計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第七章隨機(jī)解釋變量問(wèn)題

§7.隨機(jī)解釋變量問(wèn)題一、隨機(jī)解釋變量問(wèn)題二、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的隨機(jī)解釋變量問(wèn)題三、隨機(jī)解釋變量的后果四、工具變量法五、案例基本假設(shè):解釋變量X1,X2,…,Xk是確定性變量。如果存在一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量問(wèn)題。假設(shè)X2為隨機(jī)解釋變量。對(duì)于隨機(jī)解釋變量問(wèn)題，分三種不同情況：

一、隨機(jī)解釋變量問(wèn)題對(duì)于模型

1.隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)獨(dú)立(Independence)

2.

隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)同期無(wú)關(guān)(contemporaneouslyuncorrelated)，但異期相關(guān)。3.隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)同期相關(guān)(contemporaneouslycorrelated)。

二、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的隨機(jī)解釋變量問(wèn)題在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，經(jīng)濟(jì)變量往往都具有隨機(jī)性。但是在單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，凡是外生變量都被認(rèn)為是確定性的。

于是隨機(jī)解釋變量問(wèn)題主要表現(xiàn)于：用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。例如：

（1）耐用品存量調(diào)整模型：

耐用品的存量Qt由前一個(gè)時(shí)期的存量Qt-1和當(dāng)期收入It共同決定：

Qt=0+1It+2Qt-1+t

t=1,T這是一個(gè)滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不存在隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)性，那么隨機(jī)解釋變量Qt-1只與t-1相關(guān)，與t不相關(guān)，屬于上述的第2種情況。

（2）合理預(yù)期的消費(fèi)函數(shù)模型

合理預(yù)期理論認(rèn)為消費(fèi)Ct是由對(duì)收入的預(yù)期Yte所決定的：

預(yù)期收入Yte與實(shí)際收入Y間存如下關(guān)系的假設(shè)

容易推出Ct-1是一隨機(jī)解釋變量，且與(t-t-1)高度相關(guān)（Why?）。屬于上述第3種情況。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的話，如果仍采用OLS法估計(jì)模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機(jī)解釋變量會(huì)產(chǎn)生不同的后果。下面以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說(shuō)明

三、隨機(jī)解釋變量的后果

隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)圖

（a）正相關(guān)

（b）負(fù)相關(guān)

擬合的樣本回歸線可能低估截距項(xiàng)，而高估斜率項(xiàng)。

擬合的樣本回歸線高估截距項(xiàng)，而低估斜率項(xiàng)。對(duì)一元線性回歸模型：

OLS估計(jì)量為1、如果X與相互獨(dú)立，得到的參數(shù)估計(jì)量仍然是無(wú)偏、一致估計(jì)量。

已經(jīng)得到證明

隨機(jī)解釋變量X與隨機(jī)項(xiàng)的關(guān)系不同，參數(shù)OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也會(huì)不同。

2、如果X與同期不相關(guān)，異期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有偏、但卻是一致的。

kt的分母中包含不同期的X；由異期相關(guān)性知：kt與t相關(guān)，因此，但是3、如果X與同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有偏、且非一致。

注意：如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當(dāng)該滯后被解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)同期相關(guān)時(shí)，OLS估計(jì)量是有偏的、且是非一致的。即使同期無(wú)關(guān)，其OLS估計(jì)量也是有偏的，因?yàn)榇藭r(shí)肯定出現(xiàn)異期相關(guān)。

2的證明中已得到

模型中出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，OLS估計(jì)量是有偏的。

如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)異期相關(guān)，則可以通過(guò)增大樣本容量的辦法來(lái)得到一致的估計(jì)量；但如果是同期相關(guān)，即使增大樣本容量也無(wú)濟(jì)于事。這時(shí)，最常用的估計(jì)方法是工具變量法（Instrumentvariables）。

四、工具變量法1、工具變量的選取工具變量：在模型估計(jì)過(guò)程中被作為工具使用，以替代模型中與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的隨機(jī)解釋變量。選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：

（1）與所替代的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；（2）與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)；（3）與模型中其它解釋變量不相關(guān)，以避免出現(xiàn)多重共線性。

2、工具變量的應(yīng)用

以一元回歸模型的離差形式為例說(shuō)明如下：用OLS估計(jì)模型，相當(dāng)于用xi去乘模型兩邊、對(duì)i求和、再略去xii項(xiàng)后得到正規(guī)方程：

(*)解得然而，如果Xi與i相關(guān)，即使在大樣本下，也不存在

(xii)/n0

，則在大樣本下也不成立，OLS估計(jì)量不具有一致性。由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味著大樣本下

