交換理論基礎(chǔ)

交換理論基礎(chǔ)第一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五關(guān)于“交換理論”

交換理論是隨著電話(huà)交換技術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展而產(chǎn)生的一門(mén)學(xué)科。它的任務(wù)是研究電話(huà)負(fù)載、電話(huà)交換系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和服務(wù)質(zhì)量之間的數(shù)量關(guān)系,提供最優(yōu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論和方法。交換理論的研究對(duì)象不僅限于電話(huà)交換系統(tǒng)，其原理和方法還應(yīng)用于其他各類(lèi)信息交換系統(tǒng)。

2第二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

通信網(wǎng)絡(luò)與交換機(jī)是典型的服務(wù)系統(tǒng)。它們利用所擁有的資源（信道帶寬資源、計(jì)算資源、存儲(chǔ)資源等）或設(shè)備為用戶(hù)提供服務(wù)，并滿(mǎn)足特定的服務(wù)質(zhì)量要求。因?yàn)橛脩?hù)的服務(wù)需求是隨機(jī)發(fā)生的，每次服務(wù)占用資源的時(shí)間也是隨機(jī)的，所以這是一種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，需要借助于概率論及隨機(jī)過(guò)程的理論。交換理論研究方法交換技術(shù)交換理論概率論與隨機(jī)過(guò)程

3第三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)于電路交換系統(tǒng)而言，它們的服務(wù)對(duì)象是用戶(hù)的呼叫。根據(jù)其交換機(jī)制，在電路連接建立以后交換時(shí)延可以忽略不計(jì)。但呼叫到達(dá)時(shí)刻和持續(xù)時(shí)間的隨機(jī)性導(dǎo)致交換服務(wù)設(shè)備忙閑狀態(tài)的不確定性，當(dāng)服務(wù)設(shè)備處于全忙狀態(tài)時(shí)，新到達(dá)的呼叫就不能得到服務(wù)。所以其主要的QoS指標(biāo)是呼叫的損失率，簡(jiǎn)稱(chēng)呼損率。對(duì)于分組交換系統(tǒng)而言，它們的服務(wù)對(duì)象是分組，它的交換機(jī)制是存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)。所以分組交換系統(tǒng)的主要QoS指標(biāo)是分組的轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)延和丟失率。

4交換理論研究方法(續(xù))第四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.1概率論與隨機(jī)過(guò)程

二項(xiàng)分布：交換系統(tǒng)中的各種服務(wù)設(shè)備，如各級(jí)交換單元的輸入輸出鏈路、交換機(jī)的中繼線(xiàn)等，這些設(shè)備的占用情況往往可以用二項(xiàng)分布來(lái)分析。泊松分布：在實(shí)際問(wèn)題中，有許多隨機(jī)變量服從泊松分布。例如，一段時(shí)間內(nèi)電話(huà)局收到的呼叫次數(shù)，某路口通過(guò)的車(chē)輛數(shù)等，都可用泊松分布來(lái)描述。

概率論與隨機(jī)過(guò)程是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具，內(nèi)容十分豐富，本節(jié)主要介紹與交換理論密切相關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)過(guò)程內(nèi)容，大量的隨機(jī)現(xiàn)象體現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)規(guī)律，主要包括：

5第五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五指數(shù)分布：在交換理論中，有兩種很重要的隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，這就是兩個(gè)相鄰呼叫的間隔時(shí)間和電話(huà)呼叫的占用時(shí)長(zhǎng)。隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程理論的內(nèi)容極為廣泛，與交換理論密切相關(guān)的是馬爾可夫過(guò)程，尤其是馬爾可夫過(guò)程的特殊情況，即泊松過(guò)程和增消過(guò)程（生滅過(guò)程）。

6第六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.1.1概率論基礎(chǔ)隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察的結(jié)果稱(chēng)作樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)的全體（所有可能的結(jié)果）構(gòu)成樣本空間E。它可以是有限個(gè)元素，也可以是無(wú)限可列元素集合，以及無(wú)限不可列個(gè)元素集合。定義1：隨機(jī)變量對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)e∈E有一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，定義在樣本空間E上的實(shí)單值函數(shù)X(e)為隨機(jī)變量，記做X。隨機(jī)變量是一個(gè)樣本點(diǎn)的函數(shù)，不是普通變量，我們一般關(guān)心它的所有可能的取值及相應(yīng)的概率分布。根據(jù)它的取值可以分為離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量。第七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義2：分布函數(shù)。X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)規(guī)定的函數(shù)為X的分布函數(shù)，F(xiàn)(-∞)=0,F(∞)=1分布函數(shù)能反映隨機(jī)變量X的值x處于任意區(qū)間(x1,x2)的概率。它能完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但是分布函數(shù)很難求。定義2.1：離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)。設(shè)Xk(k=0,1,2…)為離散型隨機(jī)變量X的任一取值，X取值Xk的概率為X的概率函數(shù)。P(X=Xk)=Pk∑Pk=1(k所有取值)對(duì)于離散型隨機(jī)變量用概率函數(shù)描述其概率分布更直接。第八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義2.2：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。存在f(x)非負(fù)函數(shù)。使下式成立。f(x)稱(chēng)作X的概率密度函數(shù)，又叫概率密度。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量采用概率密度描述概率分布更直接。有些情況下不一定要求出隨機(jī)變量的分布函數(shù)，只需要知道一些“數(shù)字特征”“矩”---隨機(jī)變量的一類(lèi)數(shù)字特征定義3：X為離散型隨機(jī)變量，g(X)為X的單值函數(shù)，其概率分布P(X=xk)=Pkk=0,1,2…第九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果不等式∑Pk|g(xk)|<∞成立。稱(chēng)級(jí)數(shù)∑Pkg(xk)為離散型隨機(jī)變量g(x)的數(shù)學(xué)期望。定義3.1：X連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為其概率密度。

其值為連續(xù)型隨機(jī)變量g(x)的數(shù)學(xué)期望。若g(X)=X，則上面兩個(gè)式子為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，它表示隨機(jī)變量概率分布的中心。g(x)=Xn，則稱(chēng)作隨機(jī)變量的矩。n=1為一階矩，即是數(shù)學(xué)期望，又叫平均值。n=2為二階矩，又稱(chēng)作均方值。離散型隨機(jī)變量有n階矩mn=∑xknPk第十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五另一個(gè)數(shù)字特征是“方差”，度量隨機(jī)變量在其數(shù)學(xué)期望左右的分散程度定義4：對(duì)于X隨機(jī)變量，若E{[X-E(X)]n}存在，則稱(chēng)un=E{[X-E(X)]n}為隨便變量的中心矩。u2=E{[X-E(X)]2}稱(chēng)作方差，記做D(X)或者δ2，δ2=E{[X-E(X)]2}=E(X2)-[E(X)]2=m2=m12δ叫做標(biāo)準(zhǔn)差。第十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五常見(jiàn)的概率分布1，0-1分布定義5：隨機(jī)變量X只可能取值0和1,相應(yīng)的概率為P(X=1)=P,P(X=0)=1-P稱(chēng)X服從0-1分布。0-1分布是一種簡(jiǎn)單的概率分布，在隨機(jī)現(xiàn)象描述中應(yīng)用廣泛。比如：電話(huà)呼叫的發(fā)生/不發(fā)生；服務(wù)設(shè)備的忙/閑;比特傳輸?shù)恼_/錯(cuò)誤；設(shè)備故障的有/無(wú)。它的數(shù)學(xué)期望E(X)=P；方差D(X)=p(1-p)第十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.

