實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題(學生版本)

實際問題與元一次方程經(jīng)典例題經(jīng)例透析類一列二一方程解—行問題

2013年5月1．甲、乙兩地相距160千，輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行1小時20分相.相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回在車次出發(fā)半小時后追上了拖拉.這時汽車拖機各自行駛了多少千米？總升：據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關系找出等量關系，是行程問題的常用的解決策略?！咀?甲、乙兩人相距千，相向而行，如果甲乙先走小，那么他們在乙出發(fā)2.5小后相遇；如果乙比甲先走2小時那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千？【變2】兩地相距280千米，一艘船在間航行，順流用14小，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度＝靜水中的速度＋水速船逆流速度＝靜水中的速度－水速類二列二一方程解—工問題

2．一家商店要進行裝修，若請、乙兩個裝修組同時施工，8天以完成，需付兩組費用共元；若先請甲組單獨做6天，請乙組單獨做12天可成，需付兩組費用共3480元問(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元已甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完，單獨請哪組，商店所付費用最少？思點：題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：請甲、乙兩個裝修組同時施工天可以完成，需付兩組費用共3520元第二層含義：若先請甲組單獨做天再請乙組單獨做12天可成，需付兩組費用共3480元設甲組單獨做一天商店應付元，乙組單獨做一天商店應付y元由一層含義可得方程8（x+y）=3520,由二層含義可得方程6x+12y=3480.釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。舉反：變】明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2元；1

若甲公司單獨做4周，剩下的由乙公司來做，還需9周成，需工錢4.8萬.若只選一個公單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應選甲公司還是乙公司？請你說明理.類三列二一方程解—品售利問

3．有甲、乙兩件商品，甲商品利潤率為乙商品的利潤率為4%,可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的潤率為5%，共可獲利44元則兩件商品的進價分別是多少元？思點：此題的關鍵要知：潤＝進價×利潤率舉反：【變1】（湖衡陽）李大叔去承包了10畝地植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變2】商場用36萬元購進A、兩商品，銷售完后共獲利6萬，其進價和售價如下表：進價（元/件）售價（元/件）（注：獲利=售價—進價求該商場購進A、兩種品各多少件；

A12001380

B10001200類四二一次程解決—銀行蓄題

4小明的媽媽為了準備小明一后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為％教育儲蓄，另一種是利率為2.25％的一年定期存款一后取出2042.75元問兩種儲蓄各存了多少錢（利息所得稅利息金額×，育儲蓄沒有利息所得稅總升:我在解一些涉及到行程收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關系，題目中的相等關系隨之浮現(xiàn)鵝婭2

舉反：【變1以兩種形式分別蓄了2000和元后全部取出利所得稅可得利息43.92元已兩種儲蓄年利率的和為3.24%問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應繳利息所得稅利金額×20%）思點：稅的情況：本金×年利率(1-20%)×數(shù)利（其中利息所得利息金額×20%）不稅時：利息本金×年利率×年.類五列二一方程解—生中的套題

5．服裝廠生產(chǎn)一批某種款式秋裝，已知每2米某布料可做上衣的衣身個或衣袖5.現(xiàn)計劃用132米種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗，分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套思點：題的第一個相等關系比較容易得出衣衣所用布的和為132米第個相等關系的得出要弄清一整件衣服是怎么配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的倍注：別把2的關系寫反).預頌圣鉉儐歲齦訝驊糴?？偵寒a(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等各配套都有數(shù)量比例，依次設未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關系表出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關.滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。舉反：變1現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒？思點：個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關系是：①制盒身鐵皮張+盒底鐵皮張數(shù)190；制盒身個數(shù)的2倍=盒底個.