(xii)/n0

表明大樣本下成立，即OLS估計(jì)量具有一致性。如果埋選擇Z為X的工具象變量，那么布在上含述估更計(jì)過(guò)衣程可護(hù)改為闖:利用E(zii)=猶0，在大快樣本跡下可秀得到那：這種碎求模飽型參卸數(shù)估起計(jì)量貴的方哥法稱去為工具旬變量懇法(in坡st礙ru吵me奸nt端al灶v膏ar當(dāng)ia膽bl聞e茅me留th版od)，相應(yīng)簽的估短計(jì)量面稱為工具浮變量憲法估達(dá)計(jì)量（in本st巨r(nóng)u丑me甲nt圾al宿v辛ar礙ia決bl晚e極(I鑄V)鞋e宅st除im腐at念or）。對(duì)于矩陣昂形式：Y=X+采用仆工具爪變量售法（勤假設(shè)X2與隨米機(jī)項(xiàng)煩相關(guān)砍，用扇工具挺變量Z替代商）得遵到的正規(guī)叔方程唯組為：參數(shù)晚估計(jì)趨量為翼：其中稱為工具剖變量蜜矩陣3、工詳具變糖量法袍估計(jì)咐量是盟一致陜估計(jì)銳量一元回歸和中，念工具介變量妹法估逝計(jì)量越為如果詢工具搭變量Z選取蜘恰當(dāng)碧，即南有兩邊零取概哭率極彈限得交：因此功：1、在認(rèn)小樣闊本下拐，工蹈具變盾量法非估計(jì)瞇量仍柴是有皂偏的。注意罪：2、工趟具變臟量并招沒(méi)有貪替代歐模型晨中的秒解釋側(cè)變量，只是是在悉估計(jì)久過(guò)程悼中作采為“狗工具袍”被汗使用健。上述刊工具搬變量暑法估殼計(jì)過(guò)候程可等邊價(jià)地膠分解大成下面賊的兩五步OL詳S回歸級(jí)：第一巴步，用OL頌S法進(jìn)翁行X關(guān)于符工具返變量Z的回漁歸：容易污驗(yàn)證右仍有:因此麗，工具峽變量就法仍毯是Y對(duì)X的回鞋歸，腔而不黃是對(duì)Z的回環(huán)歸。3、如果相模型鵝中有察兩個(gè)用以上叔的隨詢機(jī)解哨釋變鞭量與敗隨機(jī)唉誤差尾項(xiàng)相慶關(guān)，感就必熟須找毛到兩睡個(gè)以思上的則工具益變量。但板是，費(fèi)一旦稀工具刑變量涌選定絮，它婦們?cè)趧e估計(jì)紹過(guò)程蠅被使熊用的醒次序毅不影旦響估博計(jì)結(jié)驕果(Wh照y？?jī)S)。4、OL韻S可以慘看作耍工具騰變量低法的怨一種揚(yáng)特殊頁(yè)情況扶。5、是如果孝1個(gè)硬隨機(jī)損解釋船變量霞可以衰找到隔多個(gè)峽互相舒獨(dú)立盼的工貍具變知量，盯人們界希望椒充分這利用握這些燦工具槐變量頌的信連息，膀就形效成了廣義撥矩方為法（Ge既ne遍ra仙li甜ze切d竭M(jìn)e奴th規(guī)od替o粉f牽Mo鑰me雀nt汽s,凳G習(xí)MM）。在GM拐M中，件矩條學(xué)件大料于待顏估參熔數(shù)的泥數(shù)量賢，于這是如舍何求鞏解成嗎為它盛的核刃心問(wèn)雖題。工具壺變量血法是GM饅M的一衛(wèi)個(gè)特破例。6、羨要找震到與壞隨機(jī)杜擾動(dòng)愚項(xiàng)不激相關(guān)屢而又伏與隨舟機(jī)解秘釋變北量相斗關(guān)的宜工具現(xiàn)變量付并不普是一色件很何容易鏈的事可以嫂用Xt-1作為雞原解蓄釋變解量Xt的工照具變吼量。五、盲案例——中國(guó)震居民心人均恨消費(fèi)偶函數(shù)例7.夢(mèng).1在例2.姓5.緣瑞1的中國(guó)攀居民臭人均吊消費(fèi)蓮函數(shù)的估時(shí)計(jì)中泰，采腐用OL獅S估計(jì)欄了下罪面的選模型閱：由于堅(jiān)：居挪民人筋均消游費(fèi)支惕出（CO釘NS胸P）與人謀均國(guó)繪內(nèi)生探產(chǎn)總構(gòu)值（GD急P(pán)P）相互娃影響膝，因面此，容易茄判斷GD毅PP與同期依相關(guān)勢(shì)（往僅往是牽正相艷關(guān)），OL勵(lì)S估計(jì)盒量有否偏并弊且是暗非一銹致的眼（低滔估截稠距項(xiàng)特而高付估計(jì)弓斜率鴨項(xiàng)腐）。OL列S估計(jì)富結(jié)果王：(1舟3.談51找)贈(zèng)(5帖3.價(jià)47貼)R2=0隊(duì).9彎92現(xiàn)7鍋F=駐28據(jù)59貝.2型3醋DW將=0輸.5鉆50訂3竄SS踩R=智23礎(chǔ)24醒0.沒(méi)7如果魂用GD逮PPt-1為工英具變匆量，蛛可得杰如下嚷工具另變量博法估融計(jì)結(jié)獸果：(1鬼4.指84似)奏(5另6.腰04泰)R2=0尚.9濤93去7覆F=缺31擱40寬.5皆8輝DW滋=0恭.6錯(cuò)69襪1斜SS倚R=頂18序36貪6.漿5GM蔽M是近20年計(jì)抬量經(jīng)歲濟(jì)學(xué)丹理論羽方法謊發(fā)展兩的重汁要方壞向之活一