（m）在某天24h內(nèi)的變化情況，則水面高度y關(guān)于從夜間0時開始的時間x的函數(shù)關(guān)系式為________________．∴ω＝

，下面確定φ．將（6，0）看成函數(shù)圖象的第一特殊點，則×6＋φ＝0．∴φ＝－π．解析：將其看成y＝Asin（ωx＋φ）的圖象，由圖象知：A＝6，T＝12，∴函數(shù)關(guān)系式為：4目標檢測建設(shè)生態(tài)文明，是關(guān)系人民福祉，關(guān)乎民族未來的長遠大計．某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應(yīng)節(jié)能減排的號召，在氣溫超過28℃時，才開放中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào)．如圖是該市夏季一天的氣溫（單位：℃）隨時間（0≤t≤24，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似的滿足函數(shù)y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