信道編碼和差錯(cuò)控制

信道編碼和差錯(cuò)控制概述信道編碼：目的：提高信號(hào)傳輸?shù)目煽啃浴７椒ǎ涸黾佣嘤啾忍?，以發(fā)現(xiàn)或糾正錯(cuò)誤。差錯(cuò)控制：包括信道編碼在內(nèi)的一切糾正錯(cuò)誤手段。產(chǎn)生錯(cuò)碼的原因：乘性干擾引起的碼間串?dāng)_加性干擾引起的信噪比降低信道分類：按照加性干擾造成錯(cuò)碼的統(tǒng)計(jì)特性不同劃分隨機(jī)信道：錯(cuò)碼隨機(jī)出現(xiàn)，例如由白噪聲引起的錯(cuò)碼突發(fā)信道：錯(cuò)碼相對(duì)集中出現(xiàn)，例如由脈沖干擾引起的錯(cuò)碼?；旌闲诺?差錯(cuò)控制技術(shù)的種類：檢錯(cuò)重發(fā)：能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，但是不能確定錯(cuò)碼的位置。通信系統(tǒng)需要有雙向信道。前向糾錯(cuò)(FEC)：利用加入的差錯(cuò)控制碼元，不但能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能糾正錯(cuò)碼。反饋校驗(yàn)：將收到的碼元轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端，將它和原發(fā)送碼元比較。缺點(diǎn)：需要雙向信道，傳輸效率也較低。檢錯(cuò)刪除：在接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼后，立即將其刪除。適用在發(fā)送碼元中有大量多余度，刪除部分接收碼元不影響應(yīng)用之處。2自動(dòng)要求重發(fā)(ARQ)系統(tǒng)停止等待ARQ系統(tǒng)拉后ARQ系統(tǒng)停止等待ARQ系統(tǒng)接收數(shù)據(jù)ACKACKNAKACKACKNAKACK1233455t發(fā)送數(shù)據(jù)12334556t有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組拉后ARQ系統(tǒng)214365798接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組91011101112576ACK1NAK5NAK9ACK55769521436798發(fā)送數(shù)據(jù)1011101112重發(fā)碼組重發(fā)碼組3選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)ARQ和FEC比較：優(yōu)點(diǎn)監(jiān)督碼元較少，即碼率較高檢錯(cuò)的計(jì)算復(fù)雜度較低能適應(yīng)不同特性的信道缺點(diǎn)需要雙向信道。不適用于一點(diǎn)到多點(diǎn)的通信系統(tǒng)或廣播系統(tǒng)。傳輸效率降低，可能因反復(fù)重發(fā)而造成事實(shí)上的通信中斷。選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)9接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組21436575981011131412發(fā)送數(shù)據(jù)995852143671011131412重發(fā)碼組重發(fā)碼組NAK9ACK1NAK5ACK5ACK9410.2糾錯(cuò)編碼的基本原理分組碼舉例設(shè)：有一種由3個(gè)二進(jìn)制碼元構(gòu)成的編碼，它共有23=8種 不同的可能碼組： 000–晴001–云010–陰011–雨 100–雪101–霜110–霧111–雹 這時(shí)，若一個(gè)碼組中發(fā)生錯(cuò)碼，則將收到錯(cuò)誤信息。若在此8種碼組中僅允許使用4種來傳送天氣，例如：令 000–晴011–云101–陰110–雨 為許用碼組，其他4種不允許使用，稱為禁用碼組。 這時(shí)，接收端有可能發(fā)現(xiàn)（檢測(cè)到）碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。這種編碼只能檢測(cè)錯(cuò)碼，不能糾正錯(cuò)碼。若規(guī)定只許用兩個(gè)碼組：例如 000–晴111–雨 就能檢測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或糾正一個(gè)錯(cuò)碼。 5分組碼概念分組碼＝信息位＋監(jiān)督位分組碼符號(hào)：(n,k) 其中，n－碼組總長(zhǎng)度，

k－信息碼元數(shù)目。

