高中生數列學習中的理解障礙及對策研究

【摘要

高中生數學習中的理障礙及對策研石龍中學楊波“理解”已成為數學教育界繼“問題解決”之后所關注的又一中心話.本文運用問卷調查法和測試法對筆者所在學校及部分兄弟學校的高二年級的學生展開了調查，分析了高中生列學習中的理解障礙的類型及產生的原因，提出了克服數列理解障礙的對.【

關鍵詞

】數學習；理解障礙；對策1研究的背景在當今世界“解”已成為數學教育界繼“問題解決”之后所關注的又一中心話美教育學家G.M.Bleinkin曾說“育不在于獲得有用的知識或技能，而在于發(fā)展求知能力，不在于學習而在于達成理解……”.這就說學習是作為獲取理解的手段，理解是教育的目.英國哲學家波蘭尼也指出：“……理解對于任何的認識過程來說是不可或缺的……未被理解的東西不能說是被認識.”這說明理解是獲得知識一種重要手段，學生只有對新的知識通過理解、轉化進入到自原有的知識結構，才能得到發(fā)展.數列是一種特殊的函數，是中學數學知識的重要組成部分，是初等數學和高等數學的一個重要銜接點是年高考必考的重點內容之.2009年考數學考試大綱對數列部分的要求是“能在具體的問題情境中識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題”，也就是新課程的考試大綱對數列的要求已經達到了“理解應用”的程.筆者發(fā)現，學生在學習數列時，能熟練地背出概念，卻不能正確運用它解決有關問題；有些老師也講評過多次、學生練過多遍的數列問題，過一段時間后學生又不會做過了解，發(fā)現教師在教學過程中不太注重引導學生探究知識的來龍去脈，而是把重心放在數列公式、性質的應用上用大量的訓練替代對知識的理解.這種教學環(huán)境下學生完全處于一種被動接受知識的狀態(tài)而致他們不得不死記硬背題型來解題列的知識沒有形成自己的理,當他們在遇到沒有練習過的數列題時就無從下手，引起心理上的挫折感，認為數列很難.2調查結果統(tǒng)計為了對高中生在數列學習中的理解障礙的情況有個整體的了解結自己的教學工作實踐，對本校及部分兄弟學校的2465名二學生進行了有關的測試和調查搜集了相關資料為本課題的研究提供了比較真實、可靠的依.中“解列識情的卷查果計（調查問卷見附錄1）選項

題號

1234567

33ABCDE

7.3%38.5%52.1%2.1%0%

21.9%39.6%33.3%3.1%2.1%

69.8%24.0%5.2%1.0%0%

16.7%40.6%40.6%1.2%0.9%

58.2%35.7%2.2%3.9%0%

3.1%16.7%41.6%38.6%0%

19.8%36.5%36.5%6.2%1.0%二生列解平試果計測卷見附錄2）結果

題號1

2

3

4

5

6

7正確錯誤沒做

11.3%88.7%0%

48.2%51.8%0%

71.1%28.9%0%

14.5%79.8%5.7%

93.1%4.3%2.6%

33.4%64.3%2.3%

80%20%0%以上調查數據表明，學生在學習數列知識時，存在對數列知識的理解方面的障礙，學習效果不夠理想3高中生數列學習中的數列理解障礙的類型及成因分析根據調查問卷和測試卷的結果，結合課堂提問、學生作業(yè)、單元練習等情況，我把高中生數列學習中的理解障礙的類型歸納為三種類型，并分別對其成因作了初步的分.象理障及因析這是一種低層次的理解障礙，主要是指學生經過一段時間的學習，對于初始概念、簡單的數學名詞、短語等，暫時不能形成正確的表象，由此對于后面知識的理解產生影響，造成理解障者在教學實踐中經過大量的觀察和分析，發(fā)現學生在理解基本數學概念時，這類障礙經常發(fā)生，且在后進生當中比較常.在問卷調查中，當學生被問到“通常在學完一節(jié)數列的新課時，你感覺對學知識的理解情況如?38.5%學生感覺自己“理解得較好且初步運用有關知識52.1%的學生認為“有時能理解，有時理解不好，可以模仿應用2%左右的學生認為“很少理解.明有一半的學生在學完一節(jié)新課后只能達到“模仿”水調查還發(fā)現有58.2%的生記憶數列的概念、公式是靠死記硬背，沒有真正領悟其中的含義，造成解題時只能硬套題型，無法靈活解.例1（測試題6）已知等比數列