二項(xiàng)分布

把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)地進(jìn)行n次，如果試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，則稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為n重獨(dú)立試驗(yàn)。如果在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：事件A發(fā)生或事件A（A的對(duì)立事件）發(fā)生，則稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為n重貝努里[Bernoulli]試驗(yàn)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型叫貝努里試驗(yàn)概型。在貝努里概型中，我們關(guān)心的是n次試驗(yàn)中事件A正好發(fā)生k次的概率。可以證明，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A正好發(fā)生k次的概率為:－2.1.1概率論基礎(chǔ)

13式中()nkqpCkPknkknnL,2,1,0==-pq-=1])!(![!knknCkn-=指定1表示事件A，0表示/A，以X=k表示n次試驗(yàn)中A恰好出現(xiàn)k次的事件，得到一個(gè)隨機(jī)變量，其可能的取值k=0123…n第十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義6:

設(shè)隨機(jī)變量X可能的取值為k=0,1,2······n，其概率函數(shù)為:(1代表A，0代表/A,X=k表示在n次試驗(yàn)中恰好出現(xiàn)k次的事件，X是A出現(xiàn)0,1,2…n的事件的隨機(jī)變量)這種類(lèi)型的分布之所以稱(chēng)為二項(xiàng)(Binomial)分布，是因?yàn)楦怕视?jì)算式的右邊恰好是牛頓二項(xiàng)式(q+px)n

的展開(kāi)式中xk

項(xiàng)的系數(shù)。

14二項(xiàng)分布

這里，q=1-p，則稱(chēng)X服從參數(shù)為(n,p)的二項(xiàng)分布，記為:X~B(n,p)。nkqpCkPkXPknkknn,,2,1,0)()(L====-第十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，它的數(shù)學(xué)期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)交換系統(tǒng)中各種服務(wù)設(shè)備，比如交換單元的輸入輸出鏈路，交換機(jī)中的中繼線(xiàn)；交換控制處理器等等。這些設(shè)備的占用情況往往可以用二項(xiàng)分布來(lái)分析。第十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.1:

設(shè)某交換機(jī)中有5個(gè)服務(wù)器，每個(gè)服務(wù)器的占用是完全獨(dú)立的，每個(gè)服務(wù)器被占用的概率為0.4。要求計(jì)算5個(gè)服務(wù)器有k個(gè)被占用的概率。解：首先分析服務(wù)器的占用問(wèn)題能否歸結(jié)為貝努里試驗(yàn)概型。我們可以把檢驗(yàn)一個(gè)服務(wù)器的忙閑狀態(tài)看成一次試驗(yàn)，檢驗(yàn)5個(gè)服務(wù)器就是5次試驗(yàn)，且試驗(yàn)是獨(dú)立的。因此，服務(wù)器的占用情況滿(mǎn)足用貝努里概型的假設(shè)條件，相應(yīng)的占用概率可以用二項(xiàng)分布計(jì)算。根據(jù)題意，已知：n=5，k=0,1,2,3,4,5，p=0.4，q=0.6。代入公式可求得相應(yīng)結(jié)果（參考教材）。

16二項(xiàng)分布舉例

ú?ùê?é=0102.050768.042304.033456.022592.01078.0)(0kXPk第十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.

泊松分布

泊松（Poisson）分布可由二項(xiàng)分布取極限得到。又設(shè)np=λ>0是常數(shù)，對(duì)于n=1,2······均成立，則對(duì)任一個(gè)非負(fù)整數(shù)k有:上述定理稱(chēng)為泊松定理，定理中的極限值滿(mǎn)足

17泊松定理設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1,2,···)服從二項(xiàng)分布，即nkppCkXPknkknn,,1,0,)1()(L=-==-!)1(limkeppCkknkknll--n￥?=-1!!00===-￥=-￥=-??lllllleekekekkkk第十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義7：設(shè)隨機(jī)變量X可能的取值為k=0,1,2,······，其概率函數(shù)為:其中λ>0為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)。

18泊松分布

泊松分布只有一個(gè)參數(shù)λ，其數(shù)學(xué)期望，E(X)=λ，方差D(X)=σ2=λ

。由泊松定理知，當(dāng)n很大而p很小且np=λ>0是常數(shù)時(shí)，二項(xiàng)分布B(n,p)的概率函數(shù)近似等于泊松分布P(λ)的概率函數(shù)，即有：!keqpCkknkknll--?L,2,1,0!)(===-kkekXPkll第十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

例如一段時(shí)間內(nèi)電話(huà)局收到的呼叫次數(shù)，某路口通過(guò)的車(chē)輛數(shù)等，都可用泊松分布來(lái)描述。作為例子，考慮在[0,t]時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的呼叫次數(shù)N這一隨機(jī)變量，它服從下式所示的泊松分布：這里，數(shù)學(xué)期望E(N)=λt是[0,t]時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均呼叫數(shù)，而λ就是單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均呼叫數(shù)，稱(chēng)為到達(dá)率或呼叫強(qiáng)度。

19L,2,1,0!)()(===-kektkNPtkll泊松分布

第十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例某電話(huà)局的統(tǒng)計(jì)資料表明，該局平均每分鐘到達(dá)12個(gè)呼叫。試按泊松分布計(jì)算，在一分鐘內(nèi)到達(dá)k個(gè)呼叫的概率（k=0,1,2.…）。解根據(jù)題意有λt=12，根據(jù)泊松分布公式，一分鐘內(nèi)到達(dá)k個(gè)呼叫的概率為：計(jì)算結(jié)果示于右圖。泊松分布由參數(shù)λ決定，其曲線(xiàn)是非對(duì)稱(chēng)的，隨著λ增大，非對(duì)稱(chēng)性越不明顯，但概率峰值下降。

20泊松分布舉例)2,1,0(!12)(12L===-kekkNPk24k681012141618200.020.040.060.080.100.120P(k)第二十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.

指數(shù)分布（連續(xù)型隨機(jī)變量的一種概率分布）

定義設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~e（λ），其中λ>0為常數(shù)。

21000)(>￡?íì=-xxexfxll

我們很容易求得指數(shù)分布的分布函數(shù)為：0010)(>￡?íì-=-xxexFxl第二十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五指數(shù)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，在交換理論中，有兩種很重要的隨機(jī)變量服從指數(shù)分布：

1）兩個(gè)相鄰呼叫的間隔時(shí)間；

2）電話(huà)呼叫的占用時(shí)長(zhǎng)。我們可以證明其服從指數(shù)分布，前面已經(jīng)指出，在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生的呼叫數(shù)服從泊松分布，由其概率函數(shù)公式容易得到在時(shí)間t內(nèi)沒(méi)有發(fā)生呼叫的概率為：?

關(guān)于兩個(gè)相鄰呼叫的間隔時(shí)間

22指數(shù)分布

tteetNPlll--===0!0)()0(第二十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在時(shí)間t內(nèi)沒(méi)有發(fā)生呼叫，也就是相鄰呼叫的間隔時(shí)間大于t，如果相鄰呼叫的間隔時(shí)間用隨機(jī)變量X表示，則對(duì)于任意t>0，X的分布函數(shù)為：顯然，當(dāng)t≤0時(shí)，F(xiàn)(t)=P(X≤t)=0，從而上式就是指數(shù)分布的分布函數(shù)，由此得證。

23指數(shù)分布

teNPtXPtXPtFl--==-=>-=￡=1)0(1)(1)()(0010)(>￡?íì-=-ttetFtl第二十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五重要結(jié)論：在呼叫次數(shù)服從泊松分布的情況下，兩個(gè)相鄰呼叫的間隔時(shí)間服從指數(shù)分布。參數(shù)λ為單位時(shí)間內(nèi)平均發(fā)生的呼叫數(shù)，又稱(chēng)為呼叫強(qiáng)度。知道了呼叫強(qiáng)度λ，就完全掌握了呼叫間隔時(shí)間的概率分布。

24指數(shù)分布

第二十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五?

關(guān)于電話(huà)呼叫的占用時(shí)長(zhǎng)大量統(tǒng)計(jì)資料表明其近似服從指數(shù)分布，令S表示呼叫的平均通話(huà)時(shí)長(zhǎng)，令μ表示單位時(shí)間內(nèi)結(jié)束通話(huà)的平均呼叫數(shù)，又稱(chēng)μ為呼叫結(jié)束強(qiáng)度，則μ=1/S。描述通話(huà)時(shí)長(zhǎng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)為：

25指數(shù)分布

000)(>￡?íì=-ttetftmm0010)(/>￡???íì=-tteStfSt0010)(>￡???íì-=-ttetFtm0010)(/>￡?íì-=-ttetFSt第二十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例設(shè)呼叫的平均通話(huà)時(shí)長(zhǎng)為3分鐘，(1)試計(jì)算通話(huà)時(shí)長(zhǎng)大于3分鐘的概率；(2)如果呼叫已經(jīng)通話(huà)3分鐘，試計(jì)算在此條件下呼叫繼續(xù)通話(huà)大于3分鐘的概率。解(1)已知S=3分鐘，用隨機(jī)變量X表示通話(huà)時(shí)長(zhǎng)，令A(yù)表示事件“X>3”，則P(A)為通話(huà)時(shí)長(zhǎng)大于3分鐘的概率(2)令B表示事件“X>6”

