高中數(shù)學(xué)北師大版1-1學(xué)案：第二章 1.2 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)．知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系思考1判斷點(diǎn)P(1,2）與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的位置關(guān)系．思考2類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a〉b>0)的位置關(guān)系的判定嗎？知識(shí)點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系思考1直線與橢圓有幾種位置關(guān)系?思考2如何判斷y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a>b>0)的位置關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)三直線與橢圓的相交弦思考若直線與橢圓相交，如何求相交弦弦長(zhǎng)？梳理弦長(zhǎng)公式：（1）|AB｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22）＝eq\r(1＋k2)｜x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；（2)｜AB｜＝eq\r（1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r（1＋\f(1，k2）［y1＋y22－4y1y2］）。注：直線與橢圓的交點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2)，k為直線的斜率．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2,y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y或x后得到關(guān)于x或y的一元二次方程得到．類型一直線與橢圓的位置關(guān)系命題角度1直線與橢圓位置關(guān)系的判斷例1直線y＝kx－k＋1與橢圓eq\f（x2，2)＋eq\f（y2,3）＝1的位置關(guān)系是（)A．相交B．相切C．相離D．不確定反思與感悟直線與橢圓的位置關(guān)系判斷方法（代數(shù)法)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程:(1）Δ〉0?直線與橢圓相交?有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）Δ＝0?直線與橢圓相切?有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)Δ<0?直線與橢圓相離?無公共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)（0，eq\r（2）)且斜率為k的直線l與橢圓eq\f(x2,2）＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.求k的取值范圍．命題角度2距離的最值問題例2在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2，7)＝1上求一點(diǎn)P，使它到直線l:3x－2y－16＝0的距離最短,并求出最短距離．反思與感悟此類問題可用數(shù)形結(jié)合思想尋找解題思路，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，也可以設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出最小距離．跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓x2＋8y2＝8,在橢圓上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線l：x－y＋4＝0的距離最短，并求出最短距離．類型二弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題例3已知橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2，9)＝1和點(diǎn)P（4，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l的斜率為eq\f(1，2)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)P點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí),求l的方程．反思與感悟處理直線與橢圓相交的關(guān)系問題的通用方法是通過解直線與橢圓構(gòu)成的方程．利用根與系數(shù)的關(guān)系或中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決，涉及弦的中點(diǎn)，還可使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓ax2＋by2＝1（a〉0，b〉0且a≠b）與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn)，若|AB｜＝2eq\r（2）,OC的斜率為eq\f(\r(2)，2），求橢圓的方程．類型三橢圓中的最值(或范圍）問題例4已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m。（1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;（2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程．引申探究在例4中，設(shè)直線與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2,y2)兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時(shí)的直線方程．反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等．解決這類問題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想．其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式,這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件．