r=n–k－監(jiān)督碼元數(shù)目。 右表中的碼組為(3,2)碼。分組碼的一般結(jié)構(gòu)：分組碼的參數(shù)：碼重：碼組內(nèi)“1”的個(gè)數(shù)碼距：兩碼組中對(duì)應(yīng)位取值不同的位數(shù)，又稱漢明距離最小碼距(d0)：各碼組間的最小距離信息位監(jiān)督位晴000云011陰101雨110k個(gè)信息位r個(gè)監(jiān)督位an-1an-2...arar-1an-2...a0t碼長(zhǎng)n=k+r分組碼的結(jié)構(gòu)6編碼序列的參數(shù)n－編碼序列中總碼元數(shù)量k－編碼序列中信息碼元數(shù)量r－編碼序列中差錯(cuò)控制碼元數(shù)量 （差錯(cuò)控制碼元，以后稱為監(jiān)督碼元或監(jiān)督位）k/n－碼率(n-k)/k=r/k－冗余度7碼距的幾何意義：以n=3的編碼為例一般而言，碼距是n維空間中單位正多面體頂點(diǎn)之間的漢明距離。(0,0,0)(0,0,1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a18一種編碼的糾檢錯(cuò)能力：決定于最小碼距d0的值。為了能檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距為了能糾正t個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距0123BA漢明距離ed0碼距等于3的兩個(gè)碼組BtA漢明距離012345td0碼距等于5的兩個(gè)碼組9為了能糾正t個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距 糾檢結(jié)合工作方式：當(dāng)錯(cuò)碼數(shù)量少時(shí)，系統(tǒng)按前向糾錯(cuò)方式工作，以節(jié)省重發(fā)時(shí)間，提高傳輸效率；當(dāng)錯(cuò)碼數(shù)量多時(shí)，系統(tǒng)按反饋重發(fā)的糾錯(cuò)方式工作，以降低系統(tǒng)的總誤碼率。AB1tt漢明距離e碼距等于(e+t+1)的兩個(gè)碼組1010.3糾錯(cuò)編碼系統(tǒng)的性能10.3.1誤碼率性能和帶寬的關(guān)系 采用編碼降低誤碼率 所付出的代價(jià)是帶寬的增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后Eb/n0(dB)編碼和誤碼率關(guān)系PeCDEAB2PSK1110.3.2功率和帶寬的關(guān)系 采用編碼以節(jié)省功率，并保持誤碼率不變，付出的代價(jià)也是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后Eb/n0(dB)編碼和誤碼率關(guān)系PeCDEAB2PSK12

10.3.3傳輸速率和帶寬的關(guān)系 對(duì)于給定的傳輸系統(tǒng)，其傳輸速率和Eb/n0的關(guān)系： 式中，RB－碼元速率。 提高傳輸速率，采用編 碼以保持誤碼率不變；付出 的代價(jià)仍是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后Eb/n0(dB)編碼和誤碼率關(guān)系PeCDEAB2PSK1310.3.4編碼增益 定義：在保持誤碼率恒定條件下，采用糾錯(cuò)編碼所節(jié)省的信 噪比Eb/n0稱為編碼增益： 式中，(Eb/n0)u－未編碼時(shí)的信噪比(dB)； (Eb/n0)c－編碼后所需的信噪比(dB)。1410.4奇偶監(jiān)督碼

10.4.1一維奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼－分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩類。在奇偶監(jiān)督碼中，監(jiān)督位只有1位，故碼率等于k/(k+1)。偶數(shù)監(jiān)督碼中，此監(jiān)督位使碼組中“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)： 式中，a0為監(jiān)督位，其他位為信息位。奇數(shù)監(jiān)督碼中，此監(jiān)督位使碼組中“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)：15檢錯(cuò)塞能力誤－察能掉夠檢圖測(cè)奇跌數(shù)個(gè)輝錯(cuò)碼鋤。設(shè)：股碼組泉長(zhǎng)度廉為n，碼組研中各本個(gè)錯(cuò)大碼的羽發(fā)生煙是獨(dú)庫立的考和等狹概率遷的，則在盆一個(gè)是碼組及中出戴現(xiàn)j個(gè)錯(cuò)割碼的態(tài)概率謀為式中棉，—為在n個(gè)碼顏元中劉有j個(gè)錯(cuò)叮碼的雄組合仆數(shù)。奇偶漲監(jiān)督依碼不劈燕能檢塵測(cè)碼慨組中扇出現(xiàn)下的偶淘數(shù)個(gè)覆錯(cuò)碼淚，所廢以在活一個(gè)撈碼組陡中有奮錯(cuò)碼惰而不睜能檢脂測(cè)的再概率過等于:－誰當(dāng)n為偶很數(shù)時(shí)－聾當(dāng)n為奇溝數(shù)時(shí)16[例]右表勢(shì)中的水編碼痕是偶畫數(shù)監(jiān)澤督碼愁。設(shè)信菜道的萬誤碼動(dòng)率為10-4，錯(cuò)銀碼的腰出現(xiàn)是膠獨(dú)立屯的。笑試計(jì)握算其雅不能迎檢測(cè)的誤雕碼率邊。將給賄定條真件代己入式計(jì)算環(huán)得出由計(jì)畫算結(jié)野果可漸見，促糾錯(cuò)仿編碼所可以烈將誤賓碼率獻(xiàn)從10-4降低規(guī)到10-8量級(jí)汗，顯色著提敵高了乖通信痕的可積靠性趕，效幸果非爹常明田顯。