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文檔簡介
數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)技巧分析
隨著科技的進(jìn)步與發(fā)展,概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論方法已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等各個領(lǐng)域??梢哉f,凡是有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的地方,都不同程度地應(yīng)用到了概率統(tǒng)計提供的模型與方法。然而,由于該課程具有一定的理論深度與難度,且對高等數(shù)學(xué)知識要求比較高,使得許多學(xué)生學(xué)習(xí)起來會比較吃力。筆者結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗,探究教學(xué)中的一些方法技巧,以更好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,主要體現(xiàn)在以下五個方面。
1突出知識的產(chǎn)生背景
簡而言之,所謂的“突出知識的產(chǎn)生背景”就是讓學(xué)生知道為什么要學(xué)習(xí)這個知識點。在編輯教材時往往出于篇幅以及學(xué)術(shù)性的考慮而略掉了知識點的產(chǎn)生過程或者應(yīng)用背景。但教師在授課過程中應(yīng)該讓學(xué)生明了為何要學(xué)習(xí)這個知識點,也就是首先讓學(xué)生了解該知識點的產(chǎn)生過程或者應(yīng)用背景,從而激發(fā)他們對該課程的學(xué)習(xí)興趣。例如,當(dāng)講授到概率的公理化定義時,教師不妨一開始就告訴學(xué)生為何要學(xué)習(xí)該公理化定義,其原因在于我們之前介紹了若干種計算概率的方法,既然不同的方法計算出來的都是概率,很自然地我們就要思考“什么才是概率”這個問題。而數(shù)學(xué)學(xué)科的一個特點就是用高度精確而簡練的語言來描述自然界或者數(shù)學(xué)科學(xué)中具有相同性質(zhì)的一些事物,那我們應(yīng)該用什么樣的最簡潔的語言來給出概率的定義呢?接著教師不妨舉一兩個例子說明歷史上數(shù)學(xué)家關(guān)于這方面工作的努力探索,再指出我們現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的公理化定義是1933年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫哥洛夫所給出的。然后再引進(jìn)概率的公理化定義,之后還可以通過對不同方法所得到的概率來對公理化定義進(jìn)行檢驗,說明不同方法得到的概率都滿足概率的公理化定義。這樣一來,學(xué)生就知道了為什么要學(xué)習(xí)概率公理化定義,其學(xué)習(xí)興趣也會大大提高。當(dāng)然,突出知識的產(chǎn)生背景不一定在授課初始就告訴學(xué)生,也可以在授課過程中或者授課結(jié)束總結(jié)時給出。例如,當(dāng)講到棣莫弗-拉普拉斯定理,即若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,則對于任意區(qū)間[a,b),恒有們不妨先把公式展示出來,然后分析說明該定理可以陳述成若隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為n,p的二項分布,則近似地有Y~N)。相比之下,學(xué)生對式中的積分和極限符號始終帶有恐懼感,此時我們把式化成了一個標(biāo)準(zhǔn)化的式。而學(xué)生在高中就開始接觸正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的過程,所以這一個化簡過程可以增加學(xué)生對該定理的好感,能夠讓學(xué)生完全掌握這個公式。此時,再引進(jìn)下面的例子“在3000次拋銀幣的試驗中,求正面向上的次數(shù)在500次到2499次之間的概率”比較上述兩式可發(fā)現(xiàn)前式有2000個數(shù)相加,而后式可通過查表很容易得到結(jié)果。于是最后給出總結(jié):棣莫弗-拉普拉斯定理的作用就是把復(fù)雜計算進(jìn)行簡化的過程,它的主要作用就是把二項分布概率模型下若干項的概率之和轉(zhuǎn)化為一個正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化查表計算的過程。
2加強(qiáng)課堂教學(xué)的師生互動
數(shù)學(xué)家的故事以及數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生歷史或應(yīng)用背景可以為枯燥的數(shù)學(xué)知識增添一些光澤,但為了提高課堂的教學(xué)效果,師生間的課堂互動必不可少。作為教學(xué)的另外一個主體———學(xué)生因為年齡處于20歲左右,注意力容易分散,如果沒有有效的師生互動,學(xué)生的注意力很容易就會偏離課堂。那么如何才能達(dá)到師生之間的有效互動呢?筆者認(rèn)為如下方法可行。
