勾股定理的逆定理

據(jù)說(shuō)，幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道，在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后，用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起，拉緊繩子，再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子，如圖。這樣圍成的三角形中，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角就是直角。知道為什么嗎？這節(jié)課我們一起來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題，相信同學(xué)們會(huì)感興趣的.做一做:用圓規(guī)、直尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，如圖，量一量∠C，它是90°嗎？ABC543∠C是直角嗎？再畫一個(gè)△ABC，使它的三邊長(zhǎng)分別是5cm、12cm、13cm，這個(gè)三角形有什么特征？為什么用上面的三條線段圍成的三角形，就一定是直角三角形呢？它們的三邊有怎樣的關(guān)系？猜想:

如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足下面的關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？

證明作△A’B’C’，使∠C’=90°，

A’C’=b，B’C’=a，如圖（2），那么A’B’2=a2+b2.（勾股定理）又∵a2+b2=c2，（已知）∴A’B’2=c2，A’B’=c(A’B’＞0)在ABC和A’B’C’中，∵BC=a=B’C’，

CA=b=C’A’，

AB=c=A’B’，∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)ABCbca（1）A′B′C′ba（2）

∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形.已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如圖（1）.求證：∠C=90°.歸納總結(jié):

通過(guò)上面的證明可以得到如下定理.勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.幾何符號(hào)語(yǔ)言：如圖△ABC中a2+b2=c2則△ABC是直角三角形ABCacb歸納：若兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，這兩個(gè)命題叫做互逆命題。其中一個(gè)叫原命題，另一個(gè)叫它的逆命題，經(jīng)證明正確的逆命題叫逆定理。例1根據(jù)下列三角形的三邊a、b、c的值，判斷三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪條邊所對(duì)的角是直角？（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.解（1）∵最大邊是c=17，c2=289，a2+b2=225+64=289，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，最大邊c所對(duì)的角是直角.第（2）題由同學(xué)們仿照上面自己解答.小試牛刀

1、已知：在△ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）.求證：△ABC為直角三角形.分析：在a、b、c三邊中，哪一條邊是最大的邊？需要得出什么，才能證明△ABC為直角三角形？請(qǐng)同學(xué)們自己完成證明過(guò)程.能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).思考：除3、4、5外，再寫出3組勾股數(shù).想想看，可以怎樣找？舉一反三：1.判斷下列三個(gè)邊長(zhǎng)組成的三角形是不是直角三角形？（1）a=2，b=3，c=4.（2）a=9，b=7，c=12.（3）a=25，b=20，c=15.2.在△ABC中，三邊長(zhǎng)a、b、c滿足(a+c)(a-c)=b2，則△ABC是什么三角形？3.給你一根帶有刻度的皮尺，你如何用它來(lái)判斷課桌面的角是直角？用這種辦法能判斷柱子是否與地面垂直嗎？學(xué)會(huì)了嗎？例3某港口位于東西方向的海岸線上,“遠(yuǎn)航”號(hào).“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口,各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里.“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們

離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”沿

東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎?pERQSRN分析：由題意畫出圖形。若求出兩艘輪船的航向所成的角，即可知海天號(hào)的航向了。解:根據(jù)題意畫出如圖.PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因?yàn)?42+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.由遠(yuǎn)航號(hào)沿東北方向航行可知,∠QPS=45°,所以∠RPS=45°.即“海天”號(hào)沿西北方向航行.