平面應(yīng)力和平面應(yīng)變演示文稿

平面應(yīng)力和平面應(yīng)變演示文稿目前一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)平面應(yīng)力和平面應(yīng)變目前二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題1.平面應(yīng)力問題(1)幾何特征xyyztba一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿z

方向不變化。目前三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：由剪應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。目前四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.平面應(yīng)變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認(rèn)為無限長(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向?yàn)闊o限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱面目前五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)水壩因?yàn)槿我粰M截面均可視為對(duì)稱面，則有所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊栴}——平面應(yīng)變問題注：(1)平面應(yīng)變問題中但是，(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：——僅為xy的函數(shù)?？山茷槠矫鎽?yīng)變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。目前六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題非平面問題目前七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；形變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；目前八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3-2平面問題基本方程PBACxyODXY目前九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.1平衡微分方程PBACxyO取微元體PABC（P點(diǎn)附近），DXYZ方向取單位長度。設(shè)P點(diǎn)應(yīng)力已知：體力：X，YAC面：BC面：注：

這里用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸。目前十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)PBACxyODXY由微元體PABC平衡，得整理得：當(dāng)時(shí)，有——剪應(yīng)力互等定理目前十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)PBACxyODXY兩邊同除以dxdy，并整理得：兩邊同除以dxdy，并整理得：目前十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)平面問題的平衡微分方程：（2）說明：（1）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：——超靜定問題，需找補(bǔ)充方程才能求解。（2）對(duì)于平面應(yīng)變問題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質(zhì)無關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對(duì)整個(gè)彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。PBACxyODXY目前十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.2斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力1.斜面上的應(yīng)力（1）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN設(shè)P點(diǎn)的應(yīng)力分量已知：斜面AB上的應(yīng)力矢量:s斜面外法線N的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦：

由微元體平衡：

整理得：

（3）整理得：

（4）外法線

目前十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力（3）（4）將式（2-3）（2-4）代入，并整理得：（5）（6）說明：（1）運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理：（2）的正負(fù)號(hào)規(guī)定將N轉(zhuǎn)動(dòng)90°而到達(dá)的方向是順時(shí)針的，則該為正；反之為負(fù)?！我庑苯孛嫔蠎?yīng)力計(jì)算公式（3）若AB面為物體的邊界S，則（18）——平面問題的應(yīng)力邊界條件目前十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向xyOdxdydsPABsXNYNN（1）主應(yīng)力若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力；當(dāng)時(shí)，有求解得：（7）——平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計(jì)算公式目前十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；由式（7）易得：——平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力第一不變量（2）應(yīng)力主向設(shè)σ1與x軸的夾角為α1，σ1與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l1、m1，則設(shè)σ2與x軸的夾角為α2，σ2與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l2、m2，則目前十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)應(yīng)力主向的計(jì)算公式：（8）由得顯然有表明：σ1與σ2互相垂直。結(jié)論任一點(diǎn)P，一定存在兩

互相垂直的主應(yīng)力σ1、σ2。（3）σN

的主應(yīng)力表示xyOsdxdydsPABN由σ1與σ2分別為最大和最小應(yīng)力。目前十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（4）最大、最小剪應(yīng)力由顯然，當(dāng)時(shí)，τN為最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABNs目前十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)小結(jié)：（3）（4）（5）（6）（18）——平面問題的應(yīng)力邊界條件（1）斜面上的應(yīng)力目前二十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（8）表明：σ1與σ2互相垂直。（2）一點(diǎn)的主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最大最小應(yīng)力（7）τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。目前二十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.3幾何方程剛體位移建立：平面問題中應(yīng)變與位移的關(guān)系——幾何方程1.幾何方程一點(diǎn)的變形線段的伸長或縮短；線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；xyOP考察P點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：AdxBdyuv變形前變形后PABuv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。目前二十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xyOPAdxBdyuvPA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：P點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化目前二十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xyOPAdxBdyuv整理得：——幾何方程（9）說明：（1）反映任一點(diǎn)的位移與該點(diǎn)應(yīng)變間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2）當(dāng)u、v

已知，則可完全確定；反之，已知，不能確定u、v。（∵積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）——以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù)。目前二十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.剛體位移物體無變形，只有剛體位移。即：(a)(b)(c)由(a)、(b)可求得：(d)將(d)代入(c)，得：或?qū)懗桑骸呱鲜街?，左邊僅為y的函數(shù)，右邊僅x的函數(shù)，∴兩邊只能等于同一常數(shù)，即

