分層抽樣Word版含解析

14.2.2分層抽樣學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過實例，了解分層抽樣的特點和適用范圍．(重點)2．了解分層抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．(重點，難點)3.結(jié)合具體實例，掌握分層抽樣的樣本均值．(重點)1.通過對分層抽樣的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過對分層抽樣的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).在對金陵中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采取簡單隨機(jī)抽樣的方式抽取了50名學(xué)生．可能出現(xiàn)樣本中50個個體大部分來自高個子或矮個子的情形，這種“極端”樣本的平均數(shù)會大幅度地偏離總體平均數(shù)，從而使得估計出現(xiàn)較大的誤差，能否利用總體中的一些額外信息對抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢？分層抽樣(1)分層抽樣的概念當(dāng)總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾個部分，然后按各部分在總體中所占的比實施抽樣，這樣的抽樣方法叫作分層抽樣．思考1：分層抽樣的總體具有什么特性？提示：分層抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體．(2)分層抽樣的步驟①將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；②計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；③按各層的個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；④在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡單隨機(jī)抽樣)．思考2：簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：區(qū)別：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個抽取樣本；分層抽樣則首先將總體分成幾層，在各層中按比例分配抽取樣本．聯(lián)系：(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣．1．某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為()A．30B．25C．20D．15C[樣本中松樹苗為4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵)．]2．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是()A．簡單隨機(jī)抽樣B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法D．分層抽樣D[從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層抽樣．]3．某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取________名學(xué)生．40[C專業(yè)的學(xué)生有1200－380－420＝400(名)，由分層抽樣原理，應(yīng)抽取120×eq\f(400,1200)＝40(名)．]對分層抽樣概念的理解【例1】(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機(jī)關(guān)對政府機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適()A．抽簽法B．隨機(jī)數(shù)法C．簡單隨機(jī)抽樣法D．分層抽樣法(2)分層抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進(jìn)行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個體數(shù)量相同(1)D(2)C[(1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層抽樣法．(2)保證每個個體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。甝1．使用分層抽樣的前提分層抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體，而層內(nèi)個體間差異較?。?．使用分層抽樣應(yīng)遵循的原則(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合用分層抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層抽樣．]分層抽樣的應(yīng)用【例2】某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]抽樣過程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；從教師中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師人員14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個體組合在一起構(gòu)成所需樣本．分層抽樣的步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程．[解]因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法．具體過程如下：第一步，將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．第二步，按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各層抽取的人數(shù)隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本．第四步，將300人合到一起，即得到一個樣本．分層抽樣中的計算問題[探究問題]1．在分層抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個體數(shù)？提示：每層抽取的個體的個數(shù)為ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)，eq\f(n,N)為抽樣比．2．在分層抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個體數(shù)、各層抽取的樣本數(shù)這四者之間有何關(guān)系？提示：設(shè)總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)為Ni，各層抽取的樣本數(shù)為ni，則eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，這四者中，已知其中三個可以求出另外一個．【例3】(1)交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101B．808C．1212D．2012(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個個體．(3)分層抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為____________．(1)B(2)20(3)6[(1)因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)∵A，B，C三層個體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，∴分層抽樣應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個)個體．(3)eq\x\to(ω)＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6.]在例3(2)中，A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20，則樣本的平均數(shù)為________．20.5[由題意可知樣本的平均數(shù)為eq\x\to(ω)＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.]進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計算時，常用到的2個關(guān)系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．1．對于分層抽樣問題，常利用以下關(guān)系式求解：eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(各層抽取的樣本數(shù),該層的容量).2．選擇抽樣方法的規(guī)律：(1)當(dāng)總體和樣本量都較小時，采用抽簽法；當(dāng)總體量較大，樣本量較小時，采用隨機(jī)數(shù)表法；(2)當(dāng)總體可以分為若干個層時，采用分層抽樣．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在統(tǒng)計實踐中選擇哪種抽樣方法關(guān)鍵是看總體容量的大?。?)(2)分層抽樣中，個體數(shù)量較少的層抽取的樣本數(shù)量較少，這是不公平的．()(3)從全班50名同學(xué)中抽取5人調(diào)查作業(yè)完成情況適合用分層抽樣．()[解析](1)錯誤．在統(tǒng)計實踐中選擇哪種抽樣方法除看總體和樣本容量大小外，還要依據(jù)總體的構(gòu)成情況．(2)錯誤．根據(jù)抽樣的意義，對每個個體都是公平的．(3)錯誤．適合用簡單隨機(jī)抽樣．[答案](1)×(2)×(3)×2．某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法B．簡單隨機(jī)抽樣C．分層抽樣D．隨機(jī)數(shù)法C[根據(jù)年級不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應(yīng)為分層抽樣．]3．甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生()A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人D．30人，50人，10人B[先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故選B．]4．某大學(xué)為了了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取________名學(xué)生．60[根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.]5．一批產(chǎn)品中有一級品100