3,S，則=____________.221此題有52.9%的學生只寫了一個案

32

，11.4%的生只寫了另一個答案，兩個答案都沒做到的有6.8%，有2.3%的學生沒.學生對等比數列求和公式沒有形成正確的表象，沒有理解求和公式中為什么要對

進行分類討論.事實上如學能理解等比數列求和公式的推導過程就知道求和時為什么要對q進討論了

例2已數列

n

n

nn

*

)

列

項和為______.n這是一道簡單的數列求和問題，但仍有相當一部分學生在解題時沒有發(fā)現該數列是等差數列，而用“加法求解既浪費間又容易出錯究其原因主要是學生只知道死記硬背數列公，沒有理解公式的意義所以當公式稍稍變形時們就無法轉化為熟悉的題.對剛學完或學完時不太長的概念，這個問題還不太突出，如果時間稍長，對概念記憶模糊不清、似是而非的矛盾會暴露出來，這種情況在后進生中普遍存.通過對上面兩個例子的分析，我認為表象型理解障礙的形成原因主要是：（學對數學符號的認知錯影響他們形成正確的表由于數學是一門高度抽象的學科此不可避免地產生某些概念原超出學生認知水平的現特別在數列的教學上數學符號的認對學生來說是一大難.（師重視設置直觀情境造表象型障.新課程的課程設置是高一高二每個學期都要學完兩本書六個章節(jié)的內容，在這樣的要求下，教師的每節(jié)課的內容非常多，于是很多教師跳過書每節(jié)概念前的情境，將數學和生活脫離開，直接進入數學學習，使得數學的抽象性更加明顯，學理解概念更加困難.3.2認型解礙成分這是在高中數學后進生中比較常見的一種理解障.這種障礙是指學生在理解數學知識過程中，由于原有的數學基礎有缺陷，認知結構不完善，從而在理解新的數學知識時產生障.主要有：(1)等差數列與等比數列之間的似性產生的理解障礙因為等差數列與等比數列在定義、通項公式、性質等方面都有極大的相似性，學生容易產生混淆，不知解題時該選擇哪個公.調查發(fā)現有接近20%學生表示“會將等差數列和等比數列的性質混淆”產這種障礙的學生，其數學認知往往處于中下水.例3（試題3）某地擬建一圾處理,根據調,該地區(qū)垃圾的年增長量為,2005年的圾量為

,則從2005年到2010年垃圾總量()A.

B.

b

C.

)

D.

a本題中的詞“年增長量”對的數列為等差數列“年增長率”對應數列為等比數,做測試題時有大約22%的學生沒分清楚這兩個詞眼對應的數列不同而錯選了答案C.也就說，當生學習了這樣兩個相似的概念后，只是機械地記憶，沒有真正理解這兩個概念的區(qū)別，歸根結，產生障礙的原因是學生原有的認知結構不完善而造成的，知識點的相似性只不過給學生的理解加了困難，使他們的理解障礙由隱性變?yōu)轱@（）解數列應用題時產生理解障礙這類障礙主要是由于學生在解決實際問題時，缺乏一定的生活常識、經驗背景，或是對其他學科的專業(yè)術語了解甚少而造成.解數列應用題時，這類障礙最常.例4（試題7）某種細菌在培養(yǎng)過程中，每半小時分裂一一個分裂為兩個)，經過小

時，這種細菌由一個可繁殖成_____個有20%的學生做錯了這道題，其除了有的學生是計算出錯外，還有15%的生是錯將此題當成求等比數列的前n項，因為他們不知道細胞分裂后原來的細胞已經不存在（）清楚概念、命題的特殊性產生的理解障礙這是由于數列的概念、命題等具有特殊性，當學生用一般的概念、命題的定義去理解時，產生了疑惑、困.例5（試題2知等比數列

n

a是程2

x0

的兩根a）6A.3B.

2

C.

2

D.

