2021屆湖南省長(zhǎng)沙市XX中學(xué)高三上學(xué)期月考(四)數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集為R，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求解集合A，然后利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算直接求解即可【詳解】由題知或，又集合，又或則.故選：B2．已知(其中a，，i是虛數(shù)單位)，則的值為（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的知識(shí)求得，由此求得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C．3．若向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，即，再由，，可得，根據(jù)可得答案．【詳解】解：，，即，又，，，得，而，，故選：．4．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，由誘導(dǎo)公式，以及二倍角的余弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.5．如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤每個(gè)檔(掛珠的桿)上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠.若從某一檔的顆算珠中任取顆，則既有上珠又有下珠的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合，先計(jì)算基本事件的總數(shù)，然后計(jì)算既有上珠又有下珠的基本事件的個(gè)數(shù)，然后代入公式計(jì)算概率即可.【詳解】從某一檔的顆算珠中任取顆，基本事件總數(shù)為，既有上珠又有下珠的基本事件的個(gè)數(shù)為，所以既有上珠又有下珠的概率為.故選：A.6．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將代入拋物線焦半徑公式求出傾斜角，再求斜率.【詳解】解：設(shè)的傾斜角為，由拋物線焦半徑公式可得，又，解得，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路：（1）求交點(diǎn)問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組；（2）與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決.7．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，排除B項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除D項(xiàng)，由，排除A，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，排除B；又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除D；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：C.8．已知直線與圓相交于、兩點(diǎn),是線段的中點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最大值為A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】直線經(jīng)過定點(diǎn)（-4,0），設(shè)，則點(diǎn)，將點(diǎn)B代入圓的方程，則得到點(diǎn)M的軌跡方程，分析軌跡方程可知點(diǎn)M的軌跡為圓，然后再利用直線與圓的知識(shí)解決問題．【詳解】解：直線經(jīng)過定點(diǎn)（-4,0），設(shè)，則點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)B在圓上，故有，化簡(jiǎn)整理得：，所以點(diǎn)M的軌跡是圓心為（-3,0），半徑為1的圓，圓心（-3,0）到直線的距離為，所以點(diǎn)M到直線的最大距離為4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)軌跡等問題，解決動(dòng)點(diǎn)軌跡常見的方法有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等等，解題時(shí)應(yīng)注意靈活應(yīng)用．二、多選題9．下列命題正確的是（）A．已知，則“”是“”的充分不必要條件B．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若樣本中心點(diǎn)為，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為【答案】AB【分析】由充分不必要條件的定義判斷A，由線性回歸直線方程判斷B，由二項(xiàng)分頁的期望與方差判斷C，由函數(shù)的奇偶性單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷D．【詳解】A．，由能得出，但時(shí)，不一定成立，充分不必要條件是成立的，A正確；B．由得，B正確；C．，，，所以，C錯(cuò)誤；D．由題意，，D錯(cuò)；故選：AB．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷．解本題需掌握各個(gè)命題所涉及的知識(shí)與性質(zhì)應(yīng)用，充分必要條件的定義，線性回歸直線一定過中心點(diǎn)，，則，以及，還需掌握奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)．10．已知函數(shù)，，則（）A．B．在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)C．的最小正周期為D．為圖象的一條對(duì)稱軸【答案】AC【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式、輔助角公式，把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)解析式的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】.A：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)說法正確；B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：的最小正周期為：，因此本選項(xiàng)說法正確；D：當(dāng)時(shí)，，顯然不是最值，因此本選項(xiàng)說法不正確；故選：AC11．已知符號(hào)函數(shù)下列說法正確的是（）A．函數(shù)是奇函數(shù)（）B．對(duì)任意的C．函數(shù)的值域?yàn)镈．對(duì)任意的【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】A.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以該選項(xiàng)正確；B.因?yàn)樗裕詫?duì)任意的，所以該選項(xiàng)正確；C.當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)，所以的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)，所以的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)，所以的值域?yàn)椋凰院瘮?shù)的值域?yàn)?，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)任意的.