。由題意知，要求P(B/A)該例揭示了指數(shù)分布的一個(gè)特性，在通話(huà)時(shí)長(zhǎng)服從指數(shù)分布的條件下，呼叫還將繼續(xù)通話(huà)多長(zhǎng)時(shí)間，與它已經(jīng)通話(huà)多長(zhǎng)時(shí)間無(wú)關(guān)。我們把這個(gè)特性稱(chēng)為指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”。

26指數(shù)分布舉例

eeFXPXPAP/1)3(1)3(1)3()(3/3==-=￡-=>=-eeeAPBPAPABPABP1)()()()()/(3/33/6====--第二十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.1.2隨機(jī)過(guò)程及應(yīng)用

交換系統(tǒng)是典型的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，用戶(hù)要求通信的業(yè)務(wù)量和服務(wù)設(shè)備的狀態(tài)都是隨時(shí)間變化的。研究這樣的隨機(jī)現(xiàn)象，必須引入一個(gè)依賴(lài)于時(shí)間參變量t的隨機(jī)變量。定義我們稱(chēng)依賴(lài)于參變量t的隨機(jī)變量集合{X(t)}為隨機(jī)過(guò)程，其中t屬于一個(gè)固定的實(shí)數(shù)集T，記為{X(t),t∈T}

，簡(jiǎn)寫(xiě)為X(t)，參變量t一般代表時(shí)間。隨機(jī)過(guò)程在某一固定時(shí)刻的取值是一個(gè)隨機(jī)變量。X(t)的取值又稱(chēng)為過(guò)程的狀態(tài)。根據(jù)狀態(tài)與時(shí)間的取值，隨機(jī)過(guò)程可分為四類(lèi)：（1）狀態(tài)離散、時(shí)間離散；（2）狀態(tài)離散、時(shí)間連續(xù)；（3）狀態(tài)連續(xù)、時(shí)間離散；（4）狀態(tài)連續(xù)、時(shí)間連續(xù)。與交換理論有密切聯(lián)系的主要是狀態(tài)離散的馬爾可夫過(guò)程，包括泊松過(guò)程、生滅過(guò)程等。

27第二十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五為了描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，自然要知道X(t)對(duì)于每個(gè)t∈T的分布函數(shù)或概率函數(shù)。對(duì)于狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)程，用如下的n維概率分布簇來(lái)描述。定義設(shè){X(t)，t∈T}是一個(gè)狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)程。如果對(duì)于任意的一組參變量tm∈T(m=0,1,2,…n)，其中t0<t1<···<tn，以及任何整數(shù)i,j，等式成立，則稱(chēng){X(t)，t∈T}為一個(gè)馬爾可夫過(guò)程。這里的條件概率稱(chēng)為（狀態(tài)）轉(zhuǎn)移概率。

28LL,2,1})(,)(,)({2211====nxtXxtXxtXPnnn})(|)({})(,)(,,)(|)({112200itXjtXPitXitXitXjtXPnnnnnn=======----L馬爾可夫過(guò)程第二十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果把tn-1時(shí)刻指定為“現(xiàn)在”，tn時(shí)刻就是“將來(lái)”。馬爾可夫過(guò)程的定義告訴我們，系統(tǒng)在將來(lái)的狀態(tài)只決定于現(xiàn)在的狀態(tài)，而與過(guò)去無(wú)關(guān)。這就是所謂的馬爾可夫過(guò)程的“無(wú)后效性”。馬爾可夫過(guò)程又分為齊次馬爾可夫過(guò)程和非齊次馬爾可夫過(guò)程。定義設(shè){X(t),t∈T}為一個(gè)馬爾可夫過(guò)程，如果對(duì)于任何t1∈T

,t2∈T(t1<t2)，轉(zhuǎn)移概率P{X(t2)=j/X(t1)=i}只與差值t2-t1有關(guān)，那么稱(chēng){X(t),t∈T}是一個(gè)齊次馬爾可夫過(guò)程。

29齊次馬爾可夫過(guò)程第二十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.

泊松過(guò)程(PoissonProcess)

前面已經(jīng)討論過(guò)隨機(jī)變量的泊松分布，它可以由二項(xiàng)分布的概率函數(shù)取極限得到。這里，從隨機(jī)過(guò)程的角度，以電話(huà)呼叫流為例對(duì)這種隨機(jī)現(xiàn)象做進(jìn)一步的研究，同時(shí)給出電話(huà)呼叫流服從泊松分布的條件，求得一定時(shí)間內(nèi)所發(fā)生的呼叫數(shù)的概率分布。設(shè)X(t)為在區(qū)間[0,t]內(nèi)觀察到的呼叫次數(shù)，這里0≤t＜∞。于是有一個(gè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),0≤t＜∞

}

，其中每個(gè)X(t)都只能取非負(fù)整數(shù)值i=0,1,2,···。又對(duì)于任何t1和t2(t1<t2)，增量X(t2)-X(t1)能取值0,1,2,···。

30第三十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五首先根據(jù)呼叫的發(fā)生時(shí)間順序，把每一個(gè)呼叫用小圓點(diǎn)表示在時(shí)間軸上，如下圖所示。假設(shè)呼叫流滿(mǎn)足下列三個(gè)條件。（1）平穩(wěn)性：平穩(wěn)性是指呼叫以相同的平均密度在時(shí)間軸上分布。用λ

來(lái)表示此密度，λ為單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的平均呼叫數(shù)，也稱(chēng)為“呼叫強(qiáng)度”。在時(shí)間軸上任取一長(zhǎng)度為t的區(qū)間，落入該區(qū)間任意指定數(shù)量呼叫的概率，只與該區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該區(qū)間在時(shí)間軸上的位置無(wú)關(guān)，將這個(gè)區(qū)間劃分為n個(gè)相等的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度設(shè)為⊿t=t/n，在⊿t內(nèi)平均發(fā)生λ⊿t個(gè)呼叫。

31泊松過(guò)程第三十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）普通性：普通性是指在同一時(shí)間瞬間，不可能發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上呼叫。在一個(gè)長(zhǎng)度⊿t的小間隔內(nèi)發(fā)生一次呼叫的概率為λ⊿t

+O(⊿t)。當(dāng)⊿t充分小時(shí)，在⊿t內(nèi)最多只能發(fā)生一個(gè)呼叫，其概率近似等于λ⊿t

=

λt

/n，在⊿t內(nèi)不發(fā)生呼叫的概率近似等于1-λ⊿t

=1-λt

/n

。（3）獨(dú)立增量性：獨(dú)立增量性是指在互不相交的各時(shí)間區(qū)間內(nèi)呼叫的發(fā)生過(guò)程是彼此獨(dú)立的。把滿(mǎn)足以上三個(gè)條件的呼叫流稱(chēng)為泊松呼叫流，電話(huà)呼叫流就是一種典型的泊松呼叫流。

32泊松過(guò)程第三十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)以上對(duì)三個(gè)條件的討論，我們知道，在每個(gè)充分小的區(qū)間⊿t內(nèi)，只存在兩種可能的結(jié)果，或發(fā)生一個(gè)呼叫，或不發(fā)生呼叫。且各小區(qū)間內(nèi)發(fā)生的事件是相互獨(dú)立的。因此，觀察n個(gè)小區(qū)間里共發(fā)生了多少個(gè)呼叫，可看成是n重貝努里試驗(yàn)的結(jié)果。在t時(shí)間內(nèi)發(fā)生k個(gè)呼叫，也就是n次試驗(yàn)中，有k次發(fā)生了呼叫，有n-k次沒(méi)有發(fā)生呼叫，由貝努里試驗(yàn)概型，在n次試驗(yàn)中正好有k個(gè)呼叫發(fā)生的概率為：?計(jì)算在時(shí)間長(zhǎng)度為t的區(qū)間內(nèi)發(fā)生k個(gè)呼叫的概率

33knkknnntntCtkPktXP--===)1()(),(})({ll泊松過(guò)程第三十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，概率Pn(k)就趨于概率P(k)

，即經(jīng)過(guò)計(jì)算，上式的極限值為：可以看出，上式就是泊松分布，λt為t時(shí)間內(nèi)的平均呼叫數(shù)。泊松過(guò)程是一種馬爾可夫過(guò)程，而且是一種齊次馬爾可夫過(guò)程。

34泊松過(guò)程L,2,1,0!)(),(==-kekttkPtkllknkknnnnnttCtkPtkP-￥?￥?-==)1()(),(),(limlimlln第三十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.生滅過(guò)程（Birth-DeathProcess）

