矩陣的初等變換與線性方程組的求解

矩陣的初等變換與線性方程組的求解－－高斯消去法

在本部分，我們將對中學(xué)所接觸過的消元法求解線性方程組的過程用矩陣的初等變換來表示，并且對方程組的解的情況給出相應(yīng)的判斷標(biāo)準(zhǔn)。1.線性方程組的矩陣形式表示引入如下三個矩陣

利用矩陣的乘法,線性方程組可以寫成如下的矩陣形式：AX=b定義

解向量與解集合

方程組的一組解稱為方程組的一個解向量，所有解向量的全體構(gòu)成的集合稱為方程組的解集合(解集)定義

方程組相容

方程組有解，我們稱這個方程組是相容的，否則，稱之為不相容的。定義

增廣矩陣定義齊次方程組

AX=0;定義非齊次方程組

AX=b,b0(b中至少有一分量不為零)2消元法與矩陣的初等變換對于如上所示的最一般形式的線性方程組：在初等數(shù)學(xué)中，常常用消元法求解。消元法的基本思想是通過消元變形把已知方程組化成容易求解的同解方程組。在解未知數(shù)較多的方程組時，需要使消元法步驟規(guī)范而又簡便。問題方程組何時有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？

例1解線性方程組解第一步使第一個方程中的系數(shù)為1．與第四個方程的位置，交換第一個方程可得

第二步

把第一個方程以下的各方程中的消去．第二個方程減去第一個方程,第三個方程減去第一個方程

，第四個方程減去第二個方程的２倍，可得

第三步

使第二方程中的系數(shù)為1．第二個方程加上第三方程后再乘以（－1），可得

第四步

把第二個方程以下的方程中的都消去．第三個方程加上第二個方程的4倍，第四個方程減去第二個方程的3倍，可得

第五步

把第三個方程以下的方程中的消去．第四個方程加上第三個方程，可得

(2.4)

第六步

用“回代”方法求解．經(jīng)第五步后得到的方程組(2.4)與原方程組等價．由方程組(2.4)的第三個方程得，代入第二個方程得；再把代入第一個方程可得．于是，方程組的解為

.類似上面形式的方程組稱為階梯形方程組．一般地，一個階梯形線性方程組應(yīng)該滿足如下兩個條件：

（1）如果方程組中某一方程的各項系數(shù)全為零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各項系數(shù)全為零；

（2）如果方程組中某一方程中至少有一項的系數(shù)不為零，設(shè)第一個系數(shù)不為零的項是第項，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前項的系數(shù)全為零．例如線性方程組

與

上述的消元過程中，我們對線性方程組施行了下列三種變換：（1）交換兩個方程的位置；

（2）

以非零數(shù)k乘一個方程；（3）

把某一個方程的k倍加到另一個方程上．這三種變換稱為線性方程組的初等變換．

任意線性方程組若干次初等變換階梯方程組Gauss消元法：原方程組階梯方程組回代得解

在例1的消元過程中，我們對方程組進(jìn)行的初等變換實(shí)際上只對方程組中未知量的系數(shù)與常數(shù)項進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．因而對方程組施行的初等變換可以用相應(yīng)的矩陣的變換來表示．

回顧前面的方程組

三、利用矩陣初等行變換解線性方程組原方程組增廣矩陣使第一個方程中的系數(shù)為1．與第四個方程的位置交換第一個方程使第一行第一個元素為1，交換的第一行與第行的位置

第一步

把(1)以下的各方程中的消去．(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)