所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12．如圖，在矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將△AMB沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．存在某個(gè)位置，使得CN⊥AB1B．CN的長(zhǎng)是定值C．若AB=BM，則AM⊥B1DD．若AB=BM=1，當(dāng)三棱錐B1－AMD的體積最大時(shí)，三棱錐B1－AMD的外接球的表面積是4π【答案】BD【分析】中，取中點(diǎn)，連接交與，由題意判斷三線，，共面共點(diǎn)，得出不成立；中，利用余弦定理可得是定值，判斷正確；中，取中點(diǎn)，連接，，由題意判斷不成立；中，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求出該三棱錐外接球的表面積即可．【詳解】解：對(duì)于：如圖1，取中點(diǎn)，連接交與，則，，如果，可得到，又，且三線，，共面共點(diǎn)，不可能，則錯(cuò)誤．對(duì)于：如圖1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，則正確．對(duì)于：如圖2，取中點(diǎn)，連接，，由題意得面，即可得，從而，由題意不成立，可得錯(cuò)誤．對(duì)于：當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，由題意得中點(diǎn)就是三棱錐的外接球的球心，球半徑為1，表面積是，則正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，解題關(guān)鍵是正確理解線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，屬于中檔題．三、填空題13．已知函數(shù)f(x)=，則的值為________.【答案】【分析】由題意根據(jù)自變量的取值代入運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?gt;0，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)函數(shù)值的求解，考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_____．【答案】-540【詳解】若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，解得，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為.15．被人們常常津津樂道的兔子數(shù)列是指這樣的一個(gè)事例：一對(duì)幼兔正常情況下一年后可長(zhǎng)成成兔，再過一年后可正常繁殖出一對(duì)新幼兔，新幼兔又如上成長(zhǎng)，若不考慮其他意外因素，按此規(guī)律繁殖，則每年的兔子總對(duì)數(shù)可構(gòu)成一奇妙的數(shù)列，兔子數(shù)列具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，該數(shù)列在西方又被稱為斐波拉契數(shù)列，它最初記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契在1202年所著的《算盤全書》.現(xiàn)有一兔子數(shù)列，，若將數(shù)列的每一項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來項(xiàng)的順序構(gòu)成新的數(shù)列，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為________.【答案】1347【分析】根據(jù)新數(shù)列定義，寫出新數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)為周期數(shù)列，根據(jù)周期性求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【詳解】解：由題意可得，所以數(shù)列，所以數(shù)列是一個(gè)周期為3的周期數(shù)列，而2020除以3商673余1，所以數(shù)列的前2020項(xiàng)和為，故答案為：1347【點(diǎn)睛】解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.16．如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，M是C上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為N，若，則雙曲線C的離心率為________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及圓的切線定理得到，進(jìn)而得到，求出，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解：如圖所示：設(shè)的內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，由雙曲線的定義知：，即，又，即，即，又，，即，則，，，即，,故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義以及切線長(zhǎng)定理得到.四、解答題17．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，.（1）求角；（2）若，邊上的高為3，求.【答案】（1）（2）或【分析】（1）由正弦定理，將已知等式邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解；（2）根據(jù)面積公式，將用表示，再由余弦定理，建立關(guān)于方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼盟裕?，又，所以所以而所以所以?）設(shè)邊上的高為，因?yàn)閷⒋耄糜捎嘞叶ɡ淼?，于是即，解得?【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，______．給出下列三個(gè)條件：條件①：數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列也為等比數(shù)列；條件②：點(diǎn)在直線上；條件③：．試在上面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)不論選擇哪個(gè)條件，；(2)【分析】(1)方案一：選條件①．?dāng)?shù)列也為等比數(shù)列，可根據(jù)其前3項(xiàng)也成等比數(shù)列列出方程，再將用表示解出，即可求出；方案二：選條件②，可得，再將用代換可得，兩式相減可得，再驗(yàn)證即可，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即可求出；方案三：選條件③．可得當(dāng)時(shí)，，再將用代換可得，兩式相減可得，再驗(yàn)證即可，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即可求出；(2)由(1)不論選擇哪個(gè)條件，，代入化簡(jiǎn)可得，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】(1)方案一：選條件①．因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，即，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，解得或（舍），所以?2)由（1）得，所以，所以，方案二：(1)選條件②．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，兩式相減得，，因?yàn)椋?