(d)積分(e)，得：(e)其中，u0、v0為積分常數(shù)。（x、y方向的剛體位移），代入（d）得:(2-10)——?jiǎng)傮w位移表達(dá)式目前二十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)討論：

(2-10)——?jiǎng)傮w位移表達(dá)式（1）僅有x方向平移。（2）僅有y方向平移。（3）xyOPyxr說明：——P點(diǎn)沿切向繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)ω——繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（剛性轉(zhuǎn)動(dòng)）目前二十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.4斜方向的應(yīng)變及位移1.斜方向的正應(yīng)變?chǔ)臢問題：已知，求任意方向的線應(yīng)變?chǔ)臢和線段夾角的變化。xyOP(x,y)N設(shè)P

點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y+dy），PN

的長度為

dr，PN

的方向余弦為：于是PN

在坐標(biāo)軸上的投影為：P1N1N

點(diǎn)位移：變形后的P1N1在坐標(biāo)方向的投影：設(shè)PN變形后的長度P1N1=dr′，PN方向的應(yīng)變?yōu)棣臢

，由應(yīng)變的定義：vu目前二十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)兩邊同除以

(dr)2，得化開上式，并將的二次項(xiàng)略去，有xyOP(x,y)NvuP1N1dr目前二十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（11）2.P點(diǎn)兩線段夾角的改變1xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN

的方向余弦PN′

的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′

的方向余弦目前二十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.P點(diǎn)兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN

的方向余弦PN′

的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′

的方向余弦利用：化簡，得：略去二階小量；目前三十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.P點(diǎn)兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN

的方向余弦PN′

的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′

的方向余弦同理，得：PN與PN′變形后的夾角改變?yōu)椋捍耄⒗茫翰⒙匀ジ唠A小量，有目前三十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.P點(diǎn)兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN

的方向余弦PN′

的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′

的方向余弦PN與PN′變形后的夾角改變?yōu)椋海?2）從中求出變形后兩線段間的夾角進(jìn)一步求出3.斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用目前三十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用（1）已知一點(diǎn)的應(yīng)變，可計(jì)算任意方向的應(yīng)變。的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)變方向等。（2）已知一點(diǎn)任意三方向的應(yīng)變，可求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量。xy45°若用45°應(yīng)變花測構(gòu)件表面應(yīng)變：目前三十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)若用120°應(yīng)變花測構(gòu)件表面應(yīng)變，即：xy求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量:作為作業(yè)！目前三十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.5物理方程建立：平面問題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。1.各向同性彈性體的物理方程在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學(xué)中的廣義虎克（Hooke）定律。（13）其中：E為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；μ為側(cè)向收縮系數(shù)，又稱泊松比。目前三十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（1）平面應(yīng)力問題的物理方程由于平面應(yīng)力問題中（15）——

平面應(yīng)力問題的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式目前三十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（2）平面應(yīng)變問題的物理方程由于平面應(yīng)變問題中（16）——

平面應(yīng)變問題的物理方程注：(2)平面應(yīng)變問題物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得（13）(1)平面應(yīng)變問題中，但目前三十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（3）兩類平面問題物理方程的轉(zhuǎn)換：（16）——

平面應(yīng)變問題的物理方程——

平面應(yīng)力問題的物理方程（15）(1)平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：(2)平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：目前三十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.6邊界條件1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）（2）幾何方程：（9）（3）物理方程：（15）未知量數(shù)：8個(gè)方程數(shù)：8個(gè)結(jié)論：在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，上述8個(gè)方程可解。目前三十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.邊界條件及其分類邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關(guān)系。xyOqP是力學(xué)計(jì)算模型建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類（1）位移邊界（2）應(yīng)力邊界（3）混合邊界——三類邊界（1）位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界用us

、

vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：（17）——

平面問題的位移邊界條件說明：稱為固定位移邊界。目前四十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xyOqP（2）應(yīng)力邊界條件給定面力分量邊界——應(yīng)力邊界xyOdxdydsPABXNYNN由前面斜面的應(yīng)力分析，得式中?。旱玫剑海?8）式中：l、m為邊界外法線關(guān)于x、y軸的方向余弦。如：——

