2021屆湖南省百校聯(lián)考高三上學期9月月考數(shù)學試題(解析版)

2021屆湖南省百校聯(lián)考高三上學期9月月考數(shù)學試題一、單選題1．若，則（）A． B． C．a(chǎn) D．【答案】A【解析】由，利用誘導公式，即可求值.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式，考查運算求解能力.2．設集合，，則=（）A．（0，1） B．C．（－3，1） D．【答案】B【解析】化簡集合A，B，根據(jù)交集運算即可求值.【詳解】因為，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于中檔題.3．下列四個數(shù)中，最大的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，判斷各選項對數(shù)值所在的區(qū)間即可知它們的大小關(guān)系.【詳解】因為，，，，所以最大的是.故選：B【點睛】本題考查對數(shù)大小的比較，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).4．若，則“”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】因為，所以，即，故可推出，而推不出，（例如）故“”是“”的必要不充分條件.故選：A【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.5．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，排除AC，再由特殊值驗證，排除B，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除A與C.又因為，所以排除B.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題型.6．設集合，，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值域，即可求出，由二次函數(shù)的性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出，結(jié)合兩個集合的關(guān)系，即可得到關(guān)于a的不等式，從而可求出a的取值范圍.【詳解】因為，所以.因為，因為，所以，所以.因為，所以，則，即.故選:C.【點睛】本題考查集合的并集與二次函數(shù)的值域，考查運算求解能力.7．某藝術(shù)展覽館在開館時間段（9：00—16：00）的參觀人數(shù)（單位：千）隨時間（單位：時）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系，且下午兩點整參觀人數(shù)為7千，則開館中參觀人數(shù)的最大值為（）A．1萬 B．9千 C．8千 D．7千【答案】B【解析】利用當時，，求出，由，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】下午兩點整即，當時，.即，∴，∵當時，，∴當時，取得最大值，且最大值為.故選：B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式、三角函數(shù)的應用，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.8．太陽是位于太陽系中心的恒星，其質(zhì)量大約是千克.地球是太陽系八大行星之一，其質(zhì)量大約是千克.下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，得到，兩邊同時取以10為底的對數(shù)，根據(jù)題中條件，進行估算，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故.故選：D.【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算，屬于基礎題型.二、多選題9．若，則的值可能為（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】先設，再化簡原式進行代換，解得t值，即得的值.【詳解】設，，，故.故選：BD.【點睛】本題考查了換元法和三角恒等變換，屬于基礎題.10．設命題，在上是增函數(shù)，則（）A．p為真命題B．為，在上是減函數(shù)C．p為假命題D．為，在上不是增函數(shù)【答案】AD【解析】用特值可檢驗命題p的真假；特稱命題的否定改寫即可.【詳解】當時，對恒成立，故p為真命題.因為“是增函數(shù)”的否定為“不是增函數(shù)”，所以為“，在上不是增函數(shù)”.故選：AD.【點睛】本題考查特稱命題的否定與導數(shù)的應用，考查推理論證能力.11．已知函數(shù)，則（）A．的極值點不止一個 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于軸對稱 D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】計算得出，利用奇偶性的定義可判斷C選項的正誤；分析函數(shù)的單調(diào)性可判斷A、C、D選項的正誤.【詳解】因為，，所以，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于軸對稱，C選項正確；當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的極值點有且只有一個，A選項錯誤，D選項正確；由上可知，，B選項正確.故選：BCD.【點睛】本題考查函數(shù)的綜合，考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值以及極值點個數(shù)的判斷，化簡函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中等題.12．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若對恒成立，則下列不等式中，一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)題設的不等關(guān)系構(gòu)造，，并求得它們的導函數(shù)，即可聯(lián)系已知不等關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可知、的不等關(guān)系.【詳解】設，，，則，.∵對恒成立，則，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，即，，∴.故選：BD【點睛】本題考查導數(shù)與不等式的綜合應用，考查構(gòu)造函數(shù)的方法的靈活應用與推理論證能力.三、填空題13．已知函數(shù)且，則曲線在點處的切線方程為________.【答案】【解析】先根據(jù)條件求值，再求導利用導數(shù)幾何意義得到切線斜率，求切點，根據(jù)點斜式寫方程即可.【詳解】因為，所以.因為當時，，所以.又，所以所求切線方程為，即，即.故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義與分段函數(shù)求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.14．已知曲線關(guān)于直線對稱，則的最小值為________.【答案】【解析】由題意可得出的表達式，由此可求得的最小值.【詳解】因為曲線關(guān)于直線對稱，所以，所以，當時，取最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的對稱性求參數(shù)的最值，考查計算能力，屬于中等題.15．不等式的解集為__________.【答案】（－1，1）【解析】作出函數(shù)，的圖象，求出兩個圖象的交點坐標，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】在同一直角坐標系中，作出函數(shù)，的圖象，這兩個圖象的交點為（－1，1），（1，9），故由圖可知不等式的解集為（-1，1）.故答案為：（－1，1）【點睛】本題考查利于數(shù)形結(jié)合解決不等式的解集問題，考查指數(shù)函數(shù)的圖象，屬于基礎題.16．關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的最小值為；②在上單調(diào)遞增；③的最小正周期為；④方程在內(nèi)的各根之和為.