信息位監(jiān)督位晴000云011陰101雨1101710晉.4棟.2二維掛奇偶遷監(jiān)督勵(lì)碼碼率秋等于有可匙能檢臉測(cè)偶四數(shù)個(gè)古錯(cuò)碼適合隙檢測(cè)乘突發(fā)詢錯(cuò)碼能夠慰糾正監(jiān)部分捕錯(cuò)碼1810奏.5線性粉分組羊碼基本遮概念代數(shù)咬碼兆－付利用部代數(shù)階關(guān)系粥式產(chǎn)紋生監(jiān)宿督位則的編比碼線性究分組虎碼繭－偽代數(shù)妥碼的后一種板，其監(jiān)督削位和蹈信息畝位的稀關(guān)系饑由線憲性代散數(shù)方罷程決攪定漢明愉碼員－陽一種寧能夠榨糾正皺一個(gè)墻錯(cuò)碼辯的線冰性分燥組碼校正利子：在偶超數(shù)監(jiān)找督碼紅中，夢(mèng)計(jì)算實(shí)際井上就弊是計(jì)袋算并檢別驗(yàn)S是否須等于0。S稱為賓校正拔子。監(jiān)督旅關(guān)系凡式：19糾錯(cuò)告基本榜原理中，S只有社兩種解取值粉，故膀只能叛表示籃有錯(cuò)購和無繡錯(cuò)，亂而不劑能進(jìn)副一步敢指明堅(jiān)錯(cuò)碼蓋的位詞置。若此和碼組鋒長(zhǎng)度襖增加肥一位議，則沿能增疏加一銷個(gè)監(jiān)朱督關(guān)完系式紐奉。這馬樣，霜就能秀得到置兩個(gè)涼校正敗子。盟兩個(gè)賭校正渾子的俘可能亡取值瞎有4種組攝合，熊即00，01，10，11，故凱能表兼示4種不況同的麗信息繼。若晌用其枕中一庸種組秋合表已示無基錯(cuò)碼宋，則丘還有麻其他3種組漫合可其以用水于指漁明一敏個(gè)錯(cuò)誕碼的3種不澤同位苦置，葛從申而可效以有吼糾錯(cuò)衰能力斜。一般唱而言予，若殲有r個(gè)監(jiān)求督關(guān)路系式桂，則r個(gè)校誼正子依可以貌指明軍一個(gè)廢錯(cuò)碼姿的(2查^r–鐮1)個(gè)不絮同位禮置。當(dāng)校桂正子絲式可以忍指明動(dòng)的錯(cuò)繼碼位旅置數(shù)模目等貪于或喇大于濕碼組刊長(zhǎng)度n時(shí)，辛才能位夠糾薯正碼盟組中續(xù)任何債一個(gè)在位置物上的所錯(cuò)碼跟，即勾要求20漢明倚碼例：總要求侍設(shè)計(jì)牌一個(gè)矛能夠塌糾正1個(gè)錯(cuò)玩碼的桂分組洋碼(n,k)，給溫定的幣碼組居中有4個(gè)信耐息位姨，即k=刑4。由這時(shí)稼要求路監(jiān)督亦位數(shù)r3。若憂取r=綠3，則n=k+r=鎖7。現(xiàn)隨在用a6a5a4a3a2a1a0表示星這7個(gè)碼造元，喇用S1S2S3表示蜻校正聾子，倘則這3個(gè)校剪正子友恰好洽能夠碌指明23–社1價(jià)=民7個(gè)錯(cuò)躺碼的何位置澡。若規(guī)乘定校抵正子喂和錯(cuò)圣碼位匆置的甩關(guān)系窗如下乘表，連則僅躍當(dāng)在a6,a5,a4,a2位置表上有策錯(cuò)碼賓時(shí)，很校正擺子S1的值造才等陽于1；否孝則S1的值父為零植。這孫就意圍味著a6a5a4a2四個(gè)嬌碼元艇構(gòu)成事偶數(shù)誦監(jiān)督昨關(guān)系綱：同理躺，有S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3錯(cuò)碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯(cuò)碼21在編口碼時(shí)予，信浸息位a6a5a4a3的值展決定寺于輸滔入信避號(hào)，施它們省是隨控機(jī)的胖。監(jiān)少督位a2a1a0是按析監(jiān)督椅關(guān)系島確定魂的，扯應(yīng)該坑保證籠上列3式中剃的校嗓正子宰等于0，即門有給定默信息哲位后香，為侵了計(jì)算輕監(jiān)督年位，逆上式坑可以改以寫為按照潔上式商計(jì)算名結(jié)果展為信息位a6a5a4a3監(jiān)督位a2a1a0信息位a6a5a4a3監(jiān)督位a2a1a0000000010001110001011100110000101011010010001111010110010100110110000101011011101010011001111101000111000111111122在接沿收端菌解碼嫩時(shí)，罰對(duì)于奴每個(gè)慌接收鑼碼組榜，先明按式計(jì)算浴出校偵正子S1，S2和S3，然伸后按癢照表判斷頂錯(cuò)碼烤的位奴置。例：眨若接婆收碼日組為00件00扁01遙1，則兩按上已三式許計(jì)算隆得到勵(lì)：S1=盾0，S2=協(xié)1，S3=購1。這丸樣，可由上蹦表可板知，敞錯(cuò)碼程位置無在a3。S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3錯(cuò)碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯(cuò)碼23上例脾中的舟漢明服碼是(7需,膜4)碼，允其最凱小碼帶距d0=洋3。由式可知水，此武碼能遙夠檢品測(cè)2個(gè)錯(cuò)艷碼，終或糾起正1個(gè)錯(cuò)徑碼。漢明捏碼的壞碼率乞：當(dāng)r(或n)很大喜時(shí)，捐上式篇趨近家于1。所中以漢店明碼地是一俗種高餡效編波碼。24分組涼碼的概一般膠原理線性歌分組梁碼的油監(jiān)督燃位和掠信息擴(kuò)位的倉關(guān)系可以衫改寫車為上式應(yīng)中，向已經(jīng)麥將“”簡(jiǎn)屯寫成南“+”。25監(jiān)督而矩陣上式神可以撇寫成柏矩陣溫形式閘：（模2）將上灑式簡(jiǎn)瘡寫為HAT=攪0T或AHT=尸026HAT=有0T式中馳，－競(jìng)稱為挖監(jiān)督啊矩陣監(jiān)督櫻矩陣病的性寄質(zhì)監(jiān)督心矩陣H確定罰碼組匪中的井信息掙位和站監(jiān)督納位的扯關(guān)系已。H的行怖數(shù)就賠是監(jiān)爪督關(guān)論系式打的數(shù)威目，徐即監(jiān)斧督位年數(shù)r。H的每誓行中穴“1”的位愧置表蠶示相榴應(yīng)的彼碼元本參與材監(jiān)督筆關(guān)系狗。H可以動(dòng)分成趨兩部籃分，除例如－典陳型監(jiān)斥督矩伶陣式中扶，P為rk階矩拌陣，Ir為rr階單膨位方莖陣。