平面問題的應(yīng)力邊界條件垂直x軸的邊界：垂直y軸的邊界：目前四十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)說明：x=0的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：目前四十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)內(nèi)容回顧：1.兩類平面問題：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題幾何特征;受力特征;應(yīng)力特征。幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。xyyztba水壩滾柱目前四十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)——位移邊界條件2.平面問題的基本方程：（1）平衡方程：（2）（2）幾何方程：（9）（3）物理方程：（15）（4）邊界條件：（1）（2）——應(yīng)力邊界條件——平面應(yīng)力問題目前四十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入邊界條件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N目前四十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：由應(yīng)力邊界條件公式，有右側(cè)面：目前四十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無應(yīng)力存在。解：——平面應(yīng)力問題，在AC、AB邊界上無面力作用。即AB邊界：由應(yīng)力邊界條件公式，有（1）AC邊界：代入應(yīng)力邊界條件公式，有（2）∵A點(diǎn)同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點(diǎn)處無應(yīng)力作用目前四十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件。例6目前四十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側(cè)：下側(cè)：目前四十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。例6上側(cè)：下側(cè)：N目前五十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。如：圖(a)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件圖(b)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件目前五十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)平面問題的基本方程1.平衡微分方程（2）2.幾何方程（9）3.物理方程（平面應(yīng)力問題）（15）4.邊界條件位移：（17）應(yīng)力：（18）目前五十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.7圣維南原理問題的提出：PPP求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個(gè)基本方程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無法列寫。1.靜力等效的概念兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。目前五十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2目前五十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.圣維南原理的應(yīng)用(1)對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界目前五十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例7圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！目前五十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xy上端面：（方法2）取圖示微元體，可見，與前面結(jié)果相同。注意：必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，目前五十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.8按位移求解平面問題1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）（2）幾何方程：（9）（3）物理方程：（15）（4）邊界條件：（1）（2）目前五十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.彈性力學(xué)問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）以u(píng)、v