其中所有真命題的序號是________.【答案】①②③④【解析】應用三角恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)式，可得到含有余弦絕對值的二次函數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)最值、復合函數(shù)的單調(diào)性可求的最小值、在上單調(diào)性，利用周期判定有即可知最小正周期，根據(jù)知在上關(guān)于對稱即可求得各根的和.【詳解】，當時，取得最小值且最小值為，當時，單調(diào)遞增且，則在上單調(diào)遞增.由且，所以的最小正周期為.因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，由，得，則方程在內(nèi)有四個根，且各根之和為.故答案為：①②③④.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與復合函數(shù)問題，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的存在最大值，則求出最大值；若問題中的不存在最大值，請說明理由.問題：設是數(shù)列的前項和，且，__________，求的通項公式，并判斷是否存在最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】若選①，求出數(shù)列是首項為4，公比為的等比數(shù)列，求出通項公式和前項和，通過討論的奇偶性，求出其最大值即可；若選②，求出數(shù)列是首項為4，公差為的等差數(shù)列，求出通項公式和前項和，求出其最大值即可；若選③，求出，當時，，故不存在最大值.【詳解】解：選①因為，，所以是首項為4.公比為的等比數(shù)列，所.當為奇數(shù)時，，因為隨著的增加而減少，所以此時的最大值為.當為偶數(shù)時，，且綜上，存在最大值，且最大值為4.選②因為，.所以是首項為4，公差為的等差數(shù)列，所以.由得，所以存在最大值.且最大值為（或），因為，所以的最大值為50.選③因為，所以，所以，，…，則，又，所以.當時，，故不存在最大值.【點睛】此題考查數(shù)列的通項公式和求和公式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影響，我市全體學生只能網(wǎng)上在線學習.為了了解學生在線學習的情況，市教研院數(shù)學教研室隨機從市區(qū)各高中學校抽取60名學生對線上教學情況進行調(diào)查（其中男生與女生的人數(shù)之比為2∶1），結(jié)果發(fā)現(xiàn)男生中有10名對線上教學滿意，女生中有12名對線上教學不滿意.（1）請完成如下2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為“對線上教學是否滿意與性別有關(guān)”；滿意不滿意合計男生女生合計60（2）以這60名學生對線上教學的態(tài)度的頻率作為1名學生對線上教學的態(tài)度的概率，若從全市學生中隨機抽取3人，設這3人中對線上教學滿意的人數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.附：參考公式其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）列聯(lián)表見解析；沒有；（2）分布列見解析，期望為.【解析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接完善列聯(lián)表即可；再由公式求出，結(jié)合臨界值表，即可得出結(jié)論；（2）由題意，得到的可能取值為0，1，2，3，且，求出對應的概率，進而可得分布列，由二項分布的期望計算公式，即可求出期望.【詳解】（1）由題意可知抽取的60名學生中男生有40人，女生有20人，則列聯(lián)表如下：滿意不滿意合計男生103040女生81220合計184260因為，所以沒有90%的把握認為“對線上教學是否滿意與性別有關(guān)”（2）的可能取值為0，1，2，3，由題意可知，，則，，，所以隨機變量的分布列為0123因此期望為：.【點睛】本題主要考查完善列聯(lián)表，考查獨立性檢驗的思想，考查求二項分布的分布列和期望，屬于常考題型.19．在中，，.（1）求；（2）若的周長為求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角間的三角函數(shù)關(guān)系求出，從而結(jié)合誘導公式可求得可得角；（2）由正弦定理可得三邊長之比，結(jié)合周長可得三邊長，再由三角形面積公式計算面積．【詳解】（1）因為，所以.若，則，從而，均為鈍角.這不可能，故，，.所以，因為.所以.（2）由（1）知，由正弦定理得.設，則，，則的周長為，解得，從而，，故的面積.【點睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查兩角和的正弦公式及誘導公式，考查正弦定理及三角形面積公式，旨在考查學生的運算求解能力，屬于中檔題．20．如圖，已知，平面，平面，過點且垂直于的平面與平面的交線為，，，.（1）證明：平面；（2）設點是上任意一點，求平面與平面所成銳二面角的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可知平面，則有，又平面，則可得出，從而得出//，再證明平面即可證明平面；（2）作//，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，然后計算平面和平面的法向量，通過法向量夾角的余弦值來計算.【詳解】解：（1）證明：因為，平面，所以//平面，又平面，平面平面，所以//.因為平面，所以.又，，所以平面，從而平面.（2）作//，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設，平面?平面的法向量分別為，，則，，，.因為平面，所以，令，得，，即.同理，令，得，，即.因為，當且僅當時取等號，所以平面與平面所成銳二面角的最小值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查考利用空間向量求解面面夾角，考查學生的基本運算能力與邏輯推理能力，難度一般.21．已知拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點.（1）求到的焦點的距離；（2）若的對稱軸為軸，過（9，0）的直線與交于，兩點，證明：以線段為直徑的圓過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）分拋物線的對稱軸為軸與軸進行討論，可得拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的幾何意義可得到的焦點的距離；（2）設直線的方程為，設，線段的中點為，聯(lián)立拋物線和直線，可得，的值，可得以線段為直徑的圓的方程，可得證明.【詳解】（1）解：當?shù)膶ΨQ軸為軸時，設的方程為，將點的坐標代入方程得，即，此時到的焦點的距離為.當?shù)膶ΨQ軸為軸時，設的方程為，將點的坐標代入方程得.即.此時到的焦點的距離為.（2）證明：由（1）可知，當?shù)膶ΨQ軸為軸時，的方程為.直線斜率顯然不為0，可設直線的方程為，設，線段的中點為.由得，則，，所以，，且.以線段為直徑的圓的方程為即，即，令，則，因為.所以圓過定點（0，0），從而以線段為直徑的圓過定點.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生的綜合分析能力與計算能力，屬于中檔題22．已知函（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，討論和，分別解導數(shù)不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）的單調(diào)性，可求得函數(shù)的極值，由極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的零點個數(shù)，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）.當時，令，得，令，得.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當時，令，得，.①當即時，，在R上單調(diào)遞增.②當即時，