課堂提問
提問的問題應(yīng)該是精心設(shè)計的,且應(yīng)具備趣味性和啟發(fā)性。一般而言,數(shù)學(xué)課堂的提問問題要和所講授的公式或者定理緊密聯(lián)系。例如在講到“泊松近似定理”時,教師可以首先僵硬地擺出公式。然后提問學(xué)生:“你覺得左右兩個公式哪一個比較簡單”。由于學(xué)生高中開始就接觸組合公式,所以他們對組合公式比較熟悉,一般情況下他們都會回答比簡單。接著,引進(jìn)例“某人騎摩托車上街,出事故率為,若他獨立重復(fù)上街400次,求出事故恰好兩次的概率?!贝藭r讓學(xué)生甲、乙到黑板求解該題目,規(guī)定甲用組合公式,乙用近似公式。結(jié)果乙不用兩分鐘就可通過查表解決,而甲算半天得不到結(jié)果。最后教師可以把用組合公式計算的結(jié)果以及近似公式計算的結(jié)果給出,比較之后給出以下結(jié)論:實際上“泊松近似定理”就是把復(fù)雜的計算進(jìn)行簡化的一個工具,并且這種簡化具有很強(qiáng)的實際應(yīng)用,特別是在沒有計算機(jī)的時代,這種簡化優(yōu)勢特別明顯。
分組討論
讓學(xué)生分組討論問題,可以讓每個學(xué)生都參與到課堂教學(xué)中,增加學(xué)生之間的相互交流,加深他們對所學(xué)知識的理解和掌握,也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。例如在講授“古典概率模型”時引進(jìn)例“從一副沒有大小王的撲克中,取五張牌,求下列事件的概率:A=出現(xiàn)同花順,B=出現(xiàn)俘虜,C=出現(xiàn)四大天王,D=出現(xiàn)同色。”然后讓學(xué)生分組討論,最后各組選派代表在黑板上寫出答案。由于該問題源于實際生活,學(xué)生都會積極地參與到討論中,這樣課堂氣氛就會活躍起來,也提高了教學(xué)效果。
黑板練習(xí)
隨機(jī)選擇部分學(xué)生到黑板進(jìn)行練習(xí)。有些大學(xué)教師或許會認(rèn)為讓學(xué)生到黑板進(jìn)行練習(xí)是中學(xué)教師做的事情,實際上大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中隨機(jī)選擇學(xué)生到黑板練習(xí)也是必須并且很有意義的。隨機(jī)地挑選學(xué)生到黑板進(jìn)行練習(xí)可以讓教師了解到學(xué)生對知識的掌握程度,同時也可以對學(xué)生的心理造成一定的影響,對抄襲作業(yè)等行為起到一定的抑制作用,并且也可以加強(qiáng)師生間的課堂互動。
3注意教材的靈活處理
首先教材的選擇非常重要,要根據(jù)學(xué)生的授課學(xué)時、接受能力進(jìn)行篩選。但是,即使確定好教材之后,授課內(nèi)容也必須因材施教。例如在農(nóng)業(yè)院校給農(nóng)學(xué)的學(xué)生授課,在概率論方面應(yīng)該注重理論知識的講解,里面一些知識的推導(dǎo)必不可少,其邏輯性要求也應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn)化。這樣有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉,也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,如前文所介紹的棣莫弗-拉普拉斯定理的講授。但對于數(shù)理統(tǒng)計部分內(nèi)容,由于其知識推導(dǎo)需要較多較復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識,所以在對農(nóng)科數(shù)學(xué)學(xué)生授課過程中就不宜于詳細(xì)證明和推導(dǎo),而更應(yīng)該側(cè)重于思想以及知識的實際應(yīng)用。例如,在講授“無交互作用的雙因素的方差分析”時,對于公式SST=SSA+SSB+SSE我們可不必進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo),只是粗略地介紹一下其推導(dǎo)原理,即,而更應(yīng)該注重于SST,SSA,SSB,SSE的意義,并且突出“無交互作用的雙因素的方差分析”的應(yīng)用背景。這樣的授課方式,即概率論方面注重于理論推導(dǎo)、數(shù)理統(tǒng)計方面注重于實際應(yīng)用的處理方法主要是根據(jù)農(nóng)業(yè)院校的學(xué)生文理兼有、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊并且學(xué)時數(shù)不多的情況而采用。否則,若把數(shù)理統(tǒng)計部分內(nèi)容也進(jìn)行嚴(yán)格化證明和推導(dǎo),那對于很多高中選修文科上來的大一學(xué)生來說無疑是難度過大,最終雖然教師授課認(rèn)真辛苦,但教學(xué)效果會大打折扣。因此,教師應(yīng)該根據(jù)不同的學(xué)科需要并且根據(jù)不同的學(xué)生水平選擇適當(dāng)?shù)慕滩模⒑侠淼靥幚斫滩闹械氖谡n內(nèi)容。