跟蹤訓(xùn)練4橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a〉b〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為eq\f（1，2)，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，△F1PF2面積的最大值為eq\r(3).（1)求橢圓的方程；(2）已知直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn),且直線l的方程為y＝kx＋eq\r（3）（k>0），若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積的最大值．1．經(jīng)過橢圓eq\f（x2，16）＋eq\f(y2,3）＝1的中心的直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)間距離的最大值為（）A．6B．8C．10D．162．經(jīng)過橢圓eq\f(x2,9）＋eq\f（y2，6）＝1的焦點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓的相交弦的長(zhǎng)度為（)A．1B．2C．3D．43．直線y＝x＋2與橢圓eq\f（x2,m）＋eq\f(y2，3)＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(）A．m〉1 B．m>1且m≠3C．m〉3 D．m>0且m≠34．過點(diǎn)P（－1，1)的直線交橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2）＝1于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，則AB所在的直線方程為________________．5．直線l：y＝kx＋1與橢圓eq\f（x2,2）＋y2＝1交于M，N兩點(diǎn)，且｜MN｜＝eq\f（4\r(2），3)，求直線l的方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法,解題步驟為（1）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x1,y1），B（x2,y2);(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程；（3）消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；(4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；（5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，進(jìn)而求解．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1當(dāng)x＝1時(shí),得y2＝eq\f(3，4），故y＝±eq\f（\r(3）,2)，而2〉eq\f(\r(3）,2），故點(diǎn)在橢圓外．思考2當(dāng)P在橢圓外時(shí),eq\f(x\o\al（2，0)，a2)＋eq\f（y\o\al(2，0）,b2）〉1；當(dāng)P在橢圓上時(shí)，eq\f(x\o\al（2，0),a2）＋eq\f（y\o\al(2,0）,b2)＝1；當(dāng)P在橢圓內(nèi)時(shí)，eq\f(x\o\al(2，0),a2）＋eq\f(y\o\al(2,0）,b2）〈1。知識(shí)點(diǎn)二思考1有三種位置關(guān)系,分別有相交、相切、相離．思考2聯(lián)立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2，b2)＝1，))消去y得關(guān)于x的一元二次方程。位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交兩解Δ〉0相切一解Δ＝0相離無解Δ<0知識(shí)點(diǎn)三思考有兩種方法：一種方法是聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間距離公式可求得，另一種方法是利用弦長(zhǎng)公式可求得．題型探究例1A[直線y＝kx－k＋1＝k（x－1)＋1過定點(diǎn)（1,1），且該點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,因此必與橢圓相交．]跟蹤訓(xùn)練1解由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋eq\r（2），代入橢圓方程得eq\f(x2,2)＋（kx＋eq\r(2））2＝1.整理得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）＋k2))x2＋2eq\r（2)kx＋1＝0.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)＋k2)）＝4k2－2＞0，解得k＜－eq\f（\r(2)，2）或k＞eq\f(\r(2),2）。即k的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞,－\f（\r（2）,2)））∪eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,2)，＋∞）)。例2解設(shè)與橢圓相切并與l平行的直線方程為y＝eq\f(3,2）x＋m，代入eq\f（x2，4）＋eq\f（y2，7)＝1,并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16（m2－7）＝0?m2＝16?m＝±4，故兩切線方程為y＝eq\f(3，2）x＋4和y＝eq\f(3,2）x－4,顯然y＝eq\f(3，2)x－4距l(xiāng)最近，d＝eq\f(｜16－8|，\r(32＋－22））＝eq\f(8，\r（13))＝eq\f（8\r(13)，13）,切點(diǎn)為Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，2),－\f（7,4）)).跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切的直線為x－y＋a＝0，聯(lián)立方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，））得9y2－2ay＋a2－8＝0,Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3,∴與直線l距離較近的切線方程為x－y＋3＝0，最小距離為d＝eq\f(｜4－3｜,\r(2）)＝eq\f（\r（2),2).