三角函數(shù)的概念學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修

根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們利用直角坐標(biāo)系來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.如圖，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線(xiàn)OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，P(x,y).

射線(xiàn)OA從x軸非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP.

如圖，單位圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，現(xiàn)在的任務(wù)是：建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況.創(chuàng)設(shè)情境

在弧度制下，我們已經(jīng)把角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù).不失一般性，先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).問(wèn)題1

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？

探究新知【分析】利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是和，它們都是唯一確定的.

問(wèn)題2

一般地，給定一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一確定的嗎？【結(jié)論】一般地，任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù).三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)（1）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即

y=sinα（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即

x=cosα（3）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，記作tanα，即

我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù).

=tanα

()可以看出，當(dāng)時(shí)，α的終邊始終在y軸上，這時(shí)x=0，即此時(shí)tanα無(wú)意義.除此之外，正切tanα與實(shí)數(shù)α是一一對(duì)應(yīng)的，所以它們之間也是函數(shù)關(guān)系，我們稱(chēng)為正切函數(shù).

=tanα

()

三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)α(α為弧度)為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù).（1）正弦函數(shù)：（2）余弦函數(shù)：（3）正切函數(shù)：

角實(shí)數(shù)(角的弧度)三角函數(shù)值注意:（1）在任意角的三角函數(shù)定義中，α是一個(gè)使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)（2）x是自變量，離開(kāi)自變量x的sin,con,tan是沒(méi)有意義的（3）三角函數(shù)是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P在終邊上的

位置無(wú)關(guān)，終邊確定了，三角函數(shù)就確定了.三角函數(shù)的定義例1求的正弦、余弦和正切值.

【解】在坐標(biāo)系中作出∠AOB=，易知∠AOB的

終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以

典例分析1.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=sinx+tanx;（2）解:（1）要使函數(shù)有意義，必須使tanx有意義，所以所以函數(shù)y=sinx+tanx的定義域?yàn)椋?）要使函數(shù)有意義，必須使tanx有意義，且tanx≠0，所以所以函數(shù)的定義域?yàn)镸0M

證明：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0(x0，y0)．分別過(guò)點(diǎn)P,P0作x軸的垂線(xiàn)PM,P0M0，垂足分別為M,M0，P0xyOP則|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，例2如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r．求證：△OM0P0∽△OMP．因?yàn)閥0與y同號(hào)，所以

，即

．同理可得于是

，即

．

設(shè)角α是一個(gè)任意角，P(x,y)是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離，那么

①叫做α的正弦，即②叫做α的余弦，即③

叫做α的正弦，即

任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無(wú)關(guān).三角函數(shù)的定義的推廣總結(jié)：抓住正弦、余弦和正切的定義是解決本題的關(guān)鍵．1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3)，求α的正弦、余弦和正切值.2.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3m,m)(m≠0)，求α的正弦、余弦和正切值.

分類(lèi)討論思想就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要把研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn))進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的答案.實(shí)質(zhì)是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”.變式練習(xí)：已知角α的終邊在直線(xiàn)3x+4y=0，求2sinα+cosα的值.三角函數(shù)的定義域、值域和函數(shù)值的符號(hào)

一全正，二正弦，三正切，四余弦[-1,1][-1,1]α0πsinαcosαtanαπ23π2π6π4π32π33π45π6牢記常見(jiàn)的三角函數(shù)值，做題事半功倍！常見(jiàn)角的三角函數(shù)值

無(wú)

無(wú)

例3求證：角θ為第三象限角的充要條件為【證明】首先證明充分性，即如果①②都成立，那么θ為第三象限角.

因?yàn)閟inθ＜0成立，所以θ角的終邊位于第三或者第四象限，也可能和y軸的負(fù)半軸重合；又因?yàn)閏osθ＞0成立，所以θ角的終邊位于第一或者第三象限，綜合可知θ為第三象限角.再證明必要性，因?yàn)棣仁堑谌笙藿?，根?jù)定義有sinθ＜0，cosθ＞0，所以必要性成立，即充要性成立.典例分析應(yīng)用知識(shí)1.點(diǎn)A(cos2019o，sin2019o)在平面直角坐標(biāo)系中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.點(diǎn)P(sinα,cosα)在第二象限，則角α的終邊所在的象限為()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限CD誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，我們知道：終邊相同的角的對(duì)應(yīng)三角函數(shù)相同.

公式一：其中k∈Z做題時(shí)，把任意角轉(zhuǎn)化為求(0~2π)即(0°~360°)角的三角函數(shù)值，簡(jiǎn)化計(jì)算.本質(zhì)：角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn).例4確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算工具驗(yàn)證：（1）cos250o（2）sin(-)π4（3）tan(-672o)（4）tan3π<0<0>0=0典例分析（5）sin156o（6）cos(-)16π5（7）cos(-450o)（8）tan(-)17π8>0<0=0<0

（1）sin1480o10′(精確到0.001)；

（3）

．解：（1）sin1480o10′＝sin(40o10′＋4×360o)＝sin40o10′≈0.645；（2）例6

求下列三角函數(shù)值：

（2）；（3）（6）.（5）sin(-1050o)；

（4）;1.填表.