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0=[000]27H矩陣閥的各獎(jiǎng)行應(yīng)批該是囑線性哲無關(guān)豈的，忙否則詞將得希不到r個(gè)線卷性無絡(luò)關(guān)的川監(jiān)督燦關(guān)系第式。若一比個(gè)矩上陣能許寫成尺典型膚陣形泰式[PIr]，則且其各狼行一篇定是艷線性很無關(guān)聰?shù)?。生成擦矩陣?yán)嚎梢栽鈱憺樯鲜侥w兩端朗分別任轉(zhuǎn)置令后，爽可以澤變成式中訂，Q為kr階矩綢陣，撓是P的轉(zhuǎn)拘置，東即Q=PT28將Q的左腫邊加貞上一獅個(gè)k階單照位方方陣，凳稱為頓生成葬矩陣都：－野生撇成矩析陣G稱為銜生成遍矩陣厲，因容為可拉以用膚它產(chǎn)么生整肥個(gè)碼藍(lán)組A，即醫(yī)有生成寬矩陣棚的性毯質(zhì)具有[IkQ]形式斑的生肝成矩堵陣稱漠為典型闊生成飾矩陣。由典彎型生蒜成矩捕陣得岸出的招碼組A中，渴信息仆位的遭位置靠不變末，監(jiān)變督位糠附加稿于其追后。仿這種贊形式差的碼銀組稱店為系統(tǒng)曾碼。矩陣G的各等行也輪必須簡(jiǎn)是線隱性無廳關(guān)的釀。如果狠已有k個(gè)線葛性無炭關(guān)的桃碼組假，則胖可以灶將其態(tài)用來齡作為眠生成搞矩陣G，并獲由它棍生成愁其余化碼組常。29錯(cuò)誤痛圖樣設(shè)：初發(fā)送務(wù)碼組A是一黨個(gè)n列的繪行矩艷陣：接收拆碼組榜是一士個(gè)n列的殖行矩府陣B：令接匯收碼削組和裁發(fā)送超碼組燥之差財(cái)為E就是清錯(cuò)碼響的行懲矩陣－稱催為錯(cuò)覆誤圖拾樣式中深，(i=醬0,黃1疑,旁…,n-1喉)若ei=饅0，表乏示該鞋碼元驚未錯(cuò)桿；若ei=診1，表翠示該蜜碼元癥為錯(cuò)外碼。B–A=E(模2)30校正期子矩標(biāo)陣B–A=E可以葡改寫辦成B=A+E上式歌表示丈發(fā)送疲碼組A與錯(cuò)收碼矩裁陣E之和濫等于仔接收詠碼組B。例如遮，杰若發(fā)迅送碼炕組A=護(hù)[1皆0疼0巷0鳴1偉1察1辦]，錯(cuò)碼巨矩陣E=悲[0壩0般0詳0隱1由0杠0籠]，則堡接園收碼錦組B=氣[1抽0錯(cuò)0息0忽0恨1例1貞]。在接籃收端肺解碼咬時(shí)，喚將接秀收碼別組B代入否式AHT=廟0中A的位鑰置進(jìn)留行計(jì)爪算。慰若接呆收碼炮組中掉無錯(cuò)拍碼，粥則B=A。代暮入后倘，該雅式仍哈成立貞，即冒有BHT=蕩0只有鈔當(dāng)錯(cuò)猴碼未防超出教檢測(cè)歲能力牌時(shí)，葵上式屑才成加立。假設(shè)駐，這而時(shí)該糕式的驗(yàn)右端琴等于S，即肅有BHT=S將B=A+E代入填上式展得到:S=辯(A+E)HT=AHT+EHT31S=糊(A+E)HT=AHT+EHT上式莖右端妙第一糠項(xiàng)等眠于0，所厲以S=EHT－碼校正南子矩澇陣當(dāng)H確定腔后，幟上式隨中S只與E有關(guān)黨，而媽與A無關(guān)壞。這意捏味著茂，S和錯(cuò)范碼E之間攏有確滿定的熟線性簡(jiǎn)變換如關(guān)系連。若S和E有一談一對(duì)貧應(yīng)關(guān)鉆系，蘇則S將能圣代表該錯(cuò)碼看位置柴。線性直碼的羞封閉姐性：午若A1和A2是一悔種線遙性碼題中的章兩個(gè)邪碼組辭，則(A1+A2)仍是鐮其中脆一個(gè)蝦碼組春?！鹤C』若A1和A2是兩幣個(gè)碼情組，地則有文：A1HT=粱0,即A2HT=亞0將上價(jià)兩式五相加澇，得斧出A1HT+濟(jì)A2HT=(A1+泉A2)HT=怖0所以(A1+A2)也是屬一個(gè)件碼組黃。由于牧線性勞碼具齡有封博閉性龍，所祥以兩噴個(gè)碼刮組(A1和A2)之間赴的距患離（油即對(duì)芽應(yīng)位封不同挖的數(shù)盲目）忙必定聲是另灑一個(gè)孟碼組(A1+膜A2)的重滴量（匙即“1”的數(shù)塔目）怖。因概此，都碼的裝最小垂距離落就是你碼的墳最小傍重量有（除庫全“0”碼組術(shù)外）尼。3210廊.6循環(huán)鎮(zhèn)碼10侍.6輛.1循環(huán)尿碼的菠概念顫：循環(huán)裙性是涼指任詠一碼觸組循歌環(huán)一役位后氏仍然加是該碰編碼厘中的圓一個(gè)孫碼組沸。例：謹(jǐn)一種(7極,法3)循環(huán)僻碼的丸全部搞碼組無如下表中寄第2碼組備向右這移一吐位即腳得到懇第5碼組轟；第5碼組雅向右彼移一谷位即撒得到盯第7碼組捏。碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001033一般厘情況若(an-1an-2…a0)是循族環(huán)碼盾的一俊個(gè)碼根組，丑則循披環(huán)移番位后拜的碼齒組：(an-2an-3…a0an-1)(an-3an-4…an-1an-2)…溜…吩(a0an-1…a2a1)仍然采是該筐編碼壇中的覺碼組孤。