考慮電話(huà)交換系統(tǒng)內(nèi)呼叫數(shù)隨時(shí)間的變化。交換系統(tǒng)的輸入是電話(huà)呼叫流（泊松流），各個(gè)呼叫不斷地隨機(jī)到達(dá)，經(jīng)過(guò)一段隨機(jī)的服務(wù)時(shí)間完成服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)。因此系統(tǒng)中逗留的呼叫數(shù)是一個(gè)典型的隨機(jī)過(guò)程，記為X(t)，它表示時(shí)刻t系統(tǒng)內(nèi)逗留的呼叫數(shù)。顯然，X(t)只取非負(fù)整數(shù)，X(t)＝k表示系統(tǒng)處于狀態(tài)k?，F(xiàn)在來(lái)研究這一隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。

35第三十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義設(shè)X(t)是一個(gè)齊次馬爾可夫過(guò)程，若在任意時(shí)刻t有X(t)＝i，i=0,1,2,···，而在時(shí)間(t,t+Δt)內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率滿(mǎn)足:且λi>0(i≥0)，μi>0(i>0)

，μ0=0，則稱(chēng)X(t)為生滅過(guò)程或增消過(guò)程。

36生滅過(guò)程?????íì3-D=D+D+--=D+D+=D+D====D+2,)(,)()(11,)(1,)(})(/)({ijtOijtOtijtOtijtOtpitXjttXPiiiiijmlml第三十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在⊿t→0的情況下，O(⊿t)

可以忽略，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只有三種可能：（1）在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)k，在時(shí)間⊿t內(nèi)，系統(tǒng)由狀態(tài)k變化到狀態(tài)k+1(“增加”一個(gè)呼叫)，其轉(zhuǎn)移概率為pk,k+1=λk⊿t

，其中λk為系統(tǒng)處于狀態(tài)k時(shí)的呼叫發(fā)生強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的平均呼叫數(shù)；（2）在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)k，在時(shí)間⊿t內(nèi)，系統(tǒng)由狀態(tài)k變化到狀態(tài)k-1(“消失”一個(gè)呼叫)，其轉(zhuǎn)移概率為pk,k-1=μk⊿t

，其中μk為系統(tǒng)處于狀態(tài)k時(shí)的呼叫結(jié)束強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)結(jié)束的平均呼叫數(shù)；（3）在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)k，在時(shí)間⊿t內(nèi)，既沒(méi)有呼叫發(fā)生，也沒(méi)有呼叫離去，系統(tǒng)仍處于狀態(tài)k，其轉(zhuǎn)移概率為pk,k=1-λk⊿t

-μk⊿t

。

37生滅過(guò)程第三十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)上面的討論，可得到下圖所示的生滅過(guò)程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系。圖中示出所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)及狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率。

38生滅過(guò)程第三十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五?計(jì)算t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)k的概率Pk(t)假設(shè)系統(tǒng)在時(shí)刻t+⊿t處于狀態(tài)k，它必然是由時(shí)刻t的三種可能狀態(tài)之一轉(zhuǎn)移而來(lái)，下面作為三個(gè)事件分別討論：（1）在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)k+1，其概率可表示為Pk+1(t)，經(jīng)過(guò)⊿t時(shí)間，系統(tǒng)狀態(tài)由k+1轉(zhuǎn)移到k，也就是有一個(gè)呼叫離開(kāi)了系統(tǒng)，根據(jù)概率乘法定理可以求出發(fā)生上述事件的概率為：

39生滅過(guò)程()][)(11tOttPkkD+D×++m第三十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)k-1，其概率可表示為Pk-1(t)

，經(jīng)過(guò)⊿t時(shí)間，系統(tǒng)狀態(tài)由k-1轉(zhuǎn)移到k，也就是發(fā)生了一個(gè)新的呼叫，根據(jù)概率乘法定理可以求出發(fā)生上述事件的概率為：（3）在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)k，其概率可表示為Pk(t)

，經(jīng)過(guò)⊿t時(shí)間，系統(tǒng)內(nèi)既沒(méi)有發(fā)生新的呼叫，也沒(méi)有呼叫結(jié)束離去，也就是系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有發(fā)生狀態(tài)變化，根據(jù)概率乘法定理可以求出發(fā)生上述事件的概率為：

40生滅過(guò)程()][)(11tOttPkkD+D×--l)()1[()(tOtttPkkkD+D-D-×ml]第四十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五上述三個(gè)事件為互不相容事件，任一事件的發(fā)生都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)在t+⊿t時(shí)刻處于狀態(tài)k，應(yīng)用概率加法定理，可以得到描述系統(tǒng)狀態(tài)概率變化的方程組如下：

41生滅過(guò)程1)()1()()()()()()()1()()(1111110003D+D-D-×++D×+D×=D+D+D×+D-×=D+--++ktOtttPttPttPttPtOttPttPttPkkkkkkkkmllmml第四十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)方程組移項(xiàng)整理，兩端同除以⊿t

，并取⊿t→0時(shí)的極限，可以得到（微分差分方程組）

42生滅過(guò)程1)()()()()()()()()()()()(11110011000limlim3+×--×+×==D-D+×-×==D-D+--++ktPtPtPtPdtdttPttPtPtPtPdtdttPttPkkkkkkkkkk0?Dt0?Dtmllmlm第四十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五直接求解上面的方程組是很困難的，下面給出系統(tǒng)的“統(tǒng)計(jì)平衡”概念，然后求解統(tǒng)計(jì)平衡條件下的系統(tǒng)狀態(tài)概率。一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在滿(mǎn)足一定的條件下，不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，在經(jīng)歷一段時(shí)間以后，系統(tǒng)將進(jìn)入統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)。在這種狀態(tài)下Pk(t)不再隨時(shí)間變化。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，就是當(dāng)t→∞時(shí)，概率Pk(t)趨向一個(gè)不再依賴(lài)于時(shí)間參數(shù)t的穩(wěn)定值Pk

。如果系統(tǒng)進(jìn)入統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，那么必有：

43生滅過(guò)程0)(,)(,)(,)(1111????++--tPdtdPtPPtPPtPkkkkkkk第四十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是微分差分方程組變?yōu)橄旅娴牟罘址匠探M：現(xiàn)在的任務(wù)就變?yōu)橛?jì)算系統(tǒng)處于統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下的概率Pk(k=0,1,2,···)。由差分方程組，通過(guò)遞推不難得到

44生滅過(guò)程10)(0111111003=+-+=-++--kPPPPPkkkkkkkmlmlml0211100211012120101,,,PPPPPPPkkkmmmlllmmllmlmlLLL-====第四十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五由于P0+P1+P2+···+Pk+···=1

，所以有這樣，我們得到生滅過(guò)程在統(tǒng)計(jì)平衡條件下，系統(tǒng)處于狀態(tài)k

的概率Pk的一般解為：可見(jiàn)，生滅過(guò)程在統(tǒng)計(jì)平衡條件下的狀態(tài)概率分布完全取決于參數(shù)λk和μk。這些參數(shù)稱(chēng)為狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率。需要強(qiáng)調(diào)指出，一般生滅過(guò)程的轉(zhuǎn)移率是與狀態(tài)有關(guān)的。

45生滅過(guò)程12111021101001--ú?ùê?é+++++=LLLLkkPmmmlllmmllmlLLL,2,1,021110==-kPPkkkmmmlll第四十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.生滅過(guò)程應(yīng)用舉例

例1

在甲地和乙地之間有一條通信線(xiàn)路。呼叫的發(fā)生強(qiáng)度為每分鐘0.3個(gè)呼叫，呼叫的結(jié)束強(qiáng)度為每分鐘1/3個(gè)呼叫。呼叫遇線(xiàn)路忙時(shí)便等待(不離開(kāi)系統(tǒng))，試計(jì)算此線(xiàn)路空閑的概率、忙的概率、有呼叫等待的概率。解：設(shè)系統(tǒng)的工作狀態(tài)滿(mǎn)足生滅過(guò)程的條件。已知λk=λ=0.3(呼叫/分鐘)，μk=μ=1/3(呼叫/分鐘)設(shè)系統(tǒng)已進(jìn)入統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，由狀態(tài)概率一般解代入λ和μ值，線(xiàn)路空閑的概率P0＝0.1線(xiàn)路忙的概率為1-P0＝0.9