第二步在中，第二行減去第一行，第三行減去第一行，第四行減去第一行的2倍

使第二方程中的系數(shù)為1．第二個方程加上第三方程后再乘（－1）第三步在中，使第二行第一元素為1，第二行加上第三行后再乘以（）

把第二個方程以下的方程中的都消去．第三個方程加上第二個方程的4倍，第四個方程減去第二個方程的3倍

第四步在中，第三行加上第二行的4倍，第四行減去第二行的3倍

把第三個方程以下的方程中的消去．第四個方程加上第三個方程

在中，第四行加上第三行

第五步

第六步

用“回代”方法求解．階梯形方程組行階梯形矩陣（1）如果某一行元素全為零，那么它下方的所有行（如果存在)元素也全為零；（2）某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位于第列，那么它下方的所有行（如果存在）的前個元素全為零．行階梯形矩陣一般地，一個行階梯形矩陣應(yīng)該滿足以下兩個條件：稱為拳矩陣妥的初歌等行撫變換(1錄)交換集兩行摟的位或置(交換灑第兩行,記作)(2健)以非你零數(shù)乘某藏一行翅（以乘第行,記作）;(3奮)把某命一行慌的倍加它到另凈一行糟上（關(guān)把第行的倍加聚到第行上燒，記貴作）例如壤矩陣與都是儀行階共梯形厭矩陣失．不是糖行階轉(zhuǎn)梯形析矩陣氏．總結(jié)酬上述雹的矩幟陣變丘換過肆程，吳有以副下三燦種變墊換：利用售矩陣侮的初料等行叮變換半解線倡性方幼程組饞的一特般方貝法．原方棕程組增廣日矩陣對應(yīng)投方程棟組行階嘴梯矩吩陣回代忽求解任何烤線性著方程滔組都挖可通郵過方腎程初豈等變忙換化省為階右梯方吹程組任何百矩陣防都可仔以通勁過矩酸陣初舊等變扯換化蹄為階四梯形扯矩陣所以幣：線性辜方程水組可存以通尚過其暫對應(yīng)賽的增完廣矩蠢陣來震解例2解線訂性方劍程組．解對方軍程組宋的增趙廣矩膨陣純依次隊施行第下列群初等那行變軋換，作使它化為取行階妥梯形比矩陣橡．．這個隨矩陣史的最貨后一漲行除交最后貫一個列元素仙不為府零外停其余笛元素都為稍零，叢它對霜應(yīng)一叨個矛拜盾方急程原方怖程組腳無解例3解方宗程組解對方嶄程組燃的增暮廣矩大陣依次厲施行駕下列室初等穩(wěn)行變顫換，盈使它化考為行卷階梯估形矩蠅陣已是稱行階墾梯形慈矩陣從最富后一場個方蔬程可太得其中可取咳任意姑實(shí)數(shù)基．代入融第二開個方襯程，耀得到．再把代入群第一終個方溫程，湖得到最后彩一個能矩陣它對喇應(yīng)的采方程便組是把令，得近方程駁組的在解為方程帶組有無窮貌多個耳解．例4解線沉性方夕程組．解對方亮程組星的增百廣矩斧陣依次拆施行吳以下摸初等憶行變既換，歪使它化碌為行洪階梯剩形矩媽陣．它對糊應(yīng)的義方程睛組是,用回達(dá)代方警法得插原方警程組者的解．方程岔組有胞唯一沙解最后舌一個抖矩陣是行蛋階梯鼻形矩訂陣方程自組解援的三靠種情視況:無掉解無窮誤多解唯一敞解出現(xiàn)了矛盾方程方程個數(shù)比未知數(shù)的個數(shù)少方程個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)一樣多非零行個數(shù)比未知數(shù)個數(shù)少非零行個數(shù)和未知數(shù)個數(shù)一樣多生活阿中應(yīng)仙保持鵲一份邊幽默傅感生活孤中應(yīng)成保持脂一份絹幽默驅(qū)感生活促中應(yīng)迫保持扮一份臺幽默臘感一般眉線性腎方程許組的貿(mào)解也哈有：無解脾，無庸窮多戒解，開唯一賠解三種傷不同臂情況驅(qū)．．(2杏.5鬧)對它婚的增蒙廣矩雹陣施旋行若撕干次賀初等施行變吃換，影使它排化為母行階拖梯形憲矩陣(2志.6往)設(shè)線威性方炸程組如何愁判斷膝呢？其中根據(jù)羅方程梢求解飾的方描法可偷得情形1若可得縮慧到矛谷盾方肉程方程溫?zé)o解方程掙有唯鄙一解若情形2非零行個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)且情形3若非零椒行個爭數(shù)小石于未當(dāng)知數(shù)某個數(shù)方程籌有無略窮解且無窮客解的它情形的，我凝們作騾一討民論階梯乓矩陣若且對應(yīng)求的方躁程組行為未知量任取一組值，例如可得未知量確定的一組值于是為方誰程組依的一含個解慶．由未知量取值奪的任謠意性奴，線嚴(yán)性方苦程組未知量可以自由取值，所以退稱為自由皺未知郵量的取食值．有無臂窮多犧個解獸．的值依賴于未知量自由器未知謠量的頌個數(shù)磨為未知量的個數(shù)非零行的個數(shù)總是罩它的技解（杠稱為蜜方程膛組的零解）由于故齊霉次線仰性方惕程組嗓總是悟相容聾的根據(jù)優(yōu)前面燈的討矩論，扒對于壁齊次蓋線性鍬方程救組解待的情染況可襖得如餓下定調(diào)理對齊鎮(zhèn)次方葉程組定理對齊覽次線裕性方旬程組窄的系凱數(shù)矩忠陣施壟行有咱限次覆初等惱行變江換，耽使它秘化為欄行階況梯形背矩陣系．那告么只有零解非零行的行數(shù)等于方程組未知量的個數(shù)；(2)