多項(xiàng)牧式表浮示法一個(gè)布長(zhǎng)度尖為n的碼銳組(an-1an-2…a0)可以宵表示噴成上式坡中x的值央沒有瞞任何劑意義昨，僅輩用它寺的冪猾代表巨碼元撥的位貓置。例：什碼組1非1裝0量0戴1昆0粗1可以芹表示魔為3410載.6順.2循環(huán)吐碼的適運(yùn)算整數(shù)者的按旗模運(yùn)六算在整茶數(shù)運(yùn)沿算中膽，有課模n運(yùn)算疏。例冰如，喉在模2運(yùn)算代中，挎有1慣+惡1妨=帥20錦(模2)，1膝+楚2仁=慮31反(模2)，23舞=緊60紀(jì)(模2)等等卵。一般確說來缸，若凝一個(gè)去整數(shù)m可以寸表示憤為式中腫，Q為整攔數(shù)，籍則在價(jià)模n運(yùn)算脖下，肚有mp(模n)所以連，在欺模n運(yùn)算視下，則一個(gè)賤整數(shù)m等于時(shí)它被n除得邁的余即數(shù)。35碼多騙項(xiàng)式吉的按桂模運(yùn)面算若任奮意一診個(gè)多逢項(xiàng)式F(x)被一慕個(gè)n次多撐項(xiàng)式N(x)除，據(jù)得到餃商式Q(x)和一棒個(gè)次械數(shù)小墊于n的余潛式R(x)，即則在甲按模N(x)運(yùn)算粉下，唉有這時(shí)姨，碼糖多項(xiàng)啄式系器數(shù)仍汪按模2運(yùn)算喝。例1：x3被(x3+嚷1)除，盾得到進(jìn)余項(xiàng)1，即例2：因?yàn)閤x3+它1x4+x2+苗1x4+xx2+x+1在模2運(yùn)算潛中,加法立和減鹿法一尤樣。36循環(huán)購碼的吃數(shù)學(xué)哨表示釘法在循倦環(huán)碼逆中，版設(shè)T(x)是一顏個(gè)長(zhǎng)紫度為n的碼逝組，攔若則T(x)也是飛該編數(shù)碼中棄的一僑個(gè)碼全組。[證]設(shè)一架循環(huán)釣碼為則有上式壩中的T(x)正是矮碼組T(x)向左辨循環(huán)其移位i次的口結(jié)果么。例：訴一曲循環(huán)劃碼為11肥00架10處1，即若給圾定i=越3，則棒有上式請(qǐng)對(duì)應(yīng)啄的碼絮組為01篩01綿11踏0，它而正是T(x)向左節(jié)移3位的祖結(jié)果舟。結(jié)論句：一服個(gè)長(zhǎng)配為n的循盛環(huán)碼繡必定偷為按豎模(xn+根1)運(yùn)算蠶的一陰個(gè)余鮮式。37循環(huán)奴碼的億生成有了暢生成螞矩陣G，就年可以壓由k個(gè)信渴息位斜得出餃整個(gè)個(gè)碼組滔：例：式中忌，生成習(xí)矩陣G的每杜一行覆都是解一個(gè)畜碼組蹄。因此傷，若蟻能找酸到k個(gè)已冷知的命碼組責(zé)，就舞能構(gòu)善成矩鄰陣G。如杠前所雖述，遺這k個(gè)已麻知碼腥組必跪須是獵線性雄不相院關(guān)的奪。在循軌環(huán)碼訪中，思一個(gè)(n,k)碼有2k個(gè)不怎同的常碼組促。若挽用g(x)表示代其中戚前(k-1提)位皆盡為“0”的碼溉組，研則g(x)，xg(x)，x2g(x)，，xk-狹1g(x)都是掙碼組描，而籌且這k個(gè)碼墾組是久線性糊無關(guān)藏的。蜘因此挽它們竊可以慌用來跌構(gòu)成單此循感環(huán)碼剛的生男成矩秒陣G。38在循怪環(huán)碼壘中除潔全“0”碼組榴外，侵再?zèng)]捎有連遵續(xù)k位均筒為“0”的碼欣組。肯否則肥，在蛙經(jīng)過米若干們次循輕環(huán)移蜓位后理將得堤到k位信朗息位規(guī)全為襯“0”，但坡監(jiān)督鑄位不誕全為鋪“0”的一它個(gè)碼旬組。否這在縱線性愛碼中喝顯然記是不拆可能貸的。因此饒，g(x)必須陶是一董個(gè)常梨數(shù)項(xiàng)竹不為飛“0”的(n-k)次多毯項(xiàng)式突，而漢且這戀個(gè)g(x)還是枕這種(n,k)碼中薯次數(shù)乓為(n–k)的唯遲一一臉個(gè)多梁項(xiàng)式團(tuán)。因沃為如仆果有延兩個(gè)倉，則疾由碼翻的封矩閉性薄，把駕這兩雜個(gè)相辦加也制應(yīng)該阻是一攻個(gè)碼浪組，下且此呼碼組首多項(xiàng)柄式的樂次數(shù)叼將小轟于(n–k)，即釣連續(xù)牽“0”的個(gè)擾數(shù)多撓于(k–謝1)。顯資然，鍵這是冊(cè)與前姥面的脫結(jié)論為矛盾挎的。我們循稱這包唯一漠的(n–k)次多就項(xiàng)式g(x)為碼充的生爭(zhēng)成多椒項(xiàng)式省。一碧旦確眉定了g(x)，則往整個(gè)(n,k)循環(huán)鑼碼就社被確寫定了顏。39因此中，循菌環(huán)碼滾的生面成矩匯陣G可以娛寫成例：上表鴉中的柱編碼滲為(7母,紗3)循環(huán)賞碼，n=紛7,k=螺3,n–k=鏈4，其勸中唯仇一的龜一個(gè)(n–k)濃=旺4次碼貪多項(xiàng)眠式代紀(jì)表的回碼組殲是第貿(mào)二碼父組00柳10膏11子1，與坊它對(duì)架應(yīng)的嫁碼多撲項(xiàng)式氣，即淡生成次多項(xiàng)排式，丸為g(x)抓=x4交+x2緩+x+休1。碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001040g(x)船=x4鏡+x2厭+x+醬1即武“1舉0宇1撞1塊1”將此g(x)代入借上矩珍陣，仙得到或上式孝不符嗚合G=[IkQ]形式剩，所紀(jì)以它插不是紋典型植生成航矩陣撒。但漫它經(jīng)刺過線途性變贈(zèng)換后腰，不圓難化亡成典暮型陣從。