有呼叫等待的概率為1-P0-P1＝0.81

46LL,3,2,1)1()(1)(1120=-=-=ú?ùê?é+++=-kPPkkmlmlmlmlml第四十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2在甲地和乙地之間有一條通信線(xiàn)路。呼叫的發(fā)生強(qiáng)度為每分鐘0.3個(gè)呼叫，呼叫的結(jié)束強(qiáng)度為每分鐘1/3個(gè)呼叫。呼叫遇線(xiàn)路忙時(shí)不等待，而是立即消失。求此系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下的占用概率分布。解：根據(jù)題意，所研究系統(tǒng)只有兩個(gè)狀態(tài)。我們可以用“0”狀態(tài)表示線(xiàn)路空閑，“1”狀態(tài)表示線(xiàn)路忙，系統(tǒng)內(nèi)不可能有一個(gè)以上的呼叫。已知λ0=λ=0.3，μ1=μ=1/3，由狀態(tài)概率一般解得：

47生滅過(guò)程應(yīng)用舉例

5263.011100=ú?ùê?é+=-mlP4737.00101==PPml第四十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3設(shè)有無(wú)窮多條線(xiàn)路可以利用，每個(gè)呼叫的結(jié)束強(qiáng)度為μ，呼叫的發(fā)生強(qiáng)度為常數(shù)λk(k=0,1,2,···)，求此系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下的占用概率分布Pk。解：假設(shè)每個(gè)呼叫的占用是相互獨(dú)立的，在系統(tǒng)內(nèi)有k個(gè)呼叫的條件下，呼叫的結(jié)束強(qiáng)度為kμ，所以λk=λ，μk=kμ。由狀態(tài)概率一般解得：即線(xiàn)路的占用概率分布服從泊松分布。

48生滅過(guò)程應(yīng)用舉例

mlmlmlmlml--=úú?ùêê?é+×++×+×++=ekPk1320!1!31!211LLLLL,2,1,0!)(021110===--kekPPkkkkmlmlmmmlll()()()第四十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.2通信業(yè)務(wù)量

通信業(yè)務(wù)量是衡量交換系統(tǒng)在一定時(shí)間內(nèi)提供的服務(wù)數(shù)量的指標(biāo)，是學(xué)習(xí)交換理論首先必須掌握的一個(gè)重要概念，也是交換理論研究的對(duì)象之一。業(yè)務(wù)量又稱(chēng)為業(yè)務(wù)負(fù)載。在一個(gè)交換系統(tǒng)中，我們把請(qǐng)求服務(wù)的用戶(hù)稱(chēng)為業(yè)務(wù)源（負(fù)載源），而把為業(yè)務(wù)源提供服務(wù)的設(shè)備（如接續(xù)網(wǎng)絡(luò)中的內(nèi)部鏈路、中繼線(xiàn)、信令處理器等）稱(chēng)為服務(wù)器。一個(gè)系統(tǒng)應(yīng)配備的服務(wù)器數(shù)量與業(yè)務(wù)源對(duì)服務(wù)數(shù)量和服務(wù)質(zhì)量的需求有關(guān)。人們關(guān)心的是服務(wù)質(zhì)量、業(yè)務(wù)量和服務(wù)設(shè)備數(shù)量這三者之間的關(guān)系。

49第四十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.2.1話(huà)務(wù)量的概念電話(huà)通信的業(yè)務(wù)源，簡(jiǎn)稱(chēng)話(huà)源；電話(huà)通信的業(yè)務(wù)量，通常稱(chēng)為話(huà)務(wù)量。

我們來(lái)分析決定話(huà)務(wù)量大小的因素。首先，話(huà)務(wù)量與所考察的時(shí)間有關(guān)，顯然考察時(shí)間越長(zhǎng)，這段時(shí)間里發(fā)生的呼叫就越多，因而話(huà)務(wù)量就越大。其次，影響話(huà)務(wù)量大小的是呼叫強(qiáng)度，也就是單位時(shí)間里發(fā)生的平均呼叫數(shù)，呼叫強(qiáng)度越大，話(huà)務(wù)量就越大。再者，每個(gè)呼叫占用設(shè)備的時(shí)長(zhǎng)也是影響話(huà)務(wù)量大小的一個(gè)因素。在相同的考察時(shí)間和呼叫強(qiáng)度情況下，每個(gè)呼叫的占用時(shí)間越長(zhǎng)，話(huà)務(wù)量就越大。

50第五十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果用Y表示話(huà)務(wù)量，用T表示計(jì)算話(huà)務(wù)量的時(shí)間范圍，用λ表示呼叫強(qiáng)度，用S表示呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)，C表示時(shí)間T內(nèi)的平均呼叫數(shù)，則話(huà)務(wù)量可表示為：影響話(huà)務(wù)量的第一因素是時(shí)間，話(huà)務(wù)量計(jì)算中的各個(gè)參數(shù)都與時(shí)間有關(guān)。Y的單位取決于S的單位，當(dāng)S用不同的時(shí)間單位時(shí)，同一話(huà)務(wù)量，其數(shù)值是不同的。如果S以小時(shí)為時(shí)間單位，則話(huà)務(wù)量的單位叫作“小時(shí)呼”，常用符號(hào)“TC”表示。如果S以分鐘為時(shí)間單位，則話(huà)務(wù)量的單位叫作“分鐘呼”。也有用“百秒”作時(shí)間單位，這時(shí)話(huà)務(wù)量的單位叫作“百秒呼”，常用符號(hào)“CCS”表示。話(huà)務(wù)量的定義

51Y=TλS=CS第五十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于大量隨機(jī)發(fā)生的呼叫，有些呼叫可能遇到電話(huà)局忙。對(duì)于這類(lèi)呼叫，不同的交換系統(tǒng)有不同的處理方法。一種系統(tǒng)是讓遇忙呼叫等待，一旦有了空閑的服務(wù)設(shè)備，呼叫就繼續(xù)進(jìn)行下去，這樣的系統(tǒng)叫作待接制系統(tǒng)或等待制系統(tǒng)。另一種系統(tǒng)，它對(duì)不能立刻得到服務(wù)的呼叫的處理方法是給用戶(hù)送“忙音”。用戶(hù)聽(tīng)到忙音后，必須放棄這次呼叫，然后再重新呼叫。這種系統(tǒng)叫做明顯損失制系統(tǒng)。對(duì)于等待制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，如果等待時(shí)間不限，那么流入系統(tǒng)的話(huà)務(wù)量都能被處理，只是有一些呼叫要等待一段時(shí)間才能得到接續(xù)。對(duì)于明顯損失制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，流入系統(tǒng)的話(huà)務(wù)量有一部分被處理了，另外一部分則被“損失”掉了。等待制與明顯損失制

52第五十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五我們把單位時(shí)間的話(huà)務(wù)量叫做話(huà)務(wù)量強(qiáng)度或負(fù)載強(qiáng)度。習(xí)慣上常把“強(qiáng)度”兩個(gè)字省略。這樣，當(dāng)人們談及話(huà)務(wù)量都是指話(huà)務(wù)量強(qiáng)度。當(dāng)所談及的話(huà)務(wù)量不是單位時(shí)間內(nèi)的話(huà)務(wù)量時(shí)，應(yīng)特別指明計(jì)算時(shí)間，如T小時(shí)的話(huà)務(wù)量等。話(huà)務(wù)量強(qiáng)度

53第五十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五一般地說(shuō)，電話(huà)局的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度經(jīng)常處于變化之中。話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的這種變化叫做話(huà)務(wù)量的波動(dòng)性，它是多方面因素影響的綜合結(jié)果。用概率論的語(yǔ)言說(shuō)，話(huà)務(wù)量的波動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。經(jīng)過(guò)對(duì)話(huà)務(wù)量波動(dòng)的長(zhǎng)期觀察和研究，發(fā)現(xiàn)話(huà)務(wù)量的波動(dòng)存在著周期性。具有重要意義的是一晝夜內(nèi)各小時(shí)的波動(dòng)情況，為了在一天中的任何時(shí)候都能給用戶(hù)提供一定的服務(wù)質(zhì)量，電話(huà)局服務(wù)設(shè)備數(shù)量的計(jì)算應(yīng)根據(jù)一天中出現(xiàn)的最大話(huà)務(wù)量強(qiáng)度進(jìn)行。我們把一天中出現(xiàn)最大平均話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的60分鐘的連續(xù)時(shí)間區(qū)間稱(chēng)為最繁忙小時(shí)，簡(jiǎn)稱(chēng)“忙時(shí)”。話(huà)務(wù)量的特性

