高中數(shù)學(xué)2-⒊學(xué)案：第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3．1　獨(dú)立性檢驗(yàn) 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解2×2列聯(lián)表的意義.2。了解統(tǒng)計(jì)量χ2的意義.3.通過(guò)對(duì)典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法．知識(shí)點(diǎn)一2×2列聯(lián)表思考山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動(dòng)時(shí)間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動(dòng)方式，結(jié)果整理成下表:體育文娛合計(jì)男生210230440女生60290350合計(jì)270520790如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”?梳理(1）2×2列聯(lián)表的定義對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B;Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)：Ⅱ類1類2合計(jì)Ⅰ類Aab類Bcd合計(jì)a＋b＋c＋d（2)χ2統(tǒng)計(jì)量的求法公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d）。知識(shí)點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念用χ2統(tǒng)計(jì)量研究?jī)勺兞渴欠裼嘘P(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系"，可按下面的步驟進(jìn)行：（1)提出假設(shè)H0:__________________；(2）根據(jù)2×2列聯(lián)表及χ2公式，計(jì)算________的值；（3）查對(duì)臨界值，作出判斷．其中臨界值如表所示：P(χ2≥x0)0。500.400.250。150。100。050。0250.0100.0050。001x00。4550。7081。3232。0722。7063。8415.0246。6357。87910.828表示在H0成立的情況下，事件“_____________________________________”發(fā)生的概率．2．推斷依據(jù)(1)若χ2＞10.828，則有99.9％的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系"．(2)若χ2＞6.635，那么有99％的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”．(3)若χ2＞2。706，那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”．（4)若χ2≤2。706，那么就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系．類型一2×2列聯(lián)表例1在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會(huì)調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請(qǐng)作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表．反思與感悟分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來(lái)的結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練1(1)下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100則表中a,b的值分別為_(kāi)_______，________。（2)某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn):在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中有213名在考前心情緊張．作出2×2列聯(lián)表．類型二由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)例2對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示．又發(fā)作心臟病過(guò)未發(fā)作過(guò)心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作過(guò)心臟病的影響有沒(méi)有差別．反思與感悟獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱;｜ad－bc｜越大,關(guān)系越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練2某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對(duì)新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對(duì)某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有10人,不贊同的有10人;青年教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．（1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2）判斷是否有99%的把握說(shuō)明對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系．類型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用例3電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖如圖．將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷"．（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷“體育迷”與性別是否有關(guān)?非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的概率分布，均值E（X)和方差V（X)．附:χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d）。P(χ2≥x0）0。100.050.01x02。7063.8416.635反思與感悟獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟第一步，假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y無(wú)關(guān)系；第二步，找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表；第三步，由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d）計(jì)算出χ2的值;第四步，將χ2的值與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而作出統(tǒng)計(jì)推斷．這些臨界值,在高考題中常會(huì)附在題后，應(yīng)適時(shí)采用．跟蹤訓(xùn)練3某地區(qū)甲校高二年級(jí)有1100人，乙校高二年級(jí)有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，如下表:(已知本次測(cè)試合格線是50分,兩校合格率均為100%）甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：分組[50,60)[60，70)[70,80）［80,90)[90，100]頻數(shù)10253530x乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：分組［50,60)[60,70)[70,80)[80,90）[90,100]頻數(shù)153025y5(1）計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;（精確到1分)(2)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異”?甲校乙校總計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)1．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的．(填有關(guān)，無(wú)關(guān)）2．為了考察長(zhǎng)頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系，隨機(jī)抽查301名女性，得到如下所示的列聯(lián)表，試根據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空．經(jīng)常頭暈很少頭暈合計(jì)長(zhǎng)發(fā)35①121短發(fā)37143②合計(jì)72③④則空格中的數(shù)據(jù)分別為：①________；②________；③________；④________.3．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是________．（填序號(hào)）①若χ2＞6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??；②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99％的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??；③若從χ2與臨界值的比較中得出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5％的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤．4．某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān),隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：心臟病無(wú)心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝eq\f(775×20×450－5×3002,25×750×320×455)≈15.968,因?yàn)棣?>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______．5．根據(jù)下表計(jì)算：不看電視看電視男3785女35143χ2≈________.（保留3位小數(shù)）1．列聯(lián)表列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說(shuō)明這兩個(gè)變量之間是否有相關(guān)關(guān)系．2．對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系"成立，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2的值，如果χ2的值很大，說(shuō)明假設(shè)不合理．χ2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考可通過(guò)表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析定量判斷．梳理(1）a＋bc＋da＋cb＋d知識(shí)點(diǎn)三1．（1）Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系（2)χ2（3）χ2≥x0題型探究例1解作列聯(lián)表如下:喜歡甜食不喜歡甜食合計(jì)男117413530女492178670合計(jì)6095911200跟蹤訓(xùn)練1(1）5254解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54。(2)解作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向合計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計(jì)4265941020例2解假設(shè)病人又發(fā)作過(guò)心臟病與做過(guò)心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)沒(méi)有關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167,a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392，由公式得χ2＝eq\f（392×39×167－157×292，196×196×68×324)≈1.779.因?yàn)棣?≈1.779〈2。706，所以不能得出病人又發(fā)作過(guò)心臟病與做過(guò)心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)有關(guān)系的結(jié)論，即這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作過(guò)心臟病的影響沒(méi)有差別．跟蹤訓(xùn)練2解（1)2×2列聯(lián)表如下所示：贊同不贊同總計(jì)老教師101020青年教師24630總計(jì)341650（2)假設(shè)“對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)"．由公式得χ2＝eq\f（50×10×6－24×102，34×16×20×30）≈4。963〈6.635，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)．例3解（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得χ2＝eq\f（100×30×10－45×152，75×25×45×55)＝eq\f(100，33）≈3。030.因?yàn)?。706<3.030〈3。841，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。10的前提下認(rèn)為“體育迷"與性別有關(guān)．(2）由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0。25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為eq\f（1,4）。由題意知,X～B(3,eq\f(1,4)），從而X的概率分布為X0123Peq\f（27，64）eq\f（27，64)eq\f（9,64）eq\f(1，64)故E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f（3,4)，V(X)＝np(1－p）＝3×eq\f（1，4）×eq\f（3,4）＝eq\f(9，16）.跟蹤訓(xùn)練3解(1）依題意知，甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人，∴x＝10，y＝15，估計(jì)兩個(gè)學(xué)校的平均分,甲校的平均分為eq\f（55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10,110）≈75.乙校的平均分為eq\f（55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5,90)≈71。（2）數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,低于80分為非優(yōu)秀,得到2×2列聯(lián)表如下：甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀402060