由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋8y2＝8，，x－y＋3＝0，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（8,3），，y＝\f（1,3)，））即P點(diǎn)坐標(biāo)為（－eq\f（8,3)，eq\f（1,3））．例3解（1）由已知可得直線l的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x－4），即y＝eq\f(1，2)x.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝\f（1,2）x，,\f（x2，36）＋\f(y2,9)＝1，）)消去y可得x2－18＝0，若設(shè)A（x1，y1），B(x2,y2）．則x1＋x2＝0，x1x2＝－18。于是|AB｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22)＝eq\r（x1－x22＋\f(1,4）x1－x22）＝eq\f（\r(5)，2）eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f（\r（5）,2)×6eq\r（2）＝3eq\r（10)。所以線段AB的長(zhǎng)度為3eq\r(10）。（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意．所以直線l的斜率存在．設(shè)l的斜率為k，則其方程為y－2＝k(x－4)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y－2＝kx－4，,\f(x2，36)＋\f(y2，9）＝1，））消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋（64k2－64k－20)＝0。若設(shè)A（x1，y1），B（x2,y2），則x1＋x2＝eq\f(32k2－16k,1＋4k2），由于AB的中點(diǎn)恰好為P（4，2）,所以eq\f(x1＋x2，2）＝eq\f（16k2－8k，1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f（1,2)，且滿足Δ〉0。這時(shí)直線的方程為y－2＝－eq\f（1，2）(x－4），即x＋2y－8＝0.跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)A(x1，y1)，B（x2，y2），代入橢圓方程并作差，得a（x1＋x2）（x1－x2）＋b(y1＋y2）(y1－y2)＝0.①∵A，B為直線x＋y－1＝0上的點(diǎn)，∴eq\f（y1－y2,x1－x2)＝－1。由已知得eq\f（y1＋y2，x1＋x2)＝kOC＝eq\f(\r(2)，2)，代入①式可得b＝eq\r(2）a.∵直線x＋y－1＝0的斜率k＝－1.又|AB|＝eq\r（1＋k2）｜x2－x1|＝eq\r（2)|x2－x1｜＝2eq\r(2)，∴|x2－x1｜＝2。聯(lián)立ax2＋by2＝1與x＋y－1＝0，可得(a＋b）x2－2bx＋b－1＝0.且由已知得x1，x2是方程(a＋b）x2－2bx＋b－1＝0的兩根，∴x1＋x2＝eq\f（2b，a＋b）,x1x2＝eq\f(b－1，a＋b）,∴4＝（x2－x1）2＝（x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2b,a＋b））)2－4·eq\f(b－1,a＋b).②將b＝eq\r（2)a代入②式,解得a＝eq\f（1，3）,∴b＝eq\f（\r(2），3)?！嗨髾E圓的方程是eq\f（x2,3）＋eq\f（\r（2）y2，3）＝1.例4解（1)由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，））得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0,解得－eq\f（\r(5)，2）≤m≤eq\f(\r（5）,2).(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1）,B（x2，y2)兩點(diǎn)，由(1）知5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(2m，5），x1x2＝eq\f（1,5)（m2－1),所以|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22）＝eq\r(2x1－x22)＝eq\r（2［x1＋x22－4x1x2]）＝eq\r(2\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(4m2，25)－\f（4，5）m2－1）））＝eq\f(2,5)eq\r(10－8m2）.所以當(dāng)m＝0時(shí)，｜AB|最大,此時(shí)直線方程為y＝x.引申探究解可求得O到AB的距離d＝eq\f（｜m｜，\r(2)），又|AB|＝eq\f（2,5）eq\r(10－8m2)，∴S△AOB＝eq\f（1，2)|AB｜·d＝eq\f（1，2)·eq\f(2,5）eq\r（10－8m2)·eq\f(｜m|,\r（2))＝eq\f（2,5）eq\r(\f(5,4)－m2m2）≤eq\f（2，5）·eq\f(\f(5,4)－m2＋m2，2）＝eq\f(1，4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（5，4）－m2＝m2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)m＝±eq\f(\r（10),4)∈［－eq\f（\r(5），2），eq\f（\r（5）,2）]．∴所求直線的方程為x－y±eq\f（\r(10)，4)＝0。跟蹤訓(xùn)練4解(1）已知橢圓的離心率為eq\f（1,2），不妨設(shè)c＝t，a＝2t，即b＝eq\r（3）t,其中t〉0，又△F1PF2面積取最大值eq\r(3)時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)，因此eq\f(1，2)·2t·eq\r(3）t＝eq\r(3)，解得t＝1，則橢圓的方程為eq\f(x2，4）＋eq\f(y2,3）＝1。（2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx＋\r(3)，,\f(x2，4）＋\f(y2，3)＝1，))整理得(4k2＋3）x2＋8eq\r(3）kx＝0.解得x1＝0或x2＝－eq\f(8\r(3)k，4k2＋3)。∵k〉0，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)｜x1－x2｜＝eq\r(1＋k2)｜－eq\f(8\r(3）k,4k2＋3）|＝eq\r（1＋k2）·eq\f(8\r