54第五十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五我們把流入系統(tǒng)的話(huà)務(wù)量叫做流入話(huà)務(wù)量或流入負(fù)載。完成了接續(xù)的那部分話(huà)務(wù)量叫做完成話(huà)務(wù)量或完成負(fù)載。流入話(huà)務(wù)量與完成話(huà)務(wù)量之差，就是損失話(huà)務(wù)量或損失負(fù)載。流入話(huà)務(wù)量和完成話(huà)務(wù)量

55第五十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義2.16：流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度等于在一次呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)內(nèi)業(yè)務(wù)源發(fā)生的平均呼叫數(shù)。令A(yù)表示流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度，λ表示單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的平均呼叫數(shù)，S表示呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)，則根據(jù)流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的定義為當(dāng)λ和S使用相同的時(shí)間單位時(shí)，流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度A無(wú)量綱。為了紀(jì)念話(huà)務(wù)理論的創(chuàng)始人，丹麥數(shù)學(xué)家A·K·Erlang，將話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的單位定名為“愛(ài)爾蘭”，并用“e”或“E”表示。流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的定義

56SAl=第五十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五性質(zhì)1

A或a分別為N條入線(xiàn)或單條入線(xiàn)在呼叫平均占用時(shí)長(zhǎng)內(nèi)流入的呼叫數(shù)，

A＝

N

a

。性質(zhì)2

a

是單條入線(xiàn)被占用的概率（占用時(shí)間百分?jǐn)?shù)）。性質(zhì)3

A是N條入線(xiàn)中同時(shí)被占用的平均數(shù)。流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的性質(zhì)

57設(shè)交換系統(tǒng)有N條輸入線(xiàn)，每條入線(xiàn)接一個(gè)負(fù)載源，m個(gè)服務(wù)器為所有呼叫共用，速度相同獨(dú)立工作負(fù)載均擔(dān)，一條入線(xiàn)的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度用a表示，流入總話(huà)務(wù)量強(qiáng)度A=Na第五十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五性質(zhì)2里面a=λ1S=S/λ1-1為單位時(shí)間內(nèi)流入一條線(xiàn)的呼叫數(shù)，S為呼叫平均占用時(shí)長(zhǎng)，λ1-1為平均呼叫間隔時(shí)間。性質(zhì)3：N條入線(xiàn)中有任意條K條被占用的概率服從二項(xiàng)分布。P(X=k)=Cnkak(1-a)N-kE(X)=Na=A數(shù)學(xué)期望第五十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義2.17：服務(wù)設(shè)備的完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度等于這組設(shè)備在一次呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)內(nèi)完成服務(wù)的平均呼叫數(shù)。令A(yù)c表示m個(gè)服務(wù)器的完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度，S表示呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)，λc為單位時(shí)間內(nèi)完成服務(wù)的呼叫數(shù)，則有：完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的單位也用“愛(ài)爾蘭”。設(shè)單個(gè)服務(wù)器的完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度用ac表示，則m個(gè)服務(wù)器完成的總話(huà)務(wù)量強(qiáng)度Ac=mac

。完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的定義

59SAccl=第五十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五性質(zhì)1

Ac或ac分別為m個(gè)服務(wù)器或單個(gè)服務(wù)器在呼叫平均占用時(shí)長(zhǎng)內(nèi)完成服務(wù)的平均呼叫數(shù)，Ac=mac。性質(zhì)2

ac是單個(gè)服務(wù)器的占用概率，即利用率。性質(zhì)3

Ac是m個(gè)服務(wù)器中同時(shí)被占用的平均數(shù)。完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的性質(zhì)

60第六十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五從定義可以看出，流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度A與完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度Ac有著完全相同的形式和量綱，其差別在于λ和λc，一個(gè)是單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的平均呼叫數(shù)，一個(gè)是單位時(shí)間內(nèi)完成服務(wù)的平均呼叫數(shù)。在發(fā)生的全部呼叫中，有一小部分會(huì)因?yàn)樵O(shè)有找到空閑的服務(wù)設(shè)備而被損失掉，所以，在明顯損失制系統(tǒng)中，λ與λc之差，正是損失掉的那部分呼叫。如果一個(gè)系統(tǒng)的損失非常小，則λ≈λc

，在這種情況下，完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度近似等于流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度，在工程計(jì)算中可以不加區(qū)分，籠統(tǒng)地使用“話(huà)務(wù)量”這個(gè)概念。流入話(huà)務(wù)量和完成話(huà)務(wù)量比較

61第六十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例假設(shè)在100條線(xiàn)的中繼線(xiàn)群上，平均每小時(shí)發(fā)生2100次占用，平均占用時(shí)長(zhǎng)為1/30小時(shí)。求這群中繼線(xiàn)上的完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度；并根據(jù)完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的性質(zhì)說(shuō)明其意義。解：根據(jù)題意λc

=2100呼叫/小時(shí)S=1/30小時(shí)/呼叫

Ac=λcS=2100×1/30=70e根據(jù)完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度性質(zhì)1，70e可理解為在平均占用時(shí)長(zhǎng)1/30小時(shí)內(nèi)，平均有70次占用發(fā)生；根據(jù)性質(zhì)2，單條中繼線(xiàn)的占用概率(利用率)為0.7；根據(jù)性質(zhì)3，70e意味著在100條中繼線(xiàn)中，同時(shí)處于工作狀態(tài)的平均有70條，空閑著的平均有30條。

62完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度舉例第六十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.2.2數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)量數(shù)據(jù)通信如果采用分組交換方式，交換系統(tǒng)采用等待制服務(wù)，分組丟失率可以忽略，那么流入和流出的業(yè)務(wù)量強(qiáng)度將相等，業(yè)務(wù)量強(qiáng)度為：式中ρ代表業(yè)務(wù)量強(qiáng)度；λ為數(shù)據(jù)分組的到達(dá)(速)率，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均分組數(shù)；S=1/μ是分組的平均服務(wù)時(shí)間，μ稱(chēng)為服務(wù)(速)率。業(yè)務(wù)量強(qiáng)度也具有話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的那些性質(zhì)，其中最重要的是單服務(wù)設(shè)備的業(yè)務(wù)量強(qiáng)度等于它被占用的概率，即處于“忙”狀態(tài)的概率。

63mllr/==S第六十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.2.3交換系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量和話(huà)務(wù)負(fù)荷能力

服務(wù)質(zhì)量是說(shuō)明交換系統(tǒng)給呼叫提供服務(wù)的可能性或者呼叫發(fā)生等待的可能性及等待時(shí)間等指標(biāo)。實(shí)際的交換系統(tǒng)都是有損失的系統(tǒng)。有損失的系統(tǒng)又分為明顯損失制系統(tǒng)和等待制系統(tǒng)。

1.明顯損失制系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)一、服務(wù)質(zhì)量

?按呼叫計(jì)算的呼損B

在時(shí)間(t1,t2)內(nèi)損失的呼叫數(shù)CL(t1,t2)與在同一時(shí)間內(nèi)發(fā)生的呼叫總數(shù)C(t1,t2)的比，稱(chēng)為(t1,t2)時(shí)間內(nèi)按呼叫計(jì)算的呼損，即

64()()2121,,ttCttCBL=第六十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在時(shí)間(t1,t2)內(nèi)損失的話(huà)務(wù)量YL(t1,t2)與在同一時(shí)間內(nèi)流入的話(huà)務(wù)量Y(t1,t2)的比，稱(chēng)為(t1,t2)時(shí)間內(nèi)按負(fù)載計(jì)算的呼損，即：在時(shí)間(t1,t2)內(nèi)所有服務(wù)設(shè)備全部阻塞的時(shí)間TB(t1,t2)與所考察的時(shí)間段(t1,t2)長(zhǎng)度的比，稱(chēng)為按時(shí)間計(jì)算的呼損，即所有服務(wù)器全忙的概率：

65()()2121,,ttYttYHL=()mBPttttTE=-=1221,明顯損失制系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)

?按負(fù)載計(jì)算的呼損H

?按時(shí)間計(jì)算的呼損E第六十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五以上所定義的呼損指標(biāo)B、H、E取值在0～1之間，而且它們的數(shù)值很接近。所以我們統(tǒng)一用呼損概率P代表B、H、E。系統(tǒng)所能達(dá)到的呼損概率常稱(chēng)為服務(wù)等級(jí)。簡(jiǎn)記為GoS(GradeofService)，服務(wù)等級(jí)取決于系統(tǒng)的話(huà)務(wù)量和服務(wù)器數(shù)量。2.等待制系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)為了定量地說(shuō)明等待制系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量或服務(wù)等級(jí)，常采用以下指標(biāo)：呼叫發(fā)生等待的概率、呼叫等待時(shí)間大于任意給定值的概率、平均等待時(shí)間等。（這里對(duì)等待制系統(tǒng)暫不作進(jìn)一步討論。）