有非零解非零行的行數(shù)小于未知量的個數(shù)．從而劃原方撐程與貧下列竹方程哄組同吃解為階馬梯形發(fā)矩陣解得方程司最后第求解盼回代而的過晶程可捕以通冬過如蜻下的排方法價來實(shí)如現(xiàn)：看前皇面的腥例題對最朱后的觸行階御梯矩戀陣?yán)^狐續(xù)進(jìn)滋行矩擺陣的邁初等聰變換于是貴，由舌最后一個頌矩陣蜘直接寫出鋪原方斃程組的解．行最勤簡矩央陣（1）非日零行個（元哲素不鉗全為年零的貴行）斯的第綿一非抱零元廊素都傍是1；（2）非晝零行撇的第許一個享非零障元素峽所在材列的辜其余焰元素陶全為莊零．一般曠地，受一個行最屈簡形誼矩陣是滿陰足下駕列兩帖個條托件的槽行階哪梯形字矩陣踢：這個馬方法宿稱為輪線性稈方程咬組的鈔高斯妥一若立當(dāng)（Ga斜us攤s歷--炊Jo綠rd嘩an）消元叮法，它珠是一毯種改森進(jìn)了錯的高踐斯消續(xù)元法．任意遷矩陣行階野梯形逮矩陣從左潔至右些，從籃上至捕下從右抽至左在，從徐下至著上行最澇簡形層矩陣解線降性方哥程組廣的最南終一丹般步漫驟原方漏程組增廣挨矩陣判斷瞞解的慶情況行階盡梯矩孝陣化最贏簡形停止有解無解例5解線筍性方睛程組解享對增范廣矩隱陣B施行滿初等笛行變太換，賴使它肚化為做行階痛梯形派矩陣易．最后綱一個亦矩陣騎為行陰最簡驚形矩己陣，孤由此熔可以通直接盾寫出劫原方程乏組的疊唯一慮的解

最后一個矩陣為行階梯形矩陣，無矛盾方程，且非零行的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)一樣多，故原方程組有唯一的解．繼續(xù)對施行下列初等行變換，使它化為行最簡形矩陣．

．例7解齊占次線封性方衫程組解賀對響方程憂組的者系數(shù)胃矩陣或依杰次作夫下列減初等蹄行變秧換，訊使它化得為行竊最簡墨形矩惠