此循香環(huán)碼盾組的譽(yù)多項(xiàng)推式表低示式T(x)：上式壤表明軌，所聾有碼電多項(xiàng)園式T(x)都能翻夠被g(x)整除吹，而衰且任依意一值個(gè)次毒數(shù)不禽大于(k–誓1)的多奴項(xiàng)式訴乘g(x)都是坦碼多霧項(xiàng)式缸。41尋求動(dòng)碼生咐成多恰項(xiàng)式因?yàn)槟我馍粋€(gè)裕循環(huán)掠碼T(x)都是g(x)的倍貢式，曠故它養(yǎng)可以故寫成T(x)逐=h(x)g(x)而生擊成多記項(xiàng)式g(溝x)本身語也是宇一個(gè)戴碼組禽，即雄有T(x)案=g(x)由于嗚碼組T(x)是一蜻個(gè)(n–k)次多鴨項(xiàng)式趨，故xkT(x)是一座個(gè)n次多隙項(xiàng)式比。由可知修，xkT(x)在模(xn+邀1)運(yùn)算勻下也影是一話個(gè)碼犁組，跡所以桶有上式逆左端派分子戰(zhàn)和分叼母都所是n次多到項(xiàng)式糠，故寺相除賄的商拖式Q(x)儉=擇1。因芽此，曉上式宇可以貍寫成42將T(x)陰=h(x)g(x)和T(x)牙=g(x)代入化簡(jiǎn)攜后，渣得到上式覆表明孤，生特成多梁項(xiàng)式g(x)應(yīng)該涼是(xn+殊1)的一后個(gè)因謀子。例：(x7+窄1)可以田分解華為為了清求出(7漸,州3)循環(huán)煙碼的瀉生成格多項(xiàng)緩式g(x)，需晨要從詞上式湖中找恒到一裁個(gè)(n后–婦k)亭=便4次的改因子季。這解樣的干因子從有兩詢個(gè)，雖即以上笑兩式心都可硬以作紹為生掏成多榆項(xiàng)式討。選用顛的生易成多蘆項(xiàng)式如不同抄，產(chǎn)朵生出繼的循慰環(huán)碼主碼組砌也不差同。4310蒸.6塘.3循環(huán)橡碼的種編碼批方法用xn-辛k乘m(x)。這暑一運(yùn)購算實(shí)個(gè)際上必是在立信息薪碼后忙附加膏上(n–k)個(gè)“0”。例百如，無信息賊碼為11革0，它迅寫成翻多項(xiàng)線式為m(x)益=x2+x。當(dāng)n–k=楚7意–索3置=4時(shí)，xn-由km(x)繳=x4(x2+x)燙=x6+x5，它院表示賣碼組11江00床00蜜0。用g(x)除xn-趴km(x)，得酸到商Q(x)和余疼式r(x)，即紙有例：基若選顆定g(x)斜=x4+x2+x+垃1，則火有上式凝是用胸碼多凈項(xiàng)式勁表示挨的運(yùn)浙算。雀它和奇下式扔等效杜：編出嘉的碼憐組T(x)為：T(x)尾=xn-縫km(x)役+r(x)在上飲例中隙，T(x)腳=習(xí)11酬00遞00會(huì)0鉆+川10睜1讓=飛11碧00死10侍14410蚊.6賓.4循環(huán)約碼的盤解碼纖方法在檢陷錯(cuò)時(shí)多：當(dāng)咐接收搏碼組絲式?jīng)]有領(lǐng)錯(cuò)碼耽時(shí)，著接收認(rèn)碼組R(x)必定劈燕能被g(x)整除男，即相下式中余夕項(xiàng)r(x)應(yīng)為較零；響否則碼，有眼誤碼嫁。當(dāng)接址收碼帶組中鈔的錯(cuò)雖碼數(shù)廚量過笛多，工超出柴了編挽碼的脖檢錯(cuò)佛能力紅時(shí)，滲有錯(cuò)炊碼的什接收額碼組汽也可大能被g(x)整除鏟。這旬時(shí)，聰錯(cuò)碼奇就不報(bào)能檢蜂出了辮。在糾客錯(cuò)時(shí)鑰：用生散成多打項(xiàng)式g(x)除接園收碼聲組R(x)，得鹽出余污式r(x)。按照般余式r(x)，用洪查表門的方辯法或活計(jì)算招方法右得出誰錯(cuò)誤珍圖樣E(x)。從R(x)中減婚去E(x)，便眼得到瓜已經(jīng)翅糾正研錯(cuò)碼討的原華發(fā)送隙碼組T(x)。4510灰.6多.5截短侮循環(huán)脖碼截短宮目的爹：在設(shè)碼計(jì)時(shí)艱，通氏常信筋息位菌數(shù)k、碼緞長(zhǎng)n和糾吐錯(cuò)能朋力都觀是預(yù)蜓先給傍定的千。但夜是，插并不須一定寸有恰評(píng)好滿堵足這坐些條旅件的苦循環(huán)惜碼存熟在。進(jìn)故采帳用截藝短碼炕長(zhǎng)截帽短，匹得出唱滿足針要求渴的編敏碼。截短咐方法吳：設(shè)給昏定一闖個(gè)(n,k)循環(huán)蔬碼，壯它共考有2k種碼林組，恐現(xiàn)使哭其前i(0午<i<k)個(gè)信雄息位盲全為溪“0”，于匆是它泡變成觸僅有2k-i種碼驗(yàn)組。嘉然后裝從中間刪去陣這i位全蔽“0”的信曾息位趙，最飾終得并到一增個(gè)(n–i，k–i)的線敘性碼總。將塔這種播碼稱龍為截笑短循藍(lán)環(huán)碼陳。截短女循環(huán)利碼與龍截短仍前的挪循環(huán)太碼至廚少具障有相咬同的束糾錯(cuò)骨能力荒，并喬且截寶短循疤環(huán)碼測(cè)的編叼解碼扭方法趣仍和眨截短暮前的街方法償一樣敏。例：昌要求星構(gòu)造腔一個(gè)衡能夠德糾正1位錯(cuò)摸碼的(1僅3,予9舒)碼。這時(shí)靈可以靠由(1欲5,市1膛1)循環(huán)枝碼的11種碼莖組中逗選出窮前兩史信息饞位均谷為“0”的碼匙組，澡構(gòu)成蠟一個(gè)跳新的跳碼組箏集合雹。然嚼后在在發(fā)送跨時(shí)不豎發(fā)送翠這兩留位“0”。于延是發(fā)蕉送碼兔組成針為(1材3,共9映)截短膠循環(huán)竿碼。4610遇.6視.6徒B止CH碼BC鵲H碼是特能夠統(tǒng)糾正凝多個(gè)孤隨機(jī)挽錯(cuò)碼桶的循膀環(huán)碼彈。BC嶺H碼分灑為兩索類：分本原BC掀H碼和椅非本紗原BC醒H碼。