66第六十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五所謂交換系統(tǒng)的話(huà)務(wù)負(fù)荷能力，指的是在給定服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)的條件下，系統(tǒng)所能承擔(dān)的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度。話(huà)務(wù)負(fù)荷能力實(shí)質(zhì)上代表了交換系統(tǒng)的效率。影響系統(tǒng)話(huà)務(wù)負(fù)荷能力的因素很多，如呼損率指標(biāo)、服務(wù)設(shè)備容量、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、服務(wù)方式、呼叫流的性質(zhì)等。在一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)條件下，交換系統(tǒng)的話(huà)務(wù)負(fù)荷能力，常用完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度Ac與服務(wù)設(shè)備容量m的比來(lái)表示。二、話(huà)務(wù)負(fù)荷能力η是每個(gè)服務(wù)器承擔(dān)的平均話(huà)務(wù)量強(qiáng)度，表示了服務(wù)器（如中繼線(xiàn)）的利用率，。當(dāng)然也表示服務(wù)設(shè)備被占用的概率或被占用的時(shí)間比例。

67mAc/=h第六十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在例題2.6中，在100條線(xiàn)的中繼線(xiàn)群上平均每小時(shí)發(fā)生2100次占用，平均占用時(shí)長(zhǎng)1/30小時(shí)。根據(jù)前面的計(jì)算完成話(huà)務(wù)強(qiáng)度Ac=70e，即100條中繼線(xiàn)群承擔(dān)70e的話(huà)務(wù)量，每條中繼線(xiàn)平均承擔(dān)0.7e。根據(jù)完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的性質(zhì)2，在一小時(shí)里，每條線(xiàn)平均有0.7小時(shí)工作，0.3小時(shí)空閑，這個(gè)數(shù)字也表示了中繼線(xiàn)的利用率，也是中繼線(xiàn)的效率。η也表示服務(wù)設(shè)備被占用的概率或者被占用的時(shí)間比例。第六十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.3明顯損失制交換系統(tǒng)的基本理論

本節(jié)主要研究明顯損失制交換系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量、話(huà)務(wù)量強(qiáng)度、服務(wù)設(shè)備容量三者之間的關(guān)系。2.3.1呼損指標(biāo)的分配呼損是交換系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)，這個(gè)指標(biāo)關(guān)系到用戶(hù)對(duì)電話(huà)交換系統(tǒng)所提供服務(wù)的滿(mǎn)意程度，也涉及到運(yùn)營(yíng)商投資的大小和經(jīng)濟(jì)效益。呼損標(biāo)準(zhǔn)由有關(guān)行政主管部門(mén)制定。從經(jīng)濟(jì)性和技術(shù)的合理性角度，我們來(lái)分析呼損的分配問(wèn)題。一般情況下，一個(gè)端到端的接續(xù)路由要經(jīng)過(guò)若干個(gè)選擇級(jí)，在每個(gè)選擇級(jí)上都有呼損。

69第六十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五首先來(lái)分析一個(gè)接續(xù)路由的總呼損概率PB和各選擇級(jí)的呼損概率pk之間的關(guān)系。要準(zhǔn)確地計(jì)算PB是一件很復(fù)雜的事情，因?yàn)楦鬟x擇級(jí)的占用存在著一定的依賴(lài)關(guān)系。如果假設(shè)各選擇級(jí)的工作是完全獨(dú)立的，則呼損PB可表示為：

70()()()?=--=----=nkknBppppP121)1(11111L呼損指標(biāo)的分配第七十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)際的交換系統(tǒng)中，呼損率pk一般都很小，大約在百分之零點(diǎn)幾，忽略所有pk的乘積項(xiàng)，則這樣，總呼損可近似看作各選擇級(jí)呼損之和，下面的問(wèn)題就是怎樣把總呼損分配到各選擇級(jí)上去？

1o平均分配（簡(jiǎn)單，但不合理）。

2o

根據(jù)各選擇級(jí)的費(fèi)用和在接續(xù)中的作用和影響分配

（復(fù)雜，但合理）。

71nkBppppPLL++++?21呼損指標(biāo)的分配第七十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五電話(huà)交換系統(tǒng)是一種典型的設(shè)備共享系統(tǒng)，所謂服務(wù)設(shè)備泛指各種在電話(huà)接續(xù)過(guò)程中，為用戶(hù)提供服務(wù)的共享資源。在分析討論中，服務(wù)設(shè)備具體是哪種并不重要。用戶(hù)是產(chǎn)生話(huà)務(wù)量的源泉，稱(chēng)為負(fù)載源或話(huà)源，負(fù)載源的真正含義要廣泛得多，一般地說(shuō)，凡是向本級(jí)設(shè)備送入話(huà)務(wù)量的前級(jí)設(shè)備，都是本級(jí)的負(fù)載源。2.3.2關(guān)于利用度的概念?服務(wù)(器)設(shè)備與負(fù)載源

72第七十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果接線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)能夠把任何空閑的入線(xiàn)連接到任何空閑的出線(xiàn)，這叫做“全利用度”接線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)，這種情況下，每一個(gè)負(fù)載源能夠使用所有服務(wù)器中的任何一個(gè)。當(dāng)然也有“部分利用度”接線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)，其中任一負(fù)載源只能使用所有服務(wù)設(shè)備中的一部分設(shè)備。把負(fù)載源能夠使用的服務(wù)器數(shù)稱(chēng)為“利用度”。顯然，全利用度情況下的利用度等于服務(wù)器的數(shù)量。下面僅討論全利用度情況下呼損的計(jì)算問(wèn)題。?全利用度和部分利用度

73第七十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.3.3服務(wù)設(shè)備占用概率分布問(wèn)題的提出：

1）服務(wù)設(shè)備同時(shí)占用數(shù)的概率分布問(wèn)題;2）呼損的計(jì)算問(wèn)題;3）服務(wù)設(shè)備的利用率問(wèn)題。

呼損是明顯損失制系統(tǒng)的基本服務(wù)指標(biāo)，利用率表明設(shè)備的經(jīng)濟(jì)效益，所以呼損和利用率是交換理論的中心課題。什么決定呼損和利用率？是系統(tǒng)內(nèi)所進(jìn)行著的隨機(jī)過(guò)程。因此對(duì)全利用度明顯損失制系統(tǒng)的研究必須從服務(wù)設(shè)備占用概率分布開(kāi)始，進(jìn)而求的呼率及設(shè)備的利用率。描述這種系統(tǒng)有效地隨機(jī)過(guò)程模型就是生滅過(guò)程。

74第七十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五假設(shè)有一全利用度的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，服務(wù)設(shè)備數(shù)量為m，它為N個(gè)負(fù)載源服務(wù)。假設(shè)：1）系統(tǒng)按明顯損失制方式工作；

2）所研究的系統(tǒng)滿(mǎn)足生滅過(guò)程條件，且滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)平衡條件。

75服務(wù)設(shè)備占用概率分布第七十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)按照明顯損失制方式工作，也就是m個(gè)服務(wù)設(shè)備全忙時(shí)，再發(fā)生呼叫時(shí)，則這個(gè)呼叫立即損失，不留在系統(tǒng)中等待，假設(shè)系統(tǒng)滿(mǎn)足生滅過(guò)程條件（呼叫的到達(dá)與離去都是泊松過(guò)程）且滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)平衡條件。系統(tǒng)處于統(tǒng)計(jì)平衡條件時(shí)可由生滅過(guò)程狀態(tài)概率一般解求得服務(wù)設(shè)備的占用概率分布。系統(tǒng)具有有限個(gè)狀態(tài)。第七十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)系統(tǒng)處于統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)，可由生滅過(guò)程狀態(tài)概率一般解求得服務(wù)設(shè)備的占用概率分布。顯然，所研究的系統(tǒng)具有有限個(gè)狀態(tài)，在統(tǒng)計(jì)平衡條件下，系統(tǒng)處于狀態(tài)k的概率為：式中λk和μk分別是系統(tǒng)處于狀態(tài)k時(shí)的呼叫發(fā)生強(qiáng)度和呼叫結(jié)束強(qiáng)度。想求得占用概率分布必須先確定λk