或此題有的生做錯，其中有將近一半的學生選了D.于本例而言，驗證

6

是否符合題意這一環(huán)節(jié)，不少學生認為是不必要的，因為

26

a2

成立完全可保證

a,a2610

成等比數列．但沒想到

26

時，不能使數列

n

學對本題產生理解礙的原因是對等比數列奇數項、偶數項的符號分別相同這一概念比較生疏，只想到用韋達定理中的兩根積a

6

，卻沒有用兩根和來檢查

a2

的符號從上面三個例子，可以看出認知型理解障礙的形成原因主要是：（）生對概念、公式不能真正理解而形成認知障礙英國學者斯根普指出“對某個事物的理解，指的是將它同化進入一個適當的圖式、結構之”這里的意思一是指學習者對新事物的理解要調動起頭腦中已有的與之相關的知識結構，使新事能與之建立聯系，并同化于其中，否則就不能產生理解；二是指這種圖式必須是恰當的，否則無產生理解調查發(fā)現有58.2%的學生是靠死硬背的方法記憶乏對于基本概念的真正理解6.1%的學生很少記公式或不記公式.學習過程中于數列的概念式能很快的記憶不理，使得學生無法從自己原有的認知結構中順利提取到概念公式的有關信息，就會造成他們理解新識能力差、解題速度慢，對數列學習的信心減不意去記憶或不能理解地記憶數列的概念、公式是很多有認知型障礙的學生解題錯誤的主要原.在調查中還發(fā)現有20%的學生在利用相似的公式解題時會產生混淆，如等差數列和等比數列的性質、定義.原因是在學生的圖示中，新學習材料與原有觀念之間不具有可辨別性，當學生提信息時就會產生混.（）師的傳統(tǒng)的“填鴨式”教學影響認知過程雖然新課程主張鼓勵學生多進行自主探究生要成為課堂的主.但是目前中學課堂采用的大多是“講授式”的教學方式，教師的教學觀念沒有得到更新，認為只要老師在課堂上把知識講楚、講明白，知識就可以無條件地灌輸給學生，卻沒有意識到學生的學習過程需要在他們的原有的構

，且n系統(tǒng)上主動建構，由于學生在知識的接受上本來就存在差異，因此那些基礎薄弱的學生的問題會日積月累，形成認知障礙.，且n系理障及因析所謂聯系型理解障礙是指學生在學習新知識的時候不能有意識地同前面與此相關的知識建構實質性的聯系而產生的一種理解障.在平時的學習中，學生沒有養(yǎng)成總結數列與其他數學知識交匯的常見題型及對應的解題策略的習慣，解題時往往是隨心所欲，毫無章法，不能對題目進行合理的分析和轉化，這就需要教師導學生平時注意總結各種交匯的題型的處理方法，掌握常見的解題技巧，達到“以不變應萬變.例6（試題4）等差數列

n

項和分別為

S

n

和

n

n

，則

55

=A．

2B．C．D314這是一道典型的易錯題，測試的結果是有的學生選了A.們的思路是：由

，得nnnn

10254T54

.造成這種理解障礙的原因是他忘記了初中學“和比例的性質了種完全錯誤的推導過.這種理解障礙不但會發(fā)生在后進生身上，而且也會發(fā)生在一些數學基礎比較好的學生身.聯系型理解障礙的形成原因主要有：（）生的基礎知識不扎實形成理解障礙新課程的要求是知識形成的過程“螺旋式上升在課程設置上是高一學完函數的內容后緊接著學習立體幾何、解析幾何中的直線與圓、三角，還有統(tǒng)計，而學生進入高二后對函數和角的知識已經差不多忘記了，特別是冪函數、指數函數、對數函數中的一些運算法則根本不記得.由于有的學生在數學學習上的惰性，不記得的公式不會主動去回憶，去記憶，使得他們在數列習中，這些舊知識的不完整影響了他們對數列的理解，無法建立它們之間的有效聯系，甚至對于師在課堂上的有關運算也看不懂.以在調列式“算個較難時有36.5%的生認“算”較難，有36.5%的生認為兩個都難.（）視復習舊知形成理解障礙聯系型理解障礙的產生在很大度上是由于不能把前后知識聯系起.在課堂教學中特是新課的教學前很老師都會幫學生回憶上節(jié)課的所學內容建立新舊內容之間的聯系.此時學生在理解與上節(jié)課有關的內容的時候會比較少障礙，但是當新課內容涉及高一所學的知識時，生已經遺忘這些知識，教師又沒有有意識地引導學生回憶以前學過的知識，前后知識的條件、結，只補充結論性的知識，而不對知識的來龍去脈說清楚，學生仍然不能建立聯系，造成學生的聯型