本原BC貼H碼：桑碼長(zhǎng)n=州2m–棒1狠(m3，任嗎意正扁整數(shù))，它笛的生錯(cuò)成多俗項(xiàng)式g(x)中含柿有最胡高次配數(shù)為m次的輕本原南多項(xiàng)輸式；非本近原BC仆H碼：富碼長(zhǎng)n是(2m–怕1)的一氧個(gè)因賓子，塑它的遣生成辮多項(xiàng)見式g(x)中不冶含有悶最高迎次數(shù)服為m的本視原多亞項(xiàng)式圓。BC情H碼的愁工程盤設(shè)計(jì)都：可噸以用蜜查表波法找流到所奔需的閘生成地多項(xiàng)撥式。例：評(píng)二進(jìn)款制非確本原BC重H碼的訪生成叔多項(xiàng)舅式系職數(shù)表中g(shù)(x)是用8進(jìn)制仔數(shù)字婦表示姥的；t為糾沒錯(cuò)能狐力。nktg(x)nktg(x)1721233341912122221223247271663534351456647133476565732453404652444307335710761354300067171777353747常用BC圍H碼：戈萊(Go錯(cuò)la宿y)碼：(2勻3,或1盛2)非本期原BC不H碼，漂它能自糾正3個(gè)隨川機(jī)錯(cuò)周碼，皮并且芹容易伍解碼就。擴(kuò)展BC頓H碼(n+己1,k)：BC址H碼的粱長(zhǎng)度季為奇碎數(shù)。衡在應(yīng)地用中膛，為晶了得效到偶?jí)魯?shù)長(zhǎng)絡(luò)度的嚼碼，景并增迫大檢盾錯(cuò)能徹力，療可以纏在BC怎H碼生俊成多數(shù)項(xiàng)式撞中乘千上一難個(gè)因白式(x+望1)，從進(jìn)而得深到擴(kuò)逐展BC冠H碼(n+霸1,k)。擴(kuò)展BC兇H碼已南經(jīng)不狠再具鳥有循倍環(huán)性級(jí)。擴(kuò)展退戈萊咬碼(2華4,辭1急2)：其嫩最小詳碼距氏為8，碼逐率為1/慰2，能稅夠糾停正3個(gè)錯(cuò)錄碼和塘檢測(cè)4個(gè)錯(cuò)英碼。48幾種屋二進(jìn)恨制分沉組碼共的性鏡能比蓄較2PSK漢明碼(7,4)t=1漢明碼(31,26)t=1擴(kuò)展戈萊碼(24,12)t=3BCH碼(127,64)t=10Eb/n0(dB)Pe4910體.6勺.7討R恒S碼RS碼：偉是q進(jìn)制BC寶H碼的智一個(gè)佩特殊擾子類擋，并抱且具想有很策強(qiáng)的良糾錯(cuò)命能力彩。RS碼的槽參數(shù)怕：碼炒長(zhǎng)n=q–泛1，監(jiān)特督位辯數(shù)目r=滴2t，其技中t是能臺(tái)夠糾鋼正的槽錯(cuò)碼糕數(shù)目景；其林生成物多項(xiàng)繼式為g(x)獲=證(x+)(x+2)爽…依(x+2t)式中血，為伽悶羅華餐域GF墻(2m)中的謎本原皺元。RS碼的于主要養(yǎng)優(yōu)點(diǎn)曲：它是播多進(jìn)舞制糾華錯(cuò)編花碼，廉所以帽特別千適合遵用于超多進(jìn)猜制調(diào)雷制的亞場(chǎng)合蒼；它能吳夠糾耐正t個(gè)q位二秧進(jìn)制丸錯(cuò)碼柿，即論能夠蠢糾正貝不超叢過q個(gè)連扛續(xù)的雨二進(jìn)籮制錯(cuò)怖碼，談所以老適合提在衰腔落信干道中照糾正叫突發(fā)封性錯(cuò)派碼。5010次.7卷積任碼卷積單碼的企特點(diǎn)評(píng)：監(jiān)督梯碼元拉不僅賣和當(dāng)顧前的k比特?fù)屝畔⑹慷斡兴庩P(guān)，餓而且螞還同闖前面m=矩(N–撲1)個(gè)信陸息段拍有關(guān)攪。將N稱為攏碼組雹的約援束長(zhǎng)算度。將卷蹈積碼搞記作(n,k,m)，其驢碼率糧為k/n。51卷積響碼的改編碼一般耕原理伸方框葡圖編碼輸出每次輸入k比特1k…1k…1k…1k…………

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12nNk級(jí)移存器n個(gè)模2加法器每輸入k比特旋轉(zhuǎn)1周52卷積帽碼編個(gè)碼器奏的實(shí)辯例方摘框圖鍬：(n徐,執(zhí)k,掠m量)誓=（3,恐1鋪,奏2）每當(dāng)資輸入1比特粱時(shí)，方此編君碼器集輸出3比特c1c2c3：編碼搞器的吉工作其狀態(tài)123b3b1輸入b2編碼輸出c2c1c3b11101000b3b200011110011000c1c2c3111110010100001011000狀態(tài)abdcbca53000111001110011100010101000111001110011100010101c1c2c3000100111011001101110010c1c2c3111000001110c1c2c3信息位 1 1 0 1ba起點(diǎn)信息位000111c1c2c3abcdabcdabcdabcd上半部下半部10a狀態(tài)b3b2a00b01c10d11abcdabcdcdab↑0↓1↓1↑0↑0↓110殃.7補(bǔ).2卷積漂碼的康解碼碼樹者搜索糕法：(3沈,陽1,劉2難)卷積郊碼的動(dòng)碼樹直圖此法丑不實(shí)劫用：揚(yáng)因?yàn)橹v隨信啦息位蝕增多揮，分輩支數(shù)酒目按緣瑞指數(shù)叫規(guī)律態(tài)增長(zhǎng)54狀態(tài)理圖和嫁網(wǎng)格筑圖移存膝器狀建態(tài)和滴輸入葉輸出憲碼元瘦的關(guān)抹系狀態(tài)斷圖前一狀態(tài)b3b2當(dāng)前輸入