和μk

77服務(wù)設(shè)備占用概率分布mkPPkkk,,2,1021110LLL==-mmmlll12111021101001--ú?ùê?é++++=mmPmmmlllmmllmlLLL第七十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

λk和μk的計(jì)算λk常采用以下兩種計(jì)算方法：1）假設(shè)呼叫強(qiáng)度λk與空閑的負(fù)載源數(shù)成正比，因?yàn)楹艚锌偸怯煽臻e著的負(fù)載源發(fā)起的，所以這種假設(shè)是自然、合理的。如果在任意時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)k

，N個(gè)負(fù)載源中有k個(gè)處于忙狀態(tài)，N-k個(gè)處于空閑狀態(tài)，則呼叫強(qiáng)度λk可以表示為：α為一個(gè)空閑負(fù)載源的呼叫強(qiáng)度。λk=(N-k)·α

78假設(shè)不管空閑著的負(fù)載源有多少，呼叫強(qiáng)度λk始終是一個(gè)與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)的常數(shù)，即λk

=λ。2）第七十八頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)際計(jì)算中，究竟采用哪一種方法計(jì)算λk

，取決于負(fù)載源數(shù)目N的大小。當(dāng)負(fù)載源數(shù)很大（在理論上N→∞）時(shí)，其中處于忙狀態(tài)的負(fù)載源數(shù)在全部負(fù)載源數(shù)中只占一個(gè)很小的比例，呼叫強(qiáng)度基本上取決于總負(fù)載源數(shù)，這時(shí)就可以近似的認(rèn)為呼叫強(qiáng)度λk是一個(gè)常數(shù)，即可以采用第二種方法計(jì)算λk

。如果負(fù)載源數(shù)N不是很大，因而不能忽略忙負(fù)載源數(shù)的影響時(shí)，就要用第一種方法計(jì)算λk

。

79

λk和μk的計(jì)算第七十九頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五μk的計(jì)算方法呼叫的占用時(shí)長(zhǎng)近似服從指數(shù)分布，如果呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)為S，則在非常小的時(shí)間區(qū)間?t內(nèi)呼叫結(jié)束其占用的概率為1-e-?t/S，并且與該呼叫已經(jīng)占用了多少時(shí)間無(wú)關(guān)。由于?t很小，呼叫結(jié)束占用的概率可以近似的表示為：因此，在有一個(gè)占用情況下，呼叫結(jié)束強(qiáng)度μ1=1/S=μ。當(dāng)系統(tǒng)中有k個(gè)呼叫占用時(shí)，由于每個(gè)呼叫是獨(dú)立的，并都以強(qiáng)度μ=1/S結(jié)束自己的占用，則狀態(tài)k下的呼叫結(jié)束強(qiáng)度應(yīng)為1-e-?t/S≈?t/S+o(?t)(指數(shù)函數(shù)展開(kāi)，忽略高次項(xiàng)）μk=kμ=k/S

80

λk和μk的計(jì)算第八十頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)負(fù)載源數(shù)N的大小及其與服務(wù)設(shè)備數(shù)量m的關(guān)系，下面分四種不同的情況來(lái)研究服務(wù)設(shè)備的占用概率分布。占用概率分布1.二項(xiàng)分布研究負(fù)載源數(shù)N不大于服務(wù)設(shè)備數(shù)量m（即N≤m）的情況。根據(jù)前面對(duì)λk和μk計(jì)算方法的討論，令：式中S為呼叫的平均占用時(shí)長(zhǎng)，α為一個(gè)空閑負(fù)載源的平均呼叫強(qiáng)度。

81NkSkkNkk,,2,1,0,/,)(L==-=mal第八十一頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五由占用概率分布公式其中β=α?S，根據(jù)話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的定義，β是一個(gè)空閑負(fù)載源的流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度。（推導(dǎo)過(guò)程參看教材）

82NkPCPSkkNNNNPSkSSSkNNNNPPkkNkkkk,,2,1)()1()2)(1()/()/3()/2()/1()1()2()1(000021110LLLLLL==×+---=××+--×-×==-baaaaammmlll！()NNNPbmmmlllmmllml+=++++=--11]1[1211102110100LLL二項(xiàng)分布第八十二頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五將P0代入Pk，m個(gè)服務(wù)設(shè)備有k個(gè)占用的概率為令a=β/(1+β)，最后得上式的占用概率分布顯然是二項(xiàng)分布。式中a表示的是一個(gè)負(fù)載源處于忙狀態(tài)的概率。根據(jù)話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的性質(zhì)，a就是每個(gè)負(fù)載源的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度。式a=β/(1+β)

給出了在N≤m的條件下，一個(gè)負(fù)載源的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度與一個(gè)空閑負(fù)載源的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度之間的關(guān)系。已知a或β，就可求得服務(wù)設(shè)備的占用概率分布。

83二項(xiàng)分布NkCCPkNkkNNkkNk,,2,1,0111)1(1L=+-)(+=+=-bbbbbb()NkaaCPkNkkNk,,2,1,0)1(L=-=-第八十三頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例已知m＝6，N＝6，若每一話(huà)源忙的概率為a＝0.667，試求服務(wù)設(shè)備處于各種占用狀態(tài)的概率。解∵N=m＝6∴服務(wù)設(shè)備占用服從二項(xiàng)分布。已知a＝0.667，由公式計(jì)算得：P0=0.001，P1=0.016，P2=0.082P3=0.219，P4=0.329，P5=0.264，P6=0.088且滿(mǎn)足

P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6=1

84二項(xiàng)分布舉例NkaaCPkNkkNk,,2,1,0)1(L=-=-第八十四頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五研究負(fù)載源數(shù)N大于服務(wù)設(shè)備數(shù)量m(N>m)的情況。根據(jù)λk和μk的計(jì)算方法，令：

λk=(N-k)α，μk=k/S，k=0,1,2…m

代入占用概率分布公式，得m個(gè)設(shè)備有k個(gè)占用的概率分布為：

2.恩格塞特分布上式所描述的概率分布稱(chēng)為恩格塞特分布。

85mkPCPkkNk,,2,1,00L==b100-=ú?ùê?é=?miiiNCPbmkCCPmiiiNkkNkL2,1,00==?=bb第八十五頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在實(shí)際的工程計(jì)算中，一般不使用β，而是用流入話(huà)務(wù)量強(qiáng)度A或負(fù)載源的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度a。由于A=Na，若呼損率為B，則服務(wù)設(shè)備的完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度Ac=A(1-B)。根據(jù)完成話(huà)務(wù)量強(qiáng)度的定義，Ac等于平均同時(shí)占用數(shù)。因此，N-Ac是平均空閑負(fù)載源數(shù)。于是每個(gè)空閑負(fù)載源的話(huà)務(wù)量強(qiáng)度β為：將β的不同表達(dá)式代入恩格塞特分布公式，可得到采用不同參數(shù)計(jì)算Pk的公式形式。（參考教材給出的結(jié)果）

86恩格塞特分布)1(1)1(BaaBANAANAc--=--=-=b第八十六頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例有6個(gè)接續(xù)用的機(jī)鍵，它們?yōu)?個(gè)用戶(hù)服務(wù)，設(shè)每個(gè)空閑用戶(hù)每分鐘平均發(fā)生0.665個(gè)呼叫，每次呼叫平均占用2分鐘，試計(jì)算6個(gè)機(jī)鍵的占用概率分布。解∵N=7，m＝6，N>m∴機(jī)鍵的占用服從恩格塞特分布。已知α＝0.665呼叫/分鐘，S=2分鐘/呼叫

所以β=α?S＝1.33愛(ài)爾蘭，由公式

計(jì)算得：P0=0.0027，P1=0.0255，P2=0.1016P3=0.2253，P4=0.2997，P5=0.2391，P6=0.1060

87恩格塞特分布舉例mkCCPmiiiNkkNkL2,1,00==?=bb第八十七頁(yè)，共一百一十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五研究負(fù)載源數(shù)為無(wú)窮大，服務(wù)設(shè)備數(shù)量有限(N→∞，m有限或N>>m)的情況，此時(shí)可認(rèn)為呼叫強(qiáng)度不再與系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，而是一個(gè)常數(shù)。根據(jù)λk和μk的計(jì)算方法，令：

λk=λ，μk=k/S，k=0,1,2…m

代入占用概率分布公式，得3.愛(ài)爾蘭分布

88mkPkSPkkL,2,1,0!)(0==l120!)(!2)(1-ú?ùê?é