為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v

表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。目前五十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有（19）（a）將式(a)代入平衡方程，化簡有（20）目前六十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（a）將式（a）代入，得（21）（17）式（20）、（17）、（21）構(gòu)成按位移求解問題的基本方程說明：（1）對(duì)平面應(yīng)變問題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。目前六十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（3）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（20）（2）邊界條件：位移邊界條件：（17）應(yīng)力邊界條件：（21）目前六十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.9按應(yīng)力求解平面問題相容方程1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)：（2）平衡微分方程：2個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問題。需尋求補(bǔ)充方程，從形變、形變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。將幾何方程：（9）作如下運(yùn)算：目前六十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)顯然有：（22）——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：由幾何方程的第三式得：顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。目前六十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（2）2.變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1）平面應(yīng)力情形將物理方程代入相容方程，得：（22）利用平衡方程將上述化簡：（15）（a）將上述兩邊相加：（b）目前六十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)將(b)代入(a)，得：將上式整理得：（23）應(yīng)力表示的相容方程（2）平面應(yīng)變情形將上式中的泊松比μ代為：，得（24）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）注意：當(dāng)體力X、Y為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即（25）目前六十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（23）（3）邊界條件：（18）（平面應(yīng)力情形）說明：（1）對(duì)位移邊界問題，不易按應(yīng)力求解。（2）對(duì)應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（3）對(duì)多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。目前六十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計(jì)體力）。（1）（2）解（a）（b）（1）將式（a）代入平衡方程：（2）——滿足將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應(yīng)力場。目前六十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計(jì)體力）。（1）（2）（a）（b）（2）解將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：式（b）滿足相容方程，∴（b）為可能的應(yīng)變分量。目前六十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力=0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。解材料力學(xué)解答：式（a）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否滿足邊界條件？代入平衡微分方程：（2）顯然，平衡微分方程滿足。目前七十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)式（a）滿足相容方程。再驗(yàn)證，式（a）是否滿足邊界條件？——滿足——滿足——近似滿足近似滿足結(jié)論：式（a）為正確解代入相容方程：上、下側(cè)邊界：右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：目前七十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.2.10常體力情況下的簡化1.常體力下平面問題的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子則相容方程可表示為：——平面應(yīng)力情形——平面應(yīng)變情形當(dāng)體力X、Y為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即或（25）目前七十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.常體力下平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件（18）（4）位移單值條件——對(duì)多連通問題而言。討論：（1）——Laplace方程，或稱調(diào)和方程。（2）常體力下，方程中不含E、μ（a）兩種平面問題，計(jì)算結(jié)果相同）不同。（但（b）不同材料，具有相同外力和邊界條件時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相同?！鈴椥詫?shí)驗(yàn)原理。（3）用平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，代替平面?yīng)變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ?，為?shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ)。滿足：的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。目前七十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.常體力下體力與面力的變換平衡方程:相容方程:邊界條件:令：常體力下，滿足的方程：(a)將式(b)代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有(b)(c)目前七十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)(c)表明：（1）變換后的平衡方程、相容方程均為齊次方程（容易求解）；（2）變換后問題的邊界面力改變?yōu)椋航Y(jié)論：當(dāng)體力X=常數(shù)，Y=常數(shù)時(shí)，可先求解無體力而面力為：問題的解：，而原問題的解為：目前七十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)xyxy例如：pFABCDEhh(a)圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析。原問題：體力：邊界面力：所求應(yīng)力：ABCFDEhh(b)ph2ph變換后的問題：體力：邊界面力：(1)當(dāng)y=0時(shí)，(2)當(dāng)y=–h時(shí)，(3)當(dāng)y=–2h時(shí)，所求得的應(yīng)力：原問題的應(yīng)力目前七十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn)（好處）：原問題的求解方程變換后問題的求解方程常體力問題無體力問題作用：(1)方便分析計(jì)算（齊次方程易求解）。(2)實(shí)驗(yàn)測試時(shí)，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。注意：面力變換公式：與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，因此，適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可使面力表達(dá)式簡單。目前七十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)主要內(nèi)容回顧：1.兩類平面問題：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題幾何特征;受力特征;應(yīng)力特征。幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。xyyztba水壩滾柱目前七十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.平面問題的基本方程：（1）平衡方程：（2）（2）幾何方程：（9）——位移邊界條件（4）邊界條件：（1）（2）——應(yīng)力邊界條件（3）物理方程：（15）——平面應(yīng)力問題目前七十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)3.平面問題一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變分析(b)主應(yīng)力與應(yīng)力主向（7）（8）(c)最大、最小剪應(yīng)力及其方向τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。(a)任意斜面上應(yīng)力或目前八十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)4.圣維南原理的應(yīng)用（d）任意斜方向的線應(yīng)變（11）（e）一點(diǎn)任意兩線段夾角的改變（12）若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。P次要邊界目前八十一頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)5.平面問題的求解方法：（17）——位移邊界條件（21）——應(yīng)力邊界條件（1）按位移求解基本方程（20）——平衡方程目前八十二頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（2）按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（22）——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）相容方程（23）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程（24）（平面應(yīng)變情形）（25）（體力X、Y為常數(shù)情形）目前八十三頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)（1）平衡方程（2）（3）邊界條件：（18）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（23）（平面應(yīng)力情形）按應(yīng)力求解的基本方程常體力下可以簡化：求解方法？（兩種平面問題形式相同）（1）體力X、Y轉(zhuǎn)化為面力處理。（2）目前八十四頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)§3.3應(yīng)力函數(shù)逆解法與半逆解法常體力下問題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)式(a)為非齊次方程，其解：全解=齊次方程通解1.平衡微分方程解的形式(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齊次方程：(c)(d)的通解。目前八十五頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,y)，使得(e)(f)同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解。由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得目前八十六頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)(i)(j)將式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得(k)目前八十七頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解：(k)——對(duì)應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解。(3)全解取特解為：則其全解為：(26)——

常體力下平衡方程（a）的全解。由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。φ(x,y)——平面問題的應(yīng)力函數(shù)——Airy應(yīng)力函數(shù)目前八十八頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示(26)將式（2-26）代入常體力下的相容方程：(25)有：注意到體力X、Y為常量，有將上式展開，有(27)——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。目前八十九頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)2.相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示將式（2-26）代入常體力下的相容方程：(25)有：注意到體力X、Y為常量，有將上式展開，有(27)——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。式（2-27）可簡記為：或：式中：滿足方程(2-27)的函數(shù)φ(x,y)稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)）結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)φ應(yīng)為一重調(diào)和函數(shù)目前九十頁\總數(shù)九十七頁\編于二十點(diǎn)按應(yīng)力求解平面問題（X=常量、Y=常量）的歸結(jié)為：（1）(27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：