b1輸出c1c2c3下一狀態(tài)b3b2a(00)01000111a(00)b(01)b(01)01001110c(10)d(11)c(10)01011100a(00)b(01)d(11)01010101c(10)d(11)123b3b1輸入b2編碼輸出c2c1c3abcd00011110111001001110000155(3敲,獄1,外2衛(wèi))卷積眼碼網(wǎng)防格圖網(wǎng)格市圖中萍的編早碼路芬徑舉混例輸入副信息炕位為11渾01時(shí)輸出滋編碼稿序列齒是：11芝1研11炒0罷01諸0咬10外0術(shù)01檔1…110110110110011011011010010010101101101001001001001abcdabcd000000000000000111111111111111100100100abcd000111101110010011100001abcdabcd11001000111110056維特幫比算明法基本噴原理鵲：將運(yùn)接收原到的怕序列懸和所烘有可刑能的繡發(fā)送振序列棍作比倦較，雷選擇仿其中機(jī)漢明她距離氣最小績(jī)的序普列當(dāng)尾作是構(gòu)現(xiàn)在傍的發(fā)強(qiáng)送序油列例：蜓設(shè)卷墊積碼懷為(n,k,m)艷=樹(3壺,鴉1,頸2腐)碼現(xiàn)在撐的發(fā)罷送信謹(jǐn)息位香為11哪01為了次使移現(xiàn)存器手中的出信息須位全嬸部移漲出，歷在信飯息位褲后面瞧加入丸了3個(gè)“0”，即11煎01百00夏0編碼因后的談發(fā)送勉序列涂：11駕1垂11發(fā)0后01驢0切10糠0招00讓1嚇01兼1循00瘦0接收鍋序列哭：11蒙101001朽0110縫00遞1能01尊1貪00喪0(紅色抗為錯(cuò)叫碼)由于微這是案一個(gè)(3劍,離1,塞2設(shè))卷積賭碼，膀發(fā)送丈序列柳的約招束長(zhǎng)歷度為N=m+哥1＝3，所堵以首瞞先需耕考察3個(gè)信宅息段康，即資考察3n＝9比特貞，即程接收穴序列珍前9位“11鮮1促01蜘001宮0”。57解碼抓第1步由網(wǎng)脾格圖淹可見奸，沿辟路徑歡每一占級(jí)有4種狀向態(tài)a,b,c和d。每仔種狀曠態(tài)只茄有兩薯?xiàng)l路窮徑可客以到證達(dá)。畫故4種狀碌態(tài)共蘿有8條到藝達(dá)路紅徑。比較順網(wǎng)格解圖中火的這8條路湊徑和姓接收磁序列蔬之間耐的漢池明距激離。譽(yù)例如盈，由走出發(fā)勉點(diǎn)狀忘態(tài)a經(jīng)過3級(jí)路勞徑后括到達(dá)幟狀態(tài)a的兩綢條路如徑中筒上面柄一條檢為“00隙000斑000貞0”。它亞和接卷收序蝴列“11貫1搭01遇001診0”的漢澆明距況離等腔于5；下樣面一狡條為爹“11屈1洗00伯1扮01筋1”佩,它和甜接收格序列撤的漢梯明距績(jī)離等摩于3。110110110110011011011010010010101101101001001001001abcdabcd00000000000000011111111111111110010010058將這8個(gè)比疼較結(jié)構(gòu)果列筐表如塌下：比較磨到達(dá)與每個(gè)蝦狀態(tài)她的兩第條路客徑的嘆漢明澆距離雕，將嘗距離鳳小的童一條宜路徑開保留談，稱犬為幸生存路灶徑。漲這樣傍，就謙剩下4條路睡徑了淡，即應(yīng)表中灑第2,夠4芝,鳥6和8條路巷徑。序號(hào)路徑對(duì)應(yīng)序列漢明距離幸存否？1aaaa0000000005否2abca1110010113是3aaab0000001116否4abcb1110011004是5aabc0001110017否6abdc1111100101是7aabd0001111106否8abdd1111101014是59解碼柔第2步：士繼續(xù)詢考察冷接收雜序列允中的僑后繼3個(gè)比乞特“11緊0”計(jì)算4條幸救存路鳴徑上用增加1級(jí)后臟的8條可姻能路面徑的止?jié)h明蒼距離鐮。計(jì)紡算結(jié)濾果列材于下疑表中度。表中傅總距吹離最謹(jǐn)小為2，其蒸路徑齡是ab郵dc搭+b，相發(fā)應(yīng)序含列為11桌1紡11您0不01倍0叢10辛0。它五和發(fā)病送序割列相玩同，城故對(duì)枯應(yīng)發(fā)六送信謠息位11項(xiàng)01。序號(hào)路徑原幸存路徑的距離新增路徑段新增距離總距離幸存否？1abca+a3aa25否2abdc+a1ca23是3abca+b3ab14否4abdc+b1cb12是5abcb+c4bc37否6abdd+c4dc15是7abcb+d4bd04是8abdd+d4dd26否60按照苦上表恥中的勤幸存蚊路徑崇畫出不的網(wǎng)屢格圖例示于藏下圖根中。圖中暮粗線尋路徑苗是距估漢明場(chǎng)離最遍?。ù涞扔?）的攏路徑智。abcd011010010101001abcd11110010011011061在編縮慧碼時(shí)含，信弦息位雙后面針加了3個(gè)“0”。若征把這3個(gè)“0”仍然階看作勞是信邁息位有，則不可以培按照膏上述悠算法賞繼續(xù)糟解碼販。這暖樣得顫到的同幸存遇路徑鉛網(wǎng)格草圖示缺于下坦圖中卷。圖芒中的蓬粗線鐘仍然寬是漢授明距襖離最哪小的溫路徑適。110011010010101101001001abcdabcd00011110010000001101100110162若已浩知這3個(gè)碼橋元是咸（為億結(jié)尾銀而補(bǔ)弟充的默）“0”，則掉在解地碼時(shí)效就預(yù)也先知座道在猴接收隱這3個(gè)“0”碼元聯(lián)后，稠路徑滅必然妥應(yīng)該喪回到籌狀態(tài)a。而疲由圖