4留意知識的前后聯(lián)系
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個分支,因此在授課過程中教師也應(yīng)該時時留意知識的前后聯(lián)系。這里所講“知識的前后聯(lián)系”主要有以下兩種情況:第一,新舊概念的區(qū)別聯(lián)系。當(dāng)講授到一個新概念,發(fā)現(xiàn)它與某些舊概念有密切聯(lián)系或者容易產(chǎn)生混淆時就應(yīng)該對兩者進(jìn)行對比辨析。例如,當(dāng)講授到“相互獨立”概念時,很多學(xué)生都會把它與“互不相容”概念聯(lián)系在一起或者對這兩個概念產(chǎn)生混淆。此時,教師應(yīng)該通過例子說明“相互獨立”與“互不相容”沒有任何聯(lián)系;第二,新舊結(jié)論的區(qū)別聯(lián)系。當(dāng)講授到一個新結(jié)論,發(fā)現(xiàn)它和原來的結(jié)論容易產(chǎn)生混淆時,教師也應(yīng)該通過例子對兩者進(jìn)行辨析。例如在講授完“獨立同分布的中心極限定理”之后,很多學(xué)生就會把它和“切比雪夫不等式”混淆。此時不妨引進(jìn)下面例子“一零件包括10部分,每部分的長度是一個隨機(jī)變量,相互獨立,且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm,均方差是,規(guī)定總長度為20±時產(chǎn)品合格,試求產(chǎn)品合格的概率。”然后讓學(xué)生用“獨立同分布的中心極限定理”和“切比雪夫不等式”來求解。通過這個例子可以很好地讓學(xué)生明白“切比雪夫不等式”一般用于理論研究,得到的結(jié)果比較粗糙。相比之下,“獨立同分布的中心極限定理”更具有實際應(yīng)用的價值。除此之外,教師還應(yīng)在授課過程中注意到新舊知識的前后承接或者同一概念的前后變異。例如,在講授到數(shù)理統(tǒng)計知識時書本往往針對于正態(tài)總體進(jìn)行展開,這時候就要復(fù)習(xí)中心極限定理以及通過實例來說?明現(xiàn)實生活中大部分的隨機(jī)變量都服從或者近似地服從正態(tài)分布,因此數(shù)理統(tǒng)計基本上都是針對正態(tài)總體進(jìn)行研究。另外,在講授到回歸分析中的樣本相關(guān)系數(shù)應(yīng)該和概率論中所講授的兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對比,這樣就可以讓學(xué)生更好地理解樣本相關(guān)系數(shù)的作用以及定義的形式??偠灾?,在授課過程中教師應(yīng)時刻留意知識的前后聯(lián)系,這樣可以使學(xué)生對新舊知識有更好的理解和認(rèn)識,也加深他們對新舊知識的記憶和掌握。
5注重理論的實際應(yīng)用
第一,在教學(xué)過程中由始至終地突出概率論與數(shù)理統(tǒng)計中所有知識點的實際應(yīng)用背景,也就是前面所談及的突出知識的產(chǎn)生背景。例如,抽取撲克概率的問題可以解決打撲克過程中不同牌種的大小關(guān)系,再比如方差分析表中只要把算出的F統(tǒng)計量的值和相應(yīng)臨界值比較就可以用來判斷不同總體的期望值之間是否相等。只要讓學(xué)生明白到他們一旦掌握了這些知識就可以用來解決生活實際問題,則他們學(xué)習(xí)的興趣就可大大提高。第二,開設(shè)上機(jī)實驗課,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件解決實際問題。在講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計的同時開設(shè)數(shù)學(xué)實驗的課程與之匹配。讓學(xué)生在計算機(jī)上通過數(shù)學(xué)軟件實現(xiàn)區(qū)間估計、假設(shè)檢驗、方差分析和回歸分析等。如此一來,學(xué)生就會覺得數(shù)學(xué)是好玩的、有用的,其學(xué)習(xí)興趣更加濃厚。在上機(jī)實驗課最后階段教師還可以引進(jìn)生活實際應(yīng)用例子,提供生活實際數(shù)據(jù)讓學(xué)生通過軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合。華南農(nóng)業(yè)大學(xué)在2010年開設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程時,指導(dǎo)學(xué)生做過這樣的實驗,教師首先介紹了一些動物增重
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