【變2】工廠有工人60人，產(chǎn)某種一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，分配多少人生產(chǎn)栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。類六列二一方程解—增長問

6.某廠去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%總支出比去年減少了10%，今年的利潤為萬元，去年的總3

產(chǎn)值、總支出各是多少萬元思路撥設去年的總產(chǎn)值為x萬元總支出為y萬，則有總產(chǎn)值（萬元）總出（萬元）

利潤（萬元）去年今年

x120%x

y90%y

200780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=產(chǎn)值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。舉反：【變1】條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？【變2】城市現(xiàn)有人口萬估計一后城鎮(zhèn)人口增加0.8%農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思點：題意得兩個等式關系，兩個相等關系為：（）鎮(zhèn)人口農(nóng)人口42萬；（）鎮(zhèn)人口(1+0.8%)+農(nóng)村口×1+1.1%=42（1+1%）類七列二一方程解—和差倍問

（2011年京豐臺區(qū)中考一試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共千，現(xiàn)某地震災區(qū)急需帳篷14千，廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周制作的帳篷數(shù)分別達到了原來的1.6倍倍，恰好按時完成了這項任務．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？路撥找已知量和未知量，根題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù)關系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個程組成的方程組。舉反：【變1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提的一項倡議．號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3最后一個星期六20時30分21時30分燈小時，4

旨在通過一個人人可為的活動全球民眾共同攜手關注氣候變化倡導低碳生活中內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的倍少13個，中國內(nèi)去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動．【變】游池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍與紅色的游泳帽一樣多每女看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍你知道男孩與女孩各有多少嗎？思點：題關鍵之一是：小孩子看游泳帽時只到別人的，沒看到自己的帽子。關鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點語句，第一句：每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。類八列二一方程解——字題

8.兩兩位數(shù)的和是68，在大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)到個四位數(shù)較的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)得到一個位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)思點：設較大的兩位為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100x＋y問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100y＋舉反：【變1】個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，個兩位數(shù)是多少？【變2】一兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少，求這個兩位數(shù)？5

類九列二一方程解決—濃度題

9．現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒溶液的酒精與水的比是3∶，種酒精溶液的酒精與水的比是4，今要得到酒精與水的比為∶的精溶液50kg問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少路撥本題欲求兩個未量，可直接設出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關系：1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之50；（）合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量）合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和＝混合后溶液所含水的質(zhì)量；4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比。總升此題的第（）相等關比較明顯，關鍵是正確找到另外一個相等關系，解這類問題常用的相等關系是混前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等它們來聯(lián)系各量之間的關系列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應用題，首先要設未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設未知數(shù)，但并是千篇一律的，問什么就設什么。有時候需要設間接未知數(shù)，有時候需要設輔助未知數(shù)。舉反：【變1】配濃度是的水12千，現(xiàn)有10%鹽水與85%鹽水，這兩種鹽水各需多少？思點：此題的關鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個等量關系，等量關系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相【式一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？類十列二一方程解—幾何題

10．圖，用8塊同的長方形地磚拼成一個長方形每塊長方形地磚的長和寬別是多少？

思點初看這道題目中沒有提供任何相等關系但題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等條相等我設每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關x、的元一次方程組?？偵汉螒妙}的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中答類問題時應注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關系和數(shù)量關系，再列出方程求解。6

舉反：變1】用長48厘的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉厘，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思點：題隱含兩個可用的等量關系，其一長方形的周長為鐵絲的長米，第二個等量關系是長方形的長剪掉3厘米到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米于短邊加上3厘?！臼健恳粔K矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，長和寬分別為多少？類十：列元次方組決——年問題

11．年父親的年齡是兒子的5倍6年父親的年齡是兒子的3倍求現(xiàn)在親和兒子的年齡各是多少思路點：本題的關鍵是理解6年”這幾個字的含義，即年父子倆都長了。今年父親的年齡是兒子的倍，6年父親的年齡是兒子的3倍根據(jù)這兩個相等關系列方程?？偵簺Q年齡問題要意一點一個人的年變（增大減小了其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）。舉反：變1今年，小李的年齡是他爺?shù)奈宸种?李發(fā)現(xiàn)12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种辉嚦鼋衲晷±畹哪?思點：題的關鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺?shù)奈宸种唬坏诙洌核哪挲g變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程類十：列元次方組——優(yōu)化案題：7

12．地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若市場

上直接銷售，每噸利潤為1000元；粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，噸利潤漲至7500元當一家農(nóng)工商司收獲這種蔬菜140，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可以加工16噸如果進行細加工，每天可加工6噸但兩種加工方式不能同時進.受節(jié)條件的限制，公司必須在天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工案方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好在15天完你認為選擇哪種方案獲利最多？為什么？思點：何對蔬菜進行加工，獲利最大，是生