障礙.例如，在等比數列中經常到指數冪的運算，教師通常是用到哪個公式就復習哪個公式，不復習與之相關的公式4克服數列學習中的理解障礙的對策筆者根據自己的教學實踐和查閱有關的研究高中生數列學習中的理解障礙的類型因提出以下對策來解決高中學生數列理解障置當題境克表型解礙新課程理念下的數學教學，應結合具體的教學內容，創(chuàng)設適當的問題情境，讓學生經歷知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，從而更好地理解數學知.建構主義的教學觀認為學幫助他人發(fā)展或變觀念的的項重要任務是從學生實際出發(fā)過提供或設置適當的問題情境或現實實例使學生思考，引起學生必要的認知沖突，從而讓學生最終通過其主動的再發(fā)現、再創(chuàng)造構建新認知結構例如在講授等差數列前

n

項和之前，先舉數學王子高斯小時候計12

的例子很多學生知道這個故事，也知道高斯是用什么方法求解.時，教師提出問題：（）果改成

2

，你能否快速地算出？（）樣求

1n為奇數（為數）？（）否找到一種方法可以求出1（N*?由學生熟悉的問題入手，通過層層設問，層層深入，讓學生發(fā)現：用“倒序相加法”就可以避免對

n

是奇數還是偶數的討.這樣學對“倒序相加法”的優(yōu)點、適用范圍都會有較深的體.用式習反，服知理障所謂“變式在直觀過程，從不同角度、方面和方式變換事物非本質的屬性，以便揭示其本質特征的過.變式訓練不是簡單的重復一次的變式都可能有助于學習者關注問題的不的方面，都可能讓他們覺得有新的理念冒出，也有可能讓他們從不同的角度看問題，因而加深們的理解，完善他們的認知結構.例如對于等差數列前n項的性質：等差數中，S,Sn2

3

2

組成等差數列，教師經常會舉這道題：已知

n

列

10

100,S

100

10,求110

.教可以引導學生用多種方法解答此題.然后出此題的變式：已知

n

列

n

2n

求

3

.由體的數字上升到參數

n

，學生能從這個過程中體會到等差數列前

n

項和的性質對解題帶來的方便，加深了對性質的理解.在高中數學中有很多概念、法則，學生很容易產生理解障師應該對相關概念、法則從正反兩方面加以比較辨別，找到容易混淆、模糊的地方，同時注意運用反例和特例鮮明的直觀特征引起學生的注.充應基知，服系理障

要讓學生理解新的數學概念鍵是教師要幫學生準備好已有的認知結構便組織起新概念.如果他們缺乏必需的結構，教師應立即補充，且要達到一定的穩(wěn)定程教在講授新課時，首先明確新的知識需要哪些預備知識，新課之前的復習不僅僅是上節(jié)課所學內容，還應包含新知識必需的全部預備知.例如在學習等比數列的前n和時，會用到很多冪的運算.有一部分學生因為對的運算不熟練或已經遺忘了運算法則，而教師在講課時過分關注運算而忽視對預備知識的復習，造成聯系理解障礙所，教師不妨先復習一下有關知識，為學生理解新的知識鋪平道.5結束語在數學的各個模塊的學習過程中，學生都會存在理解障礙，理解障礙的類型和原因也會不同，本文研究了數列學習中的理解障礙，希望能起到拋磚引玉的作用，為以后研究高中生在數學其模塊學習中的理解障礙提供參考.附錄高中生理解數列知”情況調查本卷共有7道，請仔細閱讀每道題，然后根據自己的實際情況，從A、B、、D四項選擇一項.如果這四個選項都不符合的情況，或者你還有其他想法，請在E項中上自己的觀.1.通常在學完一節(jié)數列的新課時你感覺對所學知識的理解情況如?()A理得很透徹，而且能靈活運B理解得較好，且能初步運用有關知識C有能理解，有時理解不好，以模仿應用D很少能理解E___________________2.數列的某一節(jié)課上完后，你能自如地與同學或老師交流你的學習收)A多數情況下可以B只能交流其中的一部分理解了但表達不夠好D理得很少E______________________3.你認為“理解”在數列學習中的地位重不重?()A非重要B重C一般D重要E_____________________4.你認為自己的理解能力處于(A較水平B中偏上C中水平D中等偏下E________________5.對數列的概念、公式，你是怎樣記憶?A死硬背B先解后記憶C很少記D完不記E___________________6.你在利用等差數列或