，適合上式，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以(2)同方案一的(2).方案三：（1）選條件③．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋╥）所以，所以（ii）（i）－（ii）得，即，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列所以(2)同方案一的(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求法，裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點(diǎn).（1）證明：點(diǎn)F在線段上移動(dòng)時(shí)，為直角三角形；（2）若F為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得：，再利用線面垂直的性質(zhì)定理判定定理及其正方形的性質(zhì)可得：平面，進(jìn)而證明平面，即可得出結(jié)論.（2）由題意，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，可得：.利用向量夾角公式即可得出.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋珽為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又，所以平面，∵平面，∴，因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕渣c(diǎn)F在線段上移動(dòng)時(shí)，為直角三角形.（2）由題意，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，易知平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面的法向量為，則，可得：，，取，所以，由圖可知：二面角的平面角為鈍角，因此余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，屬于中檔題.20．東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便，越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，很多市民都會(huì)開汽車到離家最近的輕軌站，將車停放在輕軌站停車場(chǎng)，然后進(jìn)站乘輕軌出行，這給輕軌站停車場(chǎng)帶來很大的壓力．某輕軌站停車場(chǎng)為了解決這個(gè)問題，決定對(duì)機(jī)動(dòng)車停車施行收費(fèi)制度，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：4小時(shí)內(nèi)（含4小時(shí)）每輛每次收費(fèi)5元；超過4小時(shí)不超過6小時(shí)，每增加一小時(shí)收費(fèi)增加3元；超過6小時(shí)不超過8小時(shí)，每增加一小時(shí)收費(fèi)增加4元，超過8小時(shí)至24小時(shí)內(nèi)（含24小時(shí)）收費(fèi)30元；超過24小時(shí)，按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計(jì)費(fèi)．上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時(shí)的按一小時(shí)計(jì)費(fèi)．為了調(diào)查該停車場(chǎng)一天的收費(fèi)情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)1000輛車的停留時(shí)間（假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場(chǎng)僅停車一次），得到下面的頻數(shù)分布表：（小時(shí)）頻數(shù)（車次）10010020020035050以車輛在停車場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的概率．（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進(jìn)行進(jìn)一步深入調(diào)研，記錄并統(tǒng)計(jì)了停車時(shí)長(zhǎng)與司機(jī)性別的列聯(lián)表：男女合計(jì)不超過6小時(shí)306小時(shí)以上20合計(jì)100完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時(shí)”與性別有關(guān)？（2）（i）表示某輛車一天之內(nèi)（含一天）在該停車場(chǎng)停車一次所交費(fèi)用，求的概率分布列及期望；（ii）現(xiàn)隨機(jī)抽取該停車場(chǎng)內(nèi)停放的3輛車，表示3輛車中停車費(fèi)用大于的車輛數(shù)，求的概率．參考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時(shí)”與性別有關(guān)；（2）（i）分布列見解析，；（ii）【分析】（1）先根據(jù)頻數(shù)分布表填寫列聯(lián)表,再將數(shù)據(jù)代入公式求解即可；（2）（i）的可取值為5,8,11,15,19,30,根據(jù)頻數(shù)分布表分別求得概率,進(jìn)而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,則,進(jìn)而求得概率即可【詳解】（1）由題,不超過6小時(shí)的頻率為,則100輛車中有40輛不超過6小時(shí),60輛超過6小時(shí),則列聯(lián)表如下：男女合計(jì)不超過6小時(shí)1030406小時(shí)以上204060合計(jì)3070100根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得所以沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時(shí)”與性別有關(guān)（2）（i）由題意知：的可取值為5,8,11,15,19,30,則所以的分布列為：5811151930∴（ii）由題意得,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布,考查離散型分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力與運(yùn)算能力21．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)間的距離與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離的差為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l交C于P?Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，即可求得a，c的值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，即可求得b的值，即可求得答案；（2）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，代入所求，化簡(jiǎn)整理，即可得結(jié)果；當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，可求得P，Q坐標(biāo)，可得的表達(dá)式，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜合即可得答案.【詳解】（1）由題意得：，解得，又，所以橢圓C的方程為：.（2